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第二章 2.3 第1课时


第二章
2.3

随机变量及其分布

离散型随机变量的 均值与方差
离散型随机变量 的均值
高中数学选修2-3(人教A版)

第1课时

导入新课
根据已知随机变量的分布列,我们可以方便地得出随机变量的
某些值对应的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:已知某射手

射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.
这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值.

学习目标
1.了解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的
分布列求出均值. 2.独立思考,合作学习,能熟练地应用公式求相应的离散型随机变 量的均值. 3.激情投入,感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与

人文价值.
重点:离散型随机变量的均值的理解与计算. 难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值.

预习反馈
1.优秀小组: 优秀个人:

2.存在的问题:
(1) (2) (3)

自主学习
1.独立思考, 完成“质疑探究”部分的学习内容,列出问题的思路、
要点。 2.明确自己的疑问,以备小组合作讨论解决。 3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。

合作探究
内容:
1. 学习中遇到的疑问。 2.导学案“质疑探究”部分的问题。

要求:
(1)人人参与,热烈讨论,大声表达自己的思想。 (2)组长控制好讨论节奏,先一对一分层讨论,再小组内集中讨论。

(3)没解决的问题组长记录好,准备质疑。

高效展示
展示内容
(一)基础知识探究: 探究点(口头展示) (二)知识综合应用探究: 1 、3 组

展示小组

要求:
⑴口头展示,声音洪 亮、清楚;书面展示 要分层次、要点化, 书写要认真、 规范。 ⑵非展示同学巩固基 础知识、整理落实学

探究点1(书面展示)
探究点2(书面展示)

2 、6 组
4 、5 组

案,做好拓展。不浪 费一分钟,小组长做 好安排和检查。

精彩点评
点评内容
(一)基础知识探究: 探究点 (二)知识综合应用探究: 2 、4 组

点评小组

要求:
⑴先点评对错; 再点评思路方法,

应该注意的问题,
力争进行必要的 变形拓展。 ⑵其他同学认真

探究点1
探究点2

3 、5 组
1 、6 组

倾听、积极思考、
记好笔记、大胆 质疑。

总结升华
(一)基础知识探究:
?探究点:离散型随机变量的均值
探究下面的问题,并对设置的问题做出正确的回答:

1.什么是离散型随机变量的均值(或数学期望)?

解:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 ? xi ? xn

P

p1

p2

?

pi

?

pn

则称E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.

问题:如何进一步理解均值(或数学期望)?
解:均值(或数学期望)是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离

散型随机变量取值的平均水平.
2.离散型随机变量X的均值的一个重要性质是什么?

解:若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量. 因为P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,?,n, 所以,Y的分布列为
Y ax1+b ax2+b ? axi+b ? axn+b

P

p1

p2

?

pi

?

pn

于是E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+?+(axi+b)pi+?+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn)+b(p1+p2+?+pi+?+pn)=aE(X)+b. 即E(aX+b)=aE(X)+b.

【归纳总结】 1.离散型随机变量的均值,反映了随机变量取值的平均水平. 2.求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤:①理解ξ的意义,写出ξ 可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分 布列,由均值的定义求出E(ξ). 3.公式E(aξ+b)=aE(ξ)+b. 4.服从二项分布的随机变量ξ的均值E(ξ)=np

(二)知识综合应用探究:
?探究点1:求离散型随机变量的均值
例1.不透明的袋子中有9个球,其中有4个黑球,3个白球,2个
红球,这些球除颜色外其余均相同.任取2个球,每取到一个黑球
记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用ξ表示所 得分数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.

解析指导:先把随机变量对应的取值一一列举,再求相应的概率.

解:(1)由题意可知ξ可能的取值为0,1,2,3,4.
2 C4 1 ? ? 0时, 取2黑,P (? ? 0) ? 2 ? ; C9 6 1 C1 ? C 1 4 3 ? ? 1时, 取1黑1白,P (? ? 1) ? ? ; 2 C9 3 1 C2 C1 11 3 2 ? C4 ? ? 2时, 取2白或1红1黑,P (? ? 2) ? 2 ? ? ; 2 C9 C9 36 1 C1 ? C 1 3 2 ? ? 3时, 取1白1红,P (? ? 3) ? ? ; 2 C9 6

C2 1 2 ? ? 4时, 取2红,P (? ? 4) ? 2 ? . C9 36

所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4

P

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36

1 1 11 1 1 14 (2)数学期望E (? ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 6 3 36 6 36 9
【规律方法总结】 求离散型随机变量的均值最重要的是正确求出离散型随机变量的分 布列,然后代入均值公式计算即可.

【拓展提升】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员 罚球命中的概率为0.7,求 (1)他罚球1次的得分ξ的数学期望; (2)他罚球2次的得分η的数学期望; (3)他罚球3次的得分ε的数学期望. 解析指导:把随机变量每一个取值考虑全面,不要漏掉情况.

解:(1)因为P(ξ=1)=0.7,P(ξ=0)=0.3,所以
E(ξ)=1×P(ξ=1)+0×P(ξ=0)=0.7. (2)η的分布列为 η 0 1 2 2 P 0.32 C1 ? 0.7 ? 0.3 0.7 2 所以E(η)=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4. (3)ε的分布列为

ε 0 1 2 3 2 2 2 3 P 0.33 C1 ? 0.7 ? 0.3 C ? 0.7 ? 0.3 0.7 3 3
所以E(ε)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.

?探究点2:求服从两点分布、二项分布的随机变量的均值 (重难点)
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作
出选择或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9, 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个,求学生 甲和乙在这次单元测验中取得的成绩的期望. 解析指导:明确所要研究的随机变量的含义,搞清楚学生的测验 成绩与学生答对选择题的个数的关系是关键.

解:设学生甲和乙在这次测验中选中正确答案的选择题个数分别 是ξ,η,则ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25),所以E(ξ)=20×0.9=18, E(η)=20×0.25=5. 因为答对一个题得5分,学生甲和乙在这次测验中取得的成绩分别

是5ξ和5η,所以,他们在测验中取得的成绩的期望分别是:
E(5ξ)=5E(ξ)=5×18=90;E(5η)=5E(η)=5×5=25. 【规律方法总结】求随机变量的均值的关键在于求出随机变量的 分布列,一旦随机变量的分布列确定了,就可以直接代入公式求均 值了,如果随机变量服从二项分布,只需将数据代入服从二项分布 的随机变量的均值公式即可,没必要再列分布列.

【拓展提升】
购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投 保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金. 假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出 险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元 的概率为1-0.999×104. (1)求一投保人在一年度内出险的概率p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,

为保证盈利的数学期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费
(单位:元).

解析指导:解答第(1)题运用对立事件的概率公式,建立方程求解. 解答第(2)题运用二项分布的数学期望公式,建立不等式求解.各 投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000 人中出险的人数为ξ,则ξ~B(104,p).

解:(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔
偿金,则A发生当且仅当ξ=0不发生,P(A)=1-P( A )=1-P(ξ=0)=1-

(1-p)×104,又P(A)=1-0.999×104,故p=0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出:10 000ξ+50 000, 盈利:η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望为:

E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000,
由ξ~B(104,10-3)知,E(ξ)=10 000×10-3, E(η)=104a-104E(ξ)-5×104 =104a-104×104×10-3-5×104. E(η)≥0 ? 104a-104×10-5×104≥0 ? a-10-5≥0 ? a≥15. 故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

整理巩固
要求:整理巩固探究问题 落实基础知识

当堂检测
要求:学生自主完成 答案:解:抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 E (? ) ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 6 6 6 6 1 1 6 ? ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? ? 3.5. 6 6

1 6

课堂小结
1.知识方面:(1)离散型随机变量的均值的含义;(2)离散型随机 变量的均值的应用. 2.数学思想方面:(1)分类讨论的思想;(2)化归与转化的思想.

课堂评价
小组
积分 优胜 个人 说明:1.学科班长回扣目标 总结收获
请在课后完成 “训练案”

一组

二组

三组

四组

五组

六组

七组

八组

九组

2.评出优胜小组和优胜个人

Thank you!


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