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必修4-1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像(第一课时)


1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 (第一课时)
说课人: 各位评委老师下午好! 今天我说课的内容是正余弦函数的图像。我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重 难点、教法与学法、教学过程设计、评价分析等六个方面来进行我的说课。 一、教材分析 (一)本节在教材中的地位与作用 本节课的内容是人教版高中数学教材必修四第一章第四节, 三角函数是学生高中阶段学 习的最后一类基本初等函数, 是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型, 在高中数学体 系中占有十分重要的地位,本节课作为《正弦函数、余弦函数的图像和性质》的第一课时, 是在已掌握一些基本初等函数及学习了三角函数定义之后,学习 y=sinx,y=cosx 的图像是 知识的又一次延伸,又是进一步学习三角函数的性质的基础。因此,本节课的内容是一个重 点内容,同时,由于三角函数的计算复杂,所以又是教学中的一个难点。 (二)学情分析 学生们对基本初等函数作图的重要性和三角函数概念已有了解,所以需要教师更形象 直观的手段来解析教学内容, 在每个教学环节设置有梯度的问题, 让学生在引导下探索并 展 开思维,让每个学生都能理解并构建正确的知识体系。 二、教学目标 1.知识与技能 ① 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图 象。 ② 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图像。 ③ 会用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区 间上的简图。 ④熟悉正弦函数、余弦函数的图像 2.方法和过程 ① 培养学生应用分析、探索、化归、类比、数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用
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能力。 ② 培养学生自主探索和合作的能力。 3.情感态度与价值观 ① 使学生进一步了解从特殊到一般,一般到特殊的辨证思想方法,对学生进行辩证唯物主 义教育。 ② 创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题,使学生在学习活动中获得成功感,从而培养学 生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。 ③ 通过作图,使学生感受波形曲线的流畅美、对称美,使学生体会事物周期变化的奥秘。 三、教学重点与难点: 1、重点:正弦函数、余弦函数的图像形状。 突出重点的方法: ① 让学生充分的参与; ② 采用类比,突出两种曲线的相同与不同之处; ③ 多层次练习,通过循环反复、螺旋递进的方式进行练习,使学生在练习中体会正 弦曲线、余弦曲线的形状,从而完成对教学重点的突出。 2、难点:① 利用正弦线画出函数 y=sinx, x∈[0,2π ]的图像; ② 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。 如何突破难点: ① 充分复习正弦线、函数图像的变换等知识; ② 认真梳理好讲解的顺序; ③ 利用多媒体、实物教具等手段。 四、教法与学法 教法:启发讲解法 学法:观察,思考,分析,动手操作 教学环境:根据教学内容和学生实际情况,准备使用多媒体辅助教学,通过生动有趣的动画 将抽象数学问题直观化,具体化,形象化,通过数形结合,图表并用,让学生在生动具体的 情境中感悟知识的发生和发展过程,优化学生对知识的理解和掌握。 五、教学过程设计 (一)复习 弧度制、正弦(余弦)函数定义、正弦线、余弦线、图像平移
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【设计意图】 :复习前知,为新知作铺垫。 【师生活动】 :师:提出问题; 生:回答问题。 (二)自学提纲 1、用几何法画出函数 y=sinx ,x∈ [0,2π ] 的图像; 2、如何得到函数 y=sinx ,x∈R 的图像; 3、如何得到函数 y=cosx ,x∈R 的图像; 4、 “五点法”做出正弦函数、余弦函数的图像。 【设计意图】 :培养学生自主学习的能力,提高学生发现问题、解决问题的能力。 【师生活动】 :师:点明教学目标,揭示课题,引导学生自主学习; 生:自主学习,发现问题,解决问题。 (三)探索新知 1、情景设置: 遇到一个新函数,画出它的图像,通过观察图像获得对它的性质的直观认识,是研究 函数的基本方法,为了获得正弦函数和余弦函数的图像,我们先做一个简谐振动的实验,请 注意观察它的图形特点。 【设计意图】 :明确研究思想,利用简谐振动图像引进正弦曲线、 余弦曲线。 【师生活动】 :师:说明基本思路; 生:观察漏斗中的细沙落在纸板上所形成曲线的形状。 2、给出思考: 通过上述实验,我们对正弦函数图像有了直观印象,那如何画出函数 y=sinx ,x∈ [0,2π ] 的图像呢? 【设计意图】 :体会用学过的“描点法”作图像的麻烦和不准确。 【师生活动】 :师:提出“作函数图像的步骤是什么?” 。 生:回答“列表、描点、连线” ,并动手尝试。 3、探索新知: ⑴、 我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数, 那是否可以用它来帮助作三角函数 图像呢? 【设计意图】 :建立单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系,引出利用正弦线作正 弦函数图像的方法。
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【师生活动】 :师:讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法。 生:思考如何得到图像上的一个点,即对于自变量 x,如何利用正弦线确它 所对应的 y 的值? ⑵、为什么要从单位圆与 x 轴交点 A 开始,将单位圆分成 12 等份? 【设计意图】 :使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内,以便较准确地 做出图像。 【师生活动】 :师:指导学生思考; 生:讨论,分析各个角度正弦线的位置。 ⑶、如何利用正弦线描出正弦函数图像上的一些点呢? 【设计意图】 :进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。 【师生活动】 :师:注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其对应的正弦线之 间的关系。 生:思考如何利用正弦线描出图像。 ⑷、按照教科书叙述的步骤,描出 12 个点,做出函数 y=sinx ,x∈ [0,2π ] 的图像。 【设计意图】 :培养学生的动手操作能力,形成对正弦函数图像感知。 【师生活动】 :师:指导学生动手画图。 生:动手画图。 4、新知拓展: 如何做出函数 y=sinx ,x∈ R 的图像? 【设计意图】 :引导学生利用诱导公式(一) ,只要将函数 y=sinx ,x∈ [0,2π ]的图像左、 右平移(每次 2 个单位长度)就可以得到函数 y=sinx ,x∈ R 的图像。 【师生活动】 :师:提示学生从诱导公式入手,进行思考。 生:思考问题,总结规律,动手画图。 5、课本探究: 你能根据诱导公式,以正弦函数的图像为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的 图像吗? 【设计意图】 :使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系,进而学习通过图 象变换画余弦函数图像的方法。 【师生活动】 :师:引导学生思考。 生:利用诱导公式,回答两个函数之间的关系,再用坐标变换做出余弦函数
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图像。 6、课本思考: 在做出正弦函数 y=sinx ,x∈ [0,2π ]的图像时,应抓住哪些关键点? 【设计意图】 :从对图像的整体观察入手,引出“五点法” 。 【师生活动】 :师:提出问题。 生:通过观察图像,确定在[0,2π ]上起关键作用的五个点,并通过描出五个 点做图像。 7、课本探究: 类似于正弦函数图像的五个关键点,你能找出余弦函数图像的五个关键点吗?请将 它们的坐标填入下表,然后做出函数 y=cosx ,x∈ [0,2π ]的简图。 【设计意图】 :类比正弦函数,学会“五点法”作余弦函数的简图。 【师生活动】 :师:提出思考的问题,引导学生回答。 生:通过类比,确定余弦函数图像的五个关键点并做出在上的图像。 8、例题分析: 例题 1、画出下列函数图像的简图: (1)y = 1+sinx , x∈ [0,2π ] (2)y = - cosx , x∈ [0,2π ] 练习 1、用多种方法在同一直角坐标系中,画出函数: (1) y=sinx , x∈ [ 0, 2 π ] (2) y=cosx , x∈ [ 0, 2 π ] 【设计意图】 :巩固“五点法” 。 【师生活动】 :师生:共同用“五点法”画出例 1 的图像,然后由学生独立完成练习 1,并 总结图像的作法。 9、课本第二个思考题: 你能否从函数图像变换的角度出发,利用函数 y=sinx,x∈[ 0, 2π ]的图像来得到

函数 y = 1+sinx,x∈[0,2π ]的图像?同样的,能否从函数 y = cosx,x∈ [0,2π ] 的图 像得到函数 y = -cosx,x∈[0,2π ]的图像? 【设计意图】 :使学生从图象变换的角度认识函数之间的关系。 【师生活动】 :师:提出思考问题。 生:独立完成,回答问题。
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10、课堂小结: 引导学生作如下小结: 1.代数描点法(误差大) 2.几何描点法(精确但步骤繁) 3.五点法(重点掌握) 4.平移法 (其中五点法最常用,要牢记五个关键点的坐标) 【设计意图】 :反思学习过程,对研究正弦函数、余弦函数图像的方法进行概括,深化认识。 【师生互动】 :生:思考回答。师:补充完善。 (四)布置作业 ①(必做题)画出下列函数的简图。 Y = 1-sinx Y = 3cosx x∈[0,2π ] x∈[0,2π ]

②(选做题)求出下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并分别写出最大值、最小 值是什么? y = -5sinx y = 1-cosx (五)板书设计 5、变换法作 y=cosx 的图像 1、正、余弦函数线 6、五点法作余弦函数图像 2、作点(a, sina) 7、例题 3、y=sinx,x∈[0,2π ]的图像 (1) 4、五点法作正弦函数图像 (2) 六、教学评价 本节例题仍选用教材上的例题,但解答除“五点法”之外,又引导学生利用函数图象的 平移对称变换来作图.通过一题多解,可帮助学生加深对知识的认知程度,培养灵活的思维 方式.学会遇到新问题时,善于调动所学过的旧知识,运用新旧知识间的联系,增强分析问 题和解决问题的能力.
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x∈R x∈R

反馈练习设计层次分明: 练习 1 为巩固基础知识型,对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换); 练习 2 为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用,由易到难,体现因材施教重 效果,循序渐进促发展的教学理念. 最后师生共同总结,强化数形结合的数学思想,使学生的理论达到发展和升华,能力 达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫,提高综合素质.这样设计体现了“多动手、勤动 脑、敢猜想、善发现”的学习方法,使学生真正成为教学的主体 各位专家,以上就是我对这节课的教学设想,不足之处恳请各位专家批评指正. 谢谢!

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