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2013届上海市八校高三下学期联合调研考试数学(理)试题 Word版含答案

一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若 z ? C ,且 (3 ? z )i ? 1 ,则 z ? ________________。 2.函数 y ? log0.5 x 的定义域为 。 。 。

3.已知 f ( x ? 1) ? 2x ? 2 ,那么 f ?1 (2) 的值是 4.方程

3 cos x cos x

sin x cos x

?

3 , x ? ?3,4? 实数解 x 为 2

5.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d =



6. ?an ? 是无穷数列,已知 an 是二项式 (1 ? 2 x)n (n ? N*) 的展开式各项系数的和,记 Pn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,则 a1 a2 an

lim Pn ? ____________。
n ??

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点, DE ? DC 的最大值为 8.双曲线过 ( 3,3) ,且渐近线夹角为 60 ,则双曲线的标准方程为
? ?

。 。
2

9.△ ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 ?B ? 60 ,不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集

为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ______。 10.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这 10 个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率是 。

11.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成一个棱长为 12 的正方体。 12 . f (x) 为 R 上 的 偶 函 数 , g (x) 为 R 上 的 奇 函 数 且 过 ?? 1,3? , g ( x) ? f ( x ? 1) , 则

f (2012 ? f (2013 ? ) )



13.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个 结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
*

1 2 a 。 2



14.设等差数列 ?an ? 满足:公差 d ? N , an ? N * ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若 a1 ? 35 ,则 d 的所有可能取值之和为 。

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题 纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 ( )

16.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则 这样的 x 值有 ( )

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 17.若点 M ( a, ) 和 N (b, ) 都在直线 l : x ? y ? 1 上,则点 P(c, ) , Q( , b) 和 l 的关系是 (A)P 和 Q 都在 l 上 (C)P 在 l 上,Q 不在 l 上 (B)P 和 Q 都不在 l 上 (D)P 不在 l 上,Q 在 l 上

1 b

1 c

1 a

1 c

18.受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司 2012 年一年内每天的利润 Q (t ) (万元)与时间 t (天)的关 系如图所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元,令 C (t ) (万元)表示时间段 [0, t ] 内该公司的平均利润,用 图像描述 C (t ) 与 t 之间的函数关系中较准确的是( )

三. 解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必 要的步骤。

19.(本题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径, OA ? 2 , ?AOP ? 120? ,三棱锥 A ? APB 的体 1 积为

8 3。 3

(1)求圆柱 OO1 的表面积; (2)求异面直线 A B 与 OP 所成角的大小。 1 (结果用反三角函数值表示)

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45 (其
?

t 中点 P、Q 分别在边 BC、CD 上),设 ?PAB ? ? ,tan ? ? ,探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S (平方百米)。
(1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值。

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 C 以 F ? ?2,0? , F2 ? 2,0? 为焦点且经过点 P ( ? 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l 过点 P ,且直线 l 的一个方向向量为 m ? ? 3,3? 。一组直线 l1 , l2 ,?, ln ,?, l2n ( n ? N )都与直线 l
*

5 3 , ), 2 2

??

平行且与椭圆 C 均有交点,他们到直线 l 的距离依次为 d , 2d ,?, nd ,?, 2nd (d ? 0) ,直线 ln 恰好过椭圆 C 的中心, 试用 n 表示 d 的关系式,并求出直线 li ?i ? 1,2,?,2n? 的方程。 (用 n 、 i 表示)

22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

已知下表为函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d 部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值 精确到 0.01。

x
y

-0.61 0.07

-0.59 0.02

-0.56 -0.03

-0.35 -0.22

0 0

0.26 0.21

0.42 0.20

1.57 -10.04

3.27 -101.63

根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断 f (x) 的奇偶性,并证明; (2) 判断 f (x) 在 ?0.55,0.6? 上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断 a 的符号,并证明 f (x) 在 ?? ?,?0.35? 是单调递减函数。

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对 于 数 列 A : a1, a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) , 定 义 “ T 变 换 ” : T 将 数 列 A 变 换 成 数 列 B : b1 , b2 , b3 , 其 中

bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) ,且 b3 ? | a3 ? a1 | 。这种“ T 变换”记作 B ? T ( A) 。继续对数列 B 进行“ T 变换”,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束。
(1)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的各数列;若不能,说明理 由; (2)设 A : a1 , a2 , a3 , B ? T ( A) 。若 B : b, 2, a (a ? b) ,且 B 的各项之和为 2012 。求 a , b ; (3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值,并说明理由。

5 3 x? y? 2 ? x ? y ? 4 ? 0 ……………………… (2)? 直线l的方程为: 2 ? 3 3
直线 l n // l 且过椭圆 C 的中心,? 直线 l n 的方程为: x ? y ? 0 由题意知:直线 l n 到 l 的距离为 nd ,即:

7分

4 2

? nd ? d ?

2 2 n
8分 9分

?d ?

2 2 , n ? N * ……………………………………………………………… n

?

?

设直线 li (i ? 1,2,?,2n) 的方程为: x ? y ? ci ? 0 ,………………………………

x2 y2 ? ? 1 有交点, 直线 li (i ? 1,2,?,2n) 与椭圆 C : 10 6
消去 y ,得 8x ? 10ci x ? 5ci ? 30 ? 0 , ? ? 100 i ? 32(5ci ? 30) ? 0 c
2 2 2 2

? ?4 ? ci ? 4 ……………………………………………………………………… 11 分

2 ? x 2 ? x1 x 2 ? x12 ?

c ? 0.3675 ? 0.36 ? 0 a


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