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201305高三理科数学试题(0516)


珠海市 2013 年 5 月高三综合试题(二) 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? ? x ? 2}, B ? {x | ? x ? 0}, 则 A ? B 等于 A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? ?1} C. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 0}

2.设 i 为虚数单位,则复数 A.-4 B.-4i

4 ? 3i 的虚部为 i
C.4 D.4i

? ? ? ? 3.已知非零向量 a , b 满足错误!未找到引用源。 ,则函数 f ? x ? ? ax ? b

?

? ?x ? R ? 是
2

A.偶函数

B. 奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) ,若 P(? ? c) ? a ,则 P(? ? 4 ? c) 等于 A. a B. 1 ? a C. 2 a D. 1 ? 2a

? x? y ?0 ? 5.已知变量 x 、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的值域是 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
3] A. [0 , 3) B. (0 ,
C. (?3 , )

3 2

D. [?3 , ]

3 2

y2 ? 1的离心率为 6.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ? m
2

A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

7.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长 为 2 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是 A.

8 3

B.

8 2 3

C.

4 3

D.

4 2 3
第7题

8.已知 f (x) 是 R 上的偶函数, f (0) ? 2 ,若 f (x) 的图象向右平移 一个单位后,则得到一个奇函数的图象,那么 f (1) ? f (3) ? f (5) ? f (7) ? f (9) 的值为

理科数学第 1 页,共 4 页

A.1

B.0

C.-1

D. ?

9 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 . 10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据, 得到 ? 2 ?
50(13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 ? 4.84 因为 ? 2 ? 3.841 ,所以断定主修统计专业与 23 ? 27 ? 20 ? 30

性别有关系,这种判断出错的可能性最高为 专 业 性别 男 女 P(K2≥k) k 11. ( x ? 非统计专业 13 7 统计专业 10 20 0.050 3.841 0.025 5.024



0.010 6.635

0.001 10.828

第9题

1 8 ) 展开式中的常数项的值是 x3

.(用数字作答)

12.在 ?ABC 中, b ? 1, c ?

3, C ?

2? ,则 a ? __________. 3

s t 13.在等比数列 ?an ? 中,若 r , s , t 是互不相等的正整数,则 有等式 atr ?s ? ar ?t ? as?r ? 1成立.类比上述性质,

相应地,在等差数列 ?bn ? 中,若 r , s , t 是互不相等的正整数,则有等式 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

成立.

14. (几何证明选讲选做题) 如图,圆内的两条弦 AB , CD 相交于圆内一点 P ,已知 PA ? 4 , PB ? 2 , 4 PC ? PD ,则 CD 的 长为 .

理科数学第 2 页,共 4 页

15. (坐标系与参数方程选做题) 已知在极坐标系下,点 A( 2,

?
6

) , B ( 4,

2? ) , O 是极点,则 ?AOB 的面积等于 3



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

|? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 , |?
图所示.(1)求 f ( x) 的解析式;(2) g ( x) ? 3 f ( x ?

?
2

) , ( x ? R ) 的部分图像如

?
4

) ? f ( x) 且 tan ? ? 3 ,求 g (? ) .

17. (本小题满分 12 分)某公益活动分别从 A、B 两个单位招募 9 名和 11 名志愿者,将这 20 名志愿者的身 高编成如图所示的茎叶图,将身高 180cm 及以上的人组成甲队,不足 180cm 的人组成乙队 (1)根据志愿者身高茎叶图指出 A、B 两个单位志愿者身高的中位数. (2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是甲队的概 率是多少 (3)若只有 B 单位的志愿者能够胜任翻译工作,现从甲队中选 3 名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能够胜 任翻译工作的人数,试写出ξ的概率分布列,并求ξ数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (1)求证: AC ? 平面BDEF ; (2)求证: FC // 平面EAD ; (3)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求和: S1Cn ? S2Cn ? S3Cn ? ? ? Sn?1Cn ;
0 1 2 n

(3)设各项均为正整数的等差数列 ?bn ? 的公差为 1,并且满足:

理科数学第 3 页,共 4 页

? ? ? 1? 1? 1 lg 2 ? lg ?1 ? ? ? lg ? 1 ? ? ? ? ? lg ?1 ? ? b1 ? ? b2 ? ? bm
试问数列 ?bn ? 最多有几项?并求这些项的和.

? ? ? lg ? log 2 am ? ?

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、 B 分别为其左、右顶点,点 a 2 b2

F1、F2 分别为其左、右焦点,以点 A 为圆心, AF1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, OB 为半径作圆 B ;若
直线 l : y ? ?

15 3 . x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 6 3
3 ?若存在, 4

(1)求椭圆 C 的离心率; (2) 己知 a ? 7 ,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 请求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. y

A

·1 F

O

· F2

B

x

21. (本小题满分 14 分)

? x 2 ? ax ? 1, x ≥ a, ? 已知函数 f ? x ? ? ? x x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a ?
(1) 若 x ? a 时, f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2) 若 a ≥ ?4 时,函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

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