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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算

3.1.4

空间向量的直角坐标运算

学案编号:GEXX2-1T3-1-4

【学习要求】1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用 坐标运算来求空间向量的长度与夹角. 【学法指导】通过类比平面向量的坐标运算,掌握空间向量运算的坐标表示.空间向量的运 算与向量的坐标表示结合起来,可以使一些问题简单化,培养从复杂问题中抽象出简单问题 的能力. 1.空间直角坐标系及空间向量的坐标 (1)建立空间直角坐标系 Oxyz,分别沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量 i、j、k,这三个互 相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},这个基底叫做______________;单位向 量 i、j、k 都叫做____________. (2)空间向量的坐标:已知任一向量 a,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组(a1,a2,a3), 使 a=a1i+a2j+a3k,a1i,a2j,a3k 分别为向量 a 在 i,j,k 方向上的分向量,有序实数组(a1, a2,a3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的________.上式可简记作 a=____________. 2.空间向量的坐标运算法则 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则 向量运算 加法 减法 数乘 数量积 坐标表示 a+b=________________________ a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3

3. 空间向量平行和垂直的条件:设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

? ? (1)a∥b (b≠0)?________?? ? ?
当 b 与三个坐标平面都不平行时,a∥b?__________________ (2)a⊥b?________________?________________________. 4.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式: (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=________________,|b|=________________. cos〈a,b〉=___________________________________________. → (2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=________________________, → |AB|=________________________________________. 探究点一 空间向量的坐标表示及运算 问题 1 如何确定向量的坐标? 问题 2 向量的坐标和点的坐标有什么联系? → → 例 1 设正四棱锥 S—P1P2P3P4 的所有棱长均为 2,建立适当的空间直角坐标系,求SP1、P2P3 的坐标.

跟踪 1

(1)已知向量 a,b,c 分别平行于 x 轴、y 轴、z 轴,它们的坐标各有什么特点?

-1-

→ → → (2)设 O 为坐标原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动, → → 则当QA· QB取得最小值时,求点 Q 的坐标. 探究点二 垂直与平行问题 a1 b1 c1 问题 1 已知 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),a、b 共线的充要条件为 = = ,对吗? a2 b2 c2 问题 2 a 与 b 垂直的充要条件是什么? → → 例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC.若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. 跟踪 2 将本例中“若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直”改为“若向量 ka+b 与 a+kb 互相平行” 其他条件不变,求 k 的值. 探究点三 向量的夹角与长度计算 → → 例 3 已知在△ABC 中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),求顶点 B、C 的坐标, → 向量AC及∠A 的余弦值. 跟踪 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱

1 CD 上,且 CG= CD,H 为 C1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题: 4 (1)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值; 【达标检测】 (2)求 FH 的长.

a1 a2 a3 1.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 = = 是 a∥b 的 b1 b2 b3 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,i,j,k 是两两垂直的单位向量,则 5a 与 3b 的数量积等 于 ( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 3. 若 ABCD 为平行四边形, 且 A(4,1,3), B(2, -5,1), C(-3,7, -5), 则顶点 D 的坐标为 ( ) 7 ? A.? ?2,4,-1? B.(2,3,1) C.(-3,1,5) D.(-1,13,-3)

4.已知 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 → → 5.已知 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB在AC上的投影为______. 【课堂小结】1.利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直;可以求向量的模 以及两个向量的夹角.2.几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断,利用直线的方向向量 的关系可以证明直线的平行和垂直;距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积 解决.

-2-

3.1.4
一、基础过关

空间向量的直角坐标运算
)

1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A 的坐标为(-1,2,1),点 B 的坐标为(1,3,4),则( → A.AB=(-1,2,1) → C.AB=(2,1,3) → B.AB=(1,3,4) → D.AB=(-2,-1,-3) ( )

2.与向量 m=(0,2,-4)共线的向量是 A.(2,0,-4) C.(1,1,-2) B.(3,6,-12) 1 ? D.? ?0,2,-1?

3.设 A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C 的距离|CM|的值为( A. C. 53 4 53 2 B D. . 53 2

)

13 2 )

→ → 4.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.90° 5.已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则 x 等于( 1 A.4 B.-4 C. D.-6 2 6.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为( A. 65 B. 65 2 C.4 D.8

)

)

二、能力提升 7.与 a=(2,-1,2)共线且满足 a· z=-18 的向量 z=__________. 8.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a· c=4,|b|=12,则〈b,c〉=________. → → 9.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, BC=1,DD1=3,则AC与BD1夹角的余弦值是 ________. π 10.单位向量 a=(x,y,0)与向量 c=(1,1,1)的夹角为 ,求:x+y 与 xy 的值. 4

11.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

-3-

→ → (1)求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S; → → (2)若向量 a 分别与向量AB,AC垂直,且|a|= 3,求向量 a 的坐标.

→ → 12.已知正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2,底面的边长为 3,E 是 SA 的中点,求BE与SC的 夹角.

三、探究与拓展 2 -2,t,- ?且 a 与 b 的夹角为钝角.求 t 的取值范围. 13.已知 a=(5,3,1),b=? 5? ?

-4-


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