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广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题(2013深圳二模)(word版)

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试
1 1. i 为虚数单位,则 i ? 等于 i A. 0 B. 2i C. 1 ? i lg(2 ? x ) 2.函数 f ( x ) ? 的定义域是 x ?1 1 ? A.(1 ,2) B.[1 ,2) C.(?? , )?(2 , ?) x ,y ? R ,则“ x ? 1 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 3 ”的 3.设 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? 2 x B. y ? sin x C. y ? log 2 x
D. ?1 ? i

D.(1 ,2] D.既不充分也不必要条件 D. y ? x | x |

5.如果函数 f ( x)? sin(πx ? ? )(0 ? ? ? 2π)的最小正周期为 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么 π π ? ? A. T ? 2 , ? B. T ? 1, ? π C. T ? 2 , ? π D. T ? 1, ? ? ? 2 2 6.若抛物线 y 2

x2 y 2 ? ?1 ? ax 的焦点与双曲线 12 4 的右焦点重合,则 a 的值为
C. 16 C. a b ? 1 D. 8 2 D. lg(b ? a)? 0

A. 4 B. 8 7.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是 1 1 A. a3 ? b3 B. ? a b

? 8.若平面向量 b 与 a ?(3 , 4)的夹角是 180? ,且 | b |? 10 ,则 b ? 4 A.(?3 , ) 8 B.(?6 , ) ? C.(6 , 8)
2 1 2
正(主)视图

? D.(8 , 6)

9.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形,则此几 何体的体积是 20 A. π B. 6π 3 16 10 C. π D. π 3 3

4
侧(左)视图

10. 非空数集 A ? ?a1 , 2 , 3 , , n ?(n ?N* )中, 所有元素的算术平均数记为 E( A), E( A)? 即 a a ? a

a1 ?a2 ? 3 ? ? a n a ? . 若 n (第 9 题图) 俯视图 非空数集 B 满足下列两个条件:① B ? A ;② E( B)? E( A),则称 B 为 A 的一个“保均值子集” .据此,集合 1,2,3,4,5 的“保均值子集”有 ? ?

A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 ( 1 11 . P( x ,y) 是 以 A 4 , ) , B(?1,? 6) , C(?3,2) 为 顶 点 的 三 角 形 及 其 内 部 上 的 任 一 点 ,则 4 x ? 3 y 的 最 大 值 为 . ? 12 . 下 图 是 用 二 分 法 求 方 程 x 2 ? 2 ? 0 近 似 解 的 程 序 框 图 , 若 输 入 x1 ? 1,x2 ? 2 , ? 0.3 , 则 输 出 的 m 是 . (注:框图中的“=” ,即为“←”或为“: ) =” 开始 开始
f ( x) ? x2 ? 2
输入精确度 ? 和 x1 , x2 的初值

m?

x1 ? x2 2

第1页

13.已知公比为 2 的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? a14 ? a17 ? a 20 ? 13 ,则该数列前 21 项的和 S21 ?



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分. 14. (几何证明选讲) C 如图, P 是 ? O 外一点, PA 与 ? O 相切于点 A ,割线 PC 与 ? O 相交于点 B ,C , 且
PA ? 3 , PC ? 3 3 , AB ?

3 ,则 AC ? 2


?O
B

15. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知两圆 C1 : ? ? 2cos? 和 C2 : ? ? 2sin ? ,
A (第 14 题图)

P

则过两圆圆心的直线的极

坐标方程是 . 三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 . (1)求角 C 的大小;

π (2)求 sin(B ? ) 的值. 3
17. (本小题满分 12 分) 2013 年 3 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂 ...... 与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 25 15 40 混凝土耐久性不达标 5 15 20 总计 30 30 60

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1% 的前提下,认为使用淡化海砂 与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本 混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:
P( K 2≥k )
k

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

第2页

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC ? AA1 ,且 AC ? 2BC ,点 D 是 AB 的中点. A1 C (1)证明: AC1 // 平面 B1CD ;
B1
1

(2)证明:平面 ABC1 ? 平面 B1CD .

A D B

C

19. (本小题满分 14 分)

(第 18 题图)

各项为正数的数列 ?an ? 满足 an2 ? 4Sn ? 2an ? 1 ( n ? N* ) ,其中 Sn 为 ?an ? 前 n 项和. (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
m 3 (3)是否存在正整数 m 、 n ,使得向量 a ?(2an? 2 , ) 与向量 b ?(?an?5 , ? an )垂直?说明理由.

20. (本小题满分 14 分)
3 x2 y 2 ,经过椭圆 E 的下顶点 A 和右焦点 F 的直线 l 与圆 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? 2 a 2 b2 y 27 C : x2 ?( y ? 2b)2 ? 相切. 4 (1)求椭圆 E 的方程;

如图,椭圆 E:

(2)若动点 P 、 Q 分别在圆 C 与椭圆 E 上运 值时点 Q 的坐标.
?C

动,求 PQ 取得最大

l
O

F A
(第 20 题图)

x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)? ln x ? ax2 ?(1 ? 2a)x(a ? 0).
第3页

(1)求函数 f ( x)的最大值; (2)求函数 f ( x)在区间(

1 ; ,2)上的零点的个数( e 为自然对数的底数) ea

(3)设函数 y ? f ( x)图象上任意不同的两点为 A x1 ,y1 )、B( x2 ,y2 ),线段 AB 的中点为 C( x0 ,y0 ),记直线 AB 的 ( 斜率为 k ,证明: k ? f ? x0 ). (

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