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2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数习题新人教A版选修2_2

。 。 。 内部文件,版权追溯
第一章 1.3 1.3.1

函数的单调性与导数

A 级 基础巩固

一、选择题

1.在下列结论中,正确的有( A )

(1)单调增函数的导数也是单调增函数;

(2)单调减函数的导数也是单调减函数;

(3)单调函数的导数也是单调函数;

(4)导函数是单调的,则原函数也是单调的.

A.0 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[解析] 分别举反例:(1)y=lnx,(2)y=1x(x>0),(3)y=2x,(4)y=x2,故选 A.

2.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A )

A.a≤0

B.a<1

C.a<2

D.a≤13

[解析] f ′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,∴a≤0.

3.(2017·宣城高二检测)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( B )

A.0

B.1

C.2

D.3

[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题

的能力.

∵f(x)=2x+x3-2,0<x<1,∴f ′(x)=2xln2+3x2>0 在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)

上单调递增.

又 f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至

少有一个零点,

又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点.

4.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( B )

A.y=sinx

B.y=xe2

C.y=x3-x

D.y=lnx-x

1

[解析] 对于 B,y=xe2,则 y′=e2,∴y=xe2 在 R 上为增函数,在(0,+∞)上也为 增函数,选 B.
5.(2018·商洛模拟)设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f′(x)的图 象可能是( B )

[解析] 由 f(x)的图象可得,在 y 轴的左侧,图象下降,f(x)递减,

即有导数小于 0,可排除 C,D;

再由 y 轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降,

函数 f(x)递减,再递增,后递减,

即有导数先小于 0,再大于 0,最后小于 0,

可排除 A;则 B 正确.

故选 B.

6.若 f(x)=lxnx,e<a<b,则( A )

A.f(a)>f(b)

B.f(a)=f(b)

C.f(a)<f(b)

D.f(a)f(b)>1

[解析] 因为 f′(x)=1-xl2 nx,

∴当 x>e 时,f′(x)<0,则 f(x)在(e,+∞)上为减函数,因为 e<a<b,

所以 f(a)>f(b).选 A.

二、填空题

7.(2018·无锡期末)函数 f(x)=x+2cosx(0≤x≤2π )的单调递减区间为(π6 ,5π6 ).

[解析] ∵函数 y=x+2cosx,∴y′=1-2sinx<0,

∴sinx>12,

又∵x∈[0,2π ],∴x∈(π6 ,5π6 ),故答案为(π6 ,56π ).

2

8.(2018·沙市区校级期中)函数 y=x3-x2-x 的单调增区间为(-∞,13),(1,+∞).

[解析] 由 y=x3-x2-x,∴f′(x)=3x2-2x-1=3(x+13)(x-1).

令 f′(x)=0,解得 x=-13,1.

列表如下:

x

1

1

1

(-∞,-3)

-3

(-3,1)

1

(1,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值 单调递增

由表格可知:函数 f(x)的单调递增是(-∞,-13),(1,+∞);

1 故答案为(-∞,3),(1,+∞).

三、解答题 9.(2018·天津理,20(1))已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a>1.求函数 h(x) =f(x)-xln a 的单调区间. [解析] 由已知,h(x)=ax-xln a,有 h′(x)=axln a-ln a.

令 h′(x)=0,解得 x=0.

由 a>1,可知当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,+∞)

h′(x)



0



h(x)

极小值

所以函数 h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). 10.(2017·长沙高二检测)已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex.设 f(x)在区间[-1,1]

上是单调函数,求 a 的取值范围. [解析] ∵f(x)=(x2-2ax)ex, ∴f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex =ex[x2+2(1-a)x-2a] 令 f′(x)=0,即 x2+2(1-a)x-2a=0,

解 x1=a-1- 1+a2,x2=a-1+ 1+a2, 其中 x1<x2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表

x

(-∞,x1)

x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

3

f′(x)



0



0



f(x)

极大值

极小值

∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减,

∴x2≥1,即 a-1+ 1+a2≥1,

∴a≥34.

B 级 素养提升

一、选择题

1.(2018·和平区二模)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,它的图象上任意一点 P(x0,y0) 处的切线方程为 y=(x20-x0-2)x+(y0-x30+x20+2x0),那么函数 f(x)的单调递减区间为

(A)

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-∞,-1)

D.(2,+∞)

[解析] 因为函数 f(x),(x∈R)上任一点(x0,y0)的切线方程为 y=(x20-x0-2)x+(y0-x30+x20+2x0), 即函数在任一点(x0,y0)的切线斜率为 k=x20-x0-2, 即知任一点的导数为 f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),

由 f′(x)<0,得-1<x<2,即函数 f(x)的单调递减区间是(-1,2).

故选 A.

2.(2018·黔东南州一模)已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,则函数 y=lnf(x)

的单调递增区间是( A )

A.(kπ -π8 ,kπ +π8 ](k∈Z)

B.[kπ -38π ,kπ +π8 )(k∈Z)

C.[kπ +π8 ,kπ +3π8 )(k∈Z)

D.[kπ +π8 ,kπ +5π8 ](k∈Z)

[解析] 由已知,化简得 f(x)=sin2x+cos2x= 2sin(2x+π4 ),

又 y=lnf(x)与 y=f(x)的单调性相同且 f(x)>0,

所以 2x+π4 ∈(2kπ ,2kπ +π2 ],

∴x∈(kπ -π8 ,kπ +π8 ](k∈Z),

4

故选 A.

3.若函数 f(x)=x-13sin2x+asinx 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( C )

A.[-1,1]

B.[-1,13]

C.[-13,13]

D.[-1,-13]

[解析] 函数 f(x)=x-13sin2x+asinx 在(-∞,+∞)单调递增,等价于 f ′(x)=1

-23cos2x+acosx=-43cos2x+acosx+53≥0 在(-∞,+∞)恒成立.设 cosx=t,

则 g(t)=-43t2+at+53≥0 在[-1,1]恒成立,

?? g

=-43+a+53≥0

所以
???g - =-34-a+53≥0



解得-13≤a≤13.故选 C. 二、填空题 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1. (1)若 f(x)的单调减区间为(-1,1),则 a 的取值集合为{0}. (2)若 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则 a 的取值集合为{a|a<0}. [解析] f ′(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调减区间为(-1,1), ∴-1 和 1 是方程 f ′(x)=0 的两根, ∴3-32a=1,∴a=0,∴a 的取值集合为{0}. (2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0 在(-1,1)内恒成立,又二次函数 y =f ′(x)开口向上,一根为-1,∴必有3-32a>1,∴a<0, ∴a 的取值集合为{a|a<0}. 三、解答题 5.(2017·驻马店高二检测)已知函数 f(x)=(ax2+x-1)ex,其中 e 是自然对数的底数, a∈R. (1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a=-1,求 f(x)的单调区间.

5

[解析] (1)因为 f(x)=(x2+x-1)ex,所以 f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+ 3x)ex,所以曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f′(1)=4e.
又因为 f(1)=e,所以所求切线方程为 y-e=4e(x-1), 即 4ex-y-3e=0. (2)f(x)=(-x2+x-1)ex,因为 f′(x)=-x(x+1)ex,令 f′(x)<0, 得 x<-1 或 x>0;f′(x)>0 得-1<x<0. 所以 f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0). 6.(2018·咸阳期末)已知函数 f(x)=12ax2-lnx-2. (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间. [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=12x2-lnx-2,

f′(x)=x-1x,

∴f′(1)=0,f(1)=-32,

∴曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=-32; (2)∵f′(x)=ax2x-1(x>0),

a>0

时,令

f′(x)>0,解得:x>

a a ,令

f′(x)<0,解得:0<x<

a a,

∴f(x)在(0,

a a )递减,在(

a a ,+∞)递增.

C 级 能力拔高 已知函数 f(x)=x2+2alnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=2x+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)f ′(x)=2x+2xa=2x2+x 2a,

函数 f(x)的定义域为(0,+∞). ①当 a≥0 时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

②当 a<0 时 f ′(x)=

x+ -a x- -a

x



6

当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下:

x

(0, -a)

-a

( -a,+∞)

f ′(x)



0



f(x)

递减

递增

由表格可知,函数 f(x)的单调递减区间是(0, -a);单调递增区间是( -a,+∞). (2)由 g(x)=2x+x2+2alnx,得 g′(x)=-x22+2x+2xa,

由已知函数 g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则 g′(x)≤0 在[1,2]上恒成立, 即-x22+2x+2xa≤0 在[1,2]上恒成立.

即 a≤1x-x2 在[1,2]上恒成立.

令 h(x)=1x-x2,x∈[1,2],则 h′(x)=-x12-2x=-(x12+2x)<0,

∴h(x)在[1,2]上为减函数.h(x)min=h(2)=-72,

∴a≤-72,故 a 的取值范围为{a|a≤-72}.

7


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