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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(文科类)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2016.3

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x x ? 3? , B ? ? x x ? 2? ,则 (? U B) A. ? x x ? 2? B. ? x 1 ? x ? 3? C.

A?
D. ? x 2 ? x ? 3?

? x 2 ? x ? 3?

2.已知 i 为虚数单位,则复数 A. 1 ? i

2i = 1? i
C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

B. 1 ? i

3.已知非零平面向量 a ? b , “ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

开始 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. 42 B. 19 C. 8 D. 3 i=1,S=1 i= i+1

i<4? 否 输出 S 结束



S= 2S+i

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 3a cos B ? b sin A ? 0 ,则 B ? A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

法 探 生 究 研 际 身 自 思 真 认 神 精 标 新 会 领 刻 深 论 理 育 教 的 关 有 习 学 复 反 我 , 来 以 革 改 程 课 施 实 从

6.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是 A. 3 ? 3 B. 3+ 6 C. 1 ? 2 3 D. 1 ? 2 6
1

3 正视图

2

侧视图

1 1

俯视图

7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误 的是 .. A. 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B. 结余最高的月份是 7 月份 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 (注:结余=收入-支出)
万元 90 80 70 60 50 40 30 20 10 O 1 2 O 3 4 5 6 7 1 8 O 9 10 11 12 5 月 收入 支出

8. 若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 与曲线 ( x ? 1) y ? 1 的没有公共点,则半径 r 的取值范围是 A. 0 ? r ? 2 B. 0 ? r ?
11 2

C. 0 ? r ? 3

D. 0 ? r ?

13 2

2
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第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 ( x ? 3), x ? 0,
2 ?x ,

x ? 0,

则 f ( f (?1)) ?

.

10.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则此双曲线的渐近线方程为 m

.

? 11.已知递增的等差数列 {a n } n ? N 的首项 a1 ? 1 , 且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列, 则数列 {a n }

?

?

的通项公式 an ?

; a4 ? a8 ? a12 +

? a4 n +4 ? ____.

? y ? 0, ? 12.已知不等式组 ? y ? x, 表示的平面区域为 D .若直线 y ? a ? x ? 1? 与区域 D 有公 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
共点,则实数 a 的取值范围是 . 13.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,过圆心 C 的直线 l 交圆 C 于 A, B 两点,交 y 轴于点 P . 若 A 恰为 PB 的中点,则直线 l 的方程为 .

14.甲乙两人做游戏,游戏的规则是:两人轮流从 1(1 必须报)开始连续报数,每人一次最 少要报一个数, 最多可以连续报 7 个数 (如, 一个人先报数 “1, 2” , 则下一个人可以有 “3” , “3,4” ,…, “3,4,5,6,7,8,9”等七种报数方法) ,谁抢先报到“100”则谁获胜. 如果从甲开始,则甲要想必胜,第一次报的数应该是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin ? x cos(? x ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 16.(本小题满分 13 分)
? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? n , n ? N .

? 3

? ? 6 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

17. (本小题满分 13 分)
3
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某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著,为了解学生的阅读情况,对该班所有学生进 行了调查.调查结果如下表: 阅读名著的本数 男生人数 女生人数 1 3 1 2 1 3 3 2 3 4 1 1 5 3 2

(Ⅰ)试根据上述数据,求这个班级女生阅读名著的平均本数; (Ⅱ) 若从阅读 5 本名著的学生中任选 2 人交流读书心得, 求选到男生和女生各 1 人的概率; (Ⅲ)试判断该班男生阅读名著本数的方差 s12 与女生阅读名著本数的方差 s2 2 的大小 (只需写出结论) . (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为

x1 x2 ,…… xn 的平均数)
18.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC ,?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 . M , N 分别为 BC 和 CC1 的中点, P 为侧棱 BB1 上的动点.
(Ⅰ)求证:平面 APM ? 平面 BB1C1C ; (Ⅱ)若 P 为线段 BB1 的中点,求证: A1 N // 平面 APM ; (Ⅲ)试判断直线 BC1 与平面 APM 是否能够垂直. 若能垂直,求 PB 的值;若不能垂直,请说明理由. N A M B A1 C1 B1 P

C

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 . 4 2

(Ⅰ)求以线段 F1F2 为直径的圆的方程; (Ⅱ)过点 P(4, 0)任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . 在 x 轴上是否存在点

Q ,使得 ?PQM ? ?PQN ? 180? ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明
理由.

4
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20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

k?x x ? e ( k ? R) . k?x

(Ⅰ)若 k ? 1, 求曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,f (0) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 k ? 0 ,若函数 f ( x ) 在区间

?

3, 2 2 上存在极值点,求 k 的取值范围.

?

5
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