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江苏省镇江市丹徒镇高中数学 2.2.2 间接证明导学案(无答案)苏教版选修22

2.2.2 间接证明

章节与课题

间接证明

课时安排

1 课时

使用人

使用日期或周次

本课时学习 目标或学习 任务

结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了 解反证法的思考过程、特点.

本课时重点

难 点 或 学 习 了解反证法的思考过程、特点.

建议

本课时教学 资源的使用

导学案

(一) 问 题
引入 在《数学(2 必修)》第三 AB与A1C是异面直线”的

学习过程

证明: 假设AB与A1C共面 由于经过点C与直线AB的平面只能有一个 ? 直线A1C和AB都应该在底面内 ? A1在底面内,与条件A1在底面外矛盾 因此,AB与A1C是异面直线. 思考:以上证明方法有什么特点?是直接证明吗?
(二) 学生活动 以上证明方法的特点是___________________________________________________.
(三) 知识建构 1.间接证明的定义:__________ __________ ___________________ _ ___________________. 2.间接证明的常用方法—___________
1

反证法的步骤: (1)反设—__________________________________________________________________; (2)归谬—__________________________________________________________________; (3)存真— ______________________________________________ ____________________. (四)学习交流、问题探讨
例 1.证明: 2 不是有理数.
变式 1:求证:1, 2 ,3 不可能是一个等差数列中的三项.
例 2.设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 至少有一个小于等于 1 . 4
2

变式 2:已知方程 x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a ?1)x ? a2 ? 0 , x2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若其中至少有一个方 程 有实根,试求实数 a 的取值范围.

小结:当条件或要证明的结论中出现“至 少有一个”时,通常采用反证法进行. (五)课后作业 1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是_______(填序号).

①与已 知条件矛盾 ②与假设 矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾

2.用反证法证明“如果 a ? b ,那么 3 a ? 3 b ”,假设的内容是



3.用反证法证明命题“三角形的内角至多 有一个钝角”时,假设正确的是( )

A.假设至少有一个钝角

B.假设至少有两个钝角

C.假设没有一个钝角

D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角.

4.有关反证法中假设的作用,下面说法正确的是( )

A.由已知出发推出与 假设矛盾

B.由假设出发推出与已知矛盾

C.由已 知和假 设出发推出矛盾

D .以上说法都不对.

5.设 a, b 是异面直线,在 a 上任取两点 A1,A 2,在 b 上任取两点 B1,B2 .

试证:A1B1 与 A2B2 也是异面直线.

3

1

1

1

6.设 a,b,c 都是正数,求证:三个数 a+b ,b+c ,c+ a 中至少有一个不小于 2.

4


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