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新课标高中数学人教版必修5第二章等差数列教案设计


等差数列
(一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念; 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题, 进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题, 都需要用到有关数列的知识来解决。 今天我们就先学习 一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数, 从 0 开始, 每隔 5 数一次, 可以得到数列: 0,5,____,____,____,____,?? 2000 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共 设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg) :48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境, 用定期放水清理水库的杂鱼。 如 果一个水库的水位为 18cm,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水算 起, 到可以进行清理工作的那天, 水库每天的水位组成数列 (单位: m) : 18, 15.5, 13, 10.5, 8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利, 即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入 10 000 元钱,年利率是 0.72%。那么按照单利,5 年内各年末的本利和分别是: 时间 第1年 第2年 第3年 第4年 年初本金(元) 10 000 10 000 10 000 10 000 年末本利和(元) 10 072 10 144 10 216 10 288

第5年

10 000

10 360

各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,?? ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) 。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。 请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征, 尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是 5,5,-2.5,72。 提问:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么 条件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 A ?

a?b 2

由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的 等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 看来, a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q 则

am ? an ? a p ? aq

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下 面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ① 这个数列的第一项是 5,第 2 项是 10(=5+5) ,第 3 项是 15(=5+5+5) ,第 4 项是 20 (=5+5+5+5) ,??由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 5n ② 这个数列的第一项是 48,第 2 项是 53(=48+5) ,第 3 项是 58(=48+5×2) ,第 4 项 是 63(=48+5×3) ,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 48 ? 5(n ? 1) ③ 这个数列的第一项是 18,第 2 项是 15.5(=18-2.5) ,第 3 项是 13(=18-2.5×2) , 第 4 项是 10.5(=18-2.5×3) ,第 5 项是 8(=18-2.5×4) ,第 6 项是 5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 18 ? 2.5(n ? 1) ④ 这个数列的第一项是 10072,第 2 项是 10144(=10172+72) ,第 3 项是 10216 (=10072+72×2) ,第 4 项是 10288(=10072+72×3) ,第 5 项是 10360(=10072+72×4) ,由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 10072? 72(n ? 1) ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳:

a2 ? a1 ? d ,

(n-1)个等式

a3 ? a 2 ? d , a4 ? a3 ? d ,
?

所以

a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a 2 ? d , a 4 ? a3 ? d ,
?? 思考:那么通项公式到底如何表达呢?

a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a ? 2d , a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a ? 3d ,

?? 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以 a1 为首项,d 为公差的等差数列 {an } 的通项 公式为: an ? a1 ? (n ? 1)d 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项 a1 和公差 d,那么这个等差数列的通项 an 就 可以表示出来了。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法) : {an } 是等差数列,所以

an ? an?1 ? d ,
an?1 ? an?2 ? d , an?2 ? an?3 ? d ,
??

a2 ? a1 ? d ,
两边分别相加得 所以

an ? a1 ? (n ? 1)d , an ? a1 ? (n ? 1)d an ? an?1 ? d

(迭代法) : {an } 是等差数列,则有

? an ?2 ? d ? d
? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d

? an?3 ? 3d
??

? a1 ? (n ? 1)d
所以

a n ? a1 ? (n ? 1)d

[例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 分析:⑴要求出第 20 项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差; ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中

的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 解:⑴由 a1 =8,d=5-8=-3,n=20,得 a20 ? 8 ? (21? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 =-5, d=-9(-5) =-4, 得这个数列的通项公式为 an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1, 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于 an 、 a1 、d、 n(独立的量有 3 个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的 项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就 不是数列中的项。 (放投影片)例 2. 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不 含 4 千米)计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等 候时间为 0,需要支付多少车费? 解: 根据题意, 当该市出租车的行程大于或等于 4km 时, 每增加 1km, 乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列 {an } 来计算车费. 令 a1 =11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11, 此时需要支付车费 a11 ? 11.2 ? (11? 1) ? 1.2 ? 23.2(元) 答:需要支付车费 23.2 元。 例题评述: 这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用, 要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题:例 3 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q, 其中 p、q 为常数, 且 p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗? 分析:判定 {an } 是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看 an ? an?1 (n >1)是不是一个与 n 无关的常数。 解:取数列 {an } 中的任意相邻两项 an 与an?1 (n>1) , 求差得 an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p{n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q] ? p 它是一个与 n 无关的数. 所以 {an } 是等差数列。 课本左边“旁注” :这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项 a1 ? p ? q, 公差d ? p 。由此我们可以知道对于通项公式是形如 一定是等差数列, 一次项系数 p 就是这个等差数列的公差, 首项是 p+q. an ? pn ? q 的数列, 例题评述: 通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法: 如果一个数列的通

项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为 an ? 3n ? 5 的数列的图象。这个图象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数 y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列

an ? pn ? q 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。
分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2,3,??时,对应的 an 可以利用通项公式求出。经过描 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列

an ? pn ? q 的图象是一次函数 y=px+q 的图象的一个子集,是 y=px+q 定义在正整数集上对
应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列 an ? pn ? q 中的 p 的几何意义去探究。 [随堂练习] 例 1 之后:课本 45 页“练习”第 1 题; 例 2 之后:课本 45 页“练习”第 2 题; [课堂小结] 本节主要内容为: ①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ②等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) 推导出公式: an ? am ? (n ? m)d (五)评价设计 1、已知 {an } 是等差数列. ⑴ 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么? ⑵ 2an ? an?1 ? an? 是否成立?据此你能得出什么结论? ( ) 1 n?1 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2an ? an?k ? an?( ) k n?1 2、已知等差数列 {an } 的公差为 d.求证:

am ? an ?d m?n


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