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浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1、已知全集 U=R,集合 A= {x A. {x x ? ?2或x ? 0} C. {x x ? ?2或x ? 0} 2、复数 z ?

x?2 ? 0} ,则集合 CU A 等于 x
B. {x x ? ?2或x ? 0} D. {x x ? ?2或x ? 0}

( ▲ )

2?i ? i(2 ? i) 在复平面对应的点在 1? i
B. 第二象限 C.第三象限

( ▲ ) D.第四象限

A.第一象限

3、已知 a, b ?R,则“ a ? b ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件

a?b ? ab ”的 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ▲ )

4、关于直线 a、b、l 及平面 ? 、 ? ,下列命题中正确的是 A.若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b C.若 a ? ? , b ? ? ,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥ ? 5、若 sin ? ? cos ? ? A. ?

B.若 a∥ ? ,b⊥a,则 b⊥ ? D.若 a⊥ ? ,a∥ ? ,则 ? ⊥ ? ( ▲ )

7 (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ? 13
12 5
C. ?

1 3

B.

12 5
2

D.
2

1 3
( ▲ )

6、对任意的实数 k ,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三个选项均有可能

7、已知正数 a, b 的等比中项是 2,且 m ? b ?

1 1 , n ? a + ,则 m ? n 的最小值是( ▲ ) a b

A.3 B.4 C.5 D.6 8、已知偶函数 f ( x) 在 R 上的任一取值都有导数,则且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲 线 y ? f ( x) 在 x ? ?5 处的切线的斜率为 A. -1 B.-2
2

( ▲ ) D. 2

C.1

9、已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? a ? 3, 则使函数 f ( x) 至少有一个整数零点的所有正整 数 a 的值之和等于 ( ▲ )

A.1
2 2

B.4

C.6

D.9

10、椭圆

x y + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF⊥BF,设 a 2 b2

∠ABF= ? ,且 ? ∈[ A. [

? ? , ],则该椭圆离心率的取值范围为 12 4
B. [

( ▲ ) D.[

2 6 , ] 2 3

2 3 , ] 2 2

C.[

6 ,1) 3

2 ,1 ) 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、已知函数 f ( x) ? ? ▲ .

?3x ( x ? 0) ?log 2 x ( x ? 0)

,则 f [ f ( )] ?

1 2

12、如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积 是 ▲ .

13、 若各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a2 ? 2a3 ? 3a1 , 则公比 q ? ▲ .

14、某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 值 为 ▲ .

? 2? x ? 0 ? y?x 15、若实数 x,y 满足不等式组 ? (其中 k 为常数) , ?2 x ? y ? k ? 0 ?
若 z ? x ? 3 y 的最大值为 5,则 k 的值等于





16、记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若 A 是不超过 5 的奇 数,从这些两位数中任取一个,其个位数为 1 的概率为 ▲ 。 17、在 ?ABC中,?ACB为钝角,AC ? BC ? 1, CO ? xCA ? yCB 且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? 3 ,则 CO 的最小值为 x ? y ? 1,函数 f (m) ? CA ? mCB 的最小值为
2





三.解答题(共 5 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 72 分) 18、 (本题满分 14 分)已知函数 区间 [0,

f ( x) ? 2 3 cos2 x ? 2 sin x cos x ? m ( x ? R) 。在

?
2

] 上,函数 f ( x) 最大值为 2。

(1)求实数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边是 a, b, c 。若 A 为锐角,且满足 f ( A) ? 0 ,

sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

3 3 , 求边长 a 。 4

19、 (本题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 的公差为 ?1 , 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , (1)求数列 ? an ? 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ; (2)若 ?bn ?是首项为 4,公比为
?

1 的等比数列,前 n 项和为 Tn , 求证:当 t ? 6 时,对任 2

意 n, m ? N , S n ? Tm ? t 恒成立。

π , 斜边 AB ? 4 。Rt△AOB 以直线 AO 6 为轴旋转得到 Rt△AOC ,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角。动点 D 在斜边 AB 上。 (1)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; 1 (2)当 AD ? DB 时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值; 2 (3)求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值。
20、 (本题满分 14 分) 在 Rt△AOB 中,?OAB ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中实数 a ? 0 。 2 (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; 1 1 (2)若在区间 [ ? , ] 上, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 2 2
21、 (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ?
3

22、(本题满分 15 分) 过 x 轴上动点 A(a,0) ,引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 AP 、 AQ 。
2

切线斜率分别为 k1 和 k 2 ,切点分别为 P 、 Q 。 (1)求证: k1 ? k2 为定值;并且直线 PQ 过定点; (2)记 S为面积 ,当 ??? ? 最小时,求 AP ? AQ 的值。

S ?APQ PQ

??? ? ????

y

Q A O

P
x

2013 学年第一学期十校联合体高三期末联考 数 学 试 卷(文科)参考答案

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18、 (本题满分 14 分) 解:(1)∵

f ( x) ? 2 3 cos 2 x ? 2sin x cos x ? m ? 3(cos x ? 1) ? sin 2 x ? m
?
??4 分

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ? m 3 ? ? ? 4? ? x ? [0, ],所以 ? 2 x ? ? 2 3 3 3
∴函数 f ( x)在2 x ? 解得 m ?

?

3

?

?

2

时取得最大值。 2 ? 3 ? m ? 2 ????7 分

3

19、 (本题满分 14 分)

20、 (本题满分 14 分) (1)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是直二面角 B ? AO ? C 的平面角,???2 分 ?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

A

?CO ? 平面 AOB ,

D

又 CO ? 平面 COD . ???4 分 ?平面 COD ? 平面 AOB . (2)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , ???6 分 ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 在 Rt△COB 中,易得 CO ? BO ? 2 , OE ?

1 2 BO ? , 3 3

? CE ? CO 2 ? OE 2 ?

2 10 . 3

又 DE ?

2 4 3 . AO ? 3 3 CE 30 ? . DE 6 30 . 6
???9 分

?在 Rt△CDE 中, tan ?CDE ?

?异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值为
(3)由(I)知, CO ? 平面 AOB ,

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan ?CDO ?
当 OD 最小时, ?CDO 最大, 这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

OC 2 . ? OD OD
???11 分

2 3 OA ? OB , ? 3 , tan ?CDO ? 3 AB

?CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值为

2 3 .???14 分 3

②若 a ? 2 ,则 0 ? 在 (?

1 1 ? ,当 x 变化时, a 2

1 1 1 1 , 0) 上, f ( x) 为单调递增。在 (0, ) 上 f ( x) 为单调递减,在 ( , ) 上 f ( x) 为 2 a a 2

单调递增。

1 ? 5?a ? ?0 f (? ) ? 0 ? ? 1 1 ? 8 ? 2 所以当 x ? [? , ] 时 f ( x) ? 0 等价于 ? 即? 2 2 ?1 ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? a ? ? 2a 2
解不等式组得

2 2 ? a ? 5或 a ? ? ,因此 2 ? a ? 5 。 2 2

????14 分 ????15 分

由以上可知取值范围是 0 ? a ? 5 22、 (本题满分 15 分) (1) (法一)证明:设过 A 点的直线为: y ? k ( x ? a) 与抛物线联立得:

? y ? k ( x ? a) 2 得: x ? kx ? ka ? 1 ? 0 ? 2 y ? x +1 ?

? ? k 2 ? 4ak ? 4 ? 0

∴ k1 ? k2 ? 4a ,

k1 ? k2 ? ?4 为定值。
2

???4 分

抛物线方程 y ? x ? 1 ,求导得 y ' ? 2 x ,设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ )

k1 ? 2 x p , k2 ? 2 xq
∴ x p ? xq ? 2a , x p ? xq ? ?1 设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ ) PQ 的直线方程: y ? y p ? 得到 y ? ( x p ? xq ) x ? x p xq ? 1 整理可得 y ? 2 xa ? 2 ∴直线 PQ 过定点 (0, 2) 。 ???7 分

y p ? yq x p ? xq

( x ? x p ) ,由 y p ? x p 2 +1 , yq ? xq 2 +1

(法二)证明:设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ ) 。求导得 y ' ? 2 x , ∴ l AP : y ? 2 x p ( x ? a) , ∵ ( x p , y p ) 在直线上,即 y p ? 2 x p ( x p ? a ) , ∵P ( x p , y p ) 在抛物线方程上得 y p ? x p +1 ,整理可得 y p ? 2 x p a ? 2 ,
2

同理 yQ ? 2 xQ a ? 2 , 所以 lQP : y ? 2 xa ? 2 。 ∴直线 PQ 过定点 (0, 2) 。 联立 PQ 的直线方程 lQP : y ? 2 xa ? 2 和抛物线方程 y ? x ? 1 ,
2

???3 分

可得: x 2 ? 2 xa ? 1 ? 0 , 所以 x p xQ ? ?1, x p ? xQ ? 2a , 所以 k1 ? k2 ? 2 x p ? 2 xQ ? ?4 为定值 (2)解:设 A 到 PQ 的距离为 d.。 S?APQ ? PQ ? ?????7 分

d , 2
?????10 分

? ? 所以 ??? | PQ |

S ?APQ

d 2a 2 ? 2 a2 ? 1 ? ? , 2 2 4a 2 ? 1 4a 2 ? 1

设t ?

S ?APQ t 2 ? 3 3 ? ? 4a 2 ? 1 ? 1 ,所以 ??? , ? 4t 2 | PQ |
当且仅当 t ? 3 取等号,即 a ? ?

2 。 2

????12 分

???? ??? ? ? ( x p ? a, y p ) ? ( xQ ? a, yQ ) ? x p xQ ? a( x p ? xQ ) ? a 2 ? y p yQ AQ ? AP 因为
因为 y p yQ ? (2 x p a ? 2)(2 xQ a ? 2) ? 4a x p xQ ? 4 ? 4a( x p ? xQ ) ? 4a ? 4
2 2

所以 AQ ? AP ? 3a 2 ? 3 ?

???? ??? ?

9 2

????15 分

注:解答题其他解法酌情给分。


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