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递推数列的通项公式PPT学习课件_图文

数列专题:递推数列的通项公 式 一、递推关系为 an?1 ? Aan ? B( A ? 1, A, B ? 0) 型 设an?1 ? x ? A(an ? x) ? an ?1 ? Aan ? ( A ? 1) x,令 ? A ? 1? x ? B 。则 x ? B A ?1 B a ? ? 故 n ?1 A ?1 B ? ? B ? B ? a ? A ? an ? ?是以 A 为 ? 0 时,数列 ? n ?,当 a1 ? A ? 1 A ? 1 ? ? ? ? A ?1 公比的等比数列。 例1(2006年重庆高考)在数列 的通项公式 an ? ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 则该数列 。 解:由 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 得数列 列,即 an ?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,公比为2的等比数 ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ? 3 3 ? an ?1 例2.(2007年全国高考卷)设数列 ?an ? 的首项 a1 ? ? 0,1? , an ? , (n ? 2) 2 则 ?an ? 的通项公式为 。 3 ? an ?1 1 ? an ? 1 ? ? ? an ?1 ? 1? ,得 数列是以 a1 ? 1 ? 0 解:由 an ? 2 2 n ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? 为首项,公比为? 则 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? ? ? ? ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? 二、递推关系为 an?1 ? Aan ? f ? n ? ,( A ? 0) 1、当A=1时,有 an?1 ? an ? f (n) ? 1, an?1 ? an ? n 型 ,此时可用累加法求 an 。 例3、数列 ?an ? 中,a1 解:a n?1 ,则数列的通项公为 ? an ? n ? an?1 ? an ? n an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ??? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 n(n ? 1) ?1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ??? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 2、当A ? 1时,f (n) ? Bn ? C ,可设 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? A(an ? xn ? y) ,求 例4、在数列 ?an ? 中, 1 数列的通项公式。 a ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N * 解:设 an?1 ? x(n ? 1) ? 即 y ? 4(an ? xn ? y) an?1 ? 4an ? 3xn ? (3 y ? x) 令 ? 3x ? ?3 ? x ? ?1 ?? ? an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) ? ?3 y ? x ? 1 ? y ? 0 又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是以1为首项,4为公比的等比数列, 所以 an ? n ? 4n?1 即 an ? 4n?1 ? n 3、当A ? Aan ? f ? n ? ,( A ? 0) an ?1 an n n ? n ?1 ? B (1)若A=? ,则由 an ?1 ? Aan ? B ? ? ? an ?1 ? ? an ? B ? ? ? n ? ? ? 1时, f (n) ? B ? ? n ,( B ? 0, ? ? 0) 时 an ?1 ? an ? a1 即数列 ? n ?1 ? 是以 0 为首项,公差为B的等差数列。 ? ?? ? a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?) ? 2n , ? n ? N *? ?an ? 中, 例5、(2007年天津高考)在数列 其中? ? 0,求数列 ?an ? 的通项公式。 n ?1 n a ? a ? (2 ? ? ) ? 2 n 解:由 a ? ? a ? ? n ?1 ? (2 ? ? ) ? 2n ? n ?1 ? ? n?1 ? n ?1 n n ?1 n ?1 ? ? ? ? n?1 n ?1 n n ?1 n ? ? ? an?1 an ? 2 ? a a 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? n ?1 n ? n?1 ? n ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? n?1 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? 1 ? ? ??? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? a 2 又 ? ?? ?0 n ? ? a 2 ? ? 是以0为首项,1为公差的等差数列, ? ? 所以数列 n ? 1 ? n ? ?? ?2? n n ? 所以 n ? ? ? n ? 1 ? an ? 2 ? ? n ? 1? ? ? ??? an n ? ? ? ??? ? ? (2)若 A ? ? 。因 f (n) 中含有 ? n ,所以设 an ?1 ? x? n ?1 ? A ? an ? x? n ? 4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? 3 3 3 例6、(2006年全国高考卷)设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 求首项 a1 与通项 an 4 1 2 a1 ? ? 22 ? 3 3 3 解:当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 所以a1 当 4 1 n ?1 4 1 n n ? 2 时 an ? S n ? S n ?1 ? an ? ? 2 ? an ?1 ? ? 2 3 3 3 3 ?2 即 an ? 4an?1 ? 2n ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 ) 又 a1 ? 2 ? 4 所以有 an 所以数列

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