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一道解课本例题的深度剖析


高中数学校本课程
课程名称:一道解析几何课本例题的探究与拓展 课程作者:张明刚 课程对象:高二学生 课程课时:两课时 课程背景: 教材是数学知识和方法的载体, 是高考题的直接来源, 高考题所考察的知识点,几乎都能在教材上找到原型,很多题都 是课本例题习题变更包装,恰当迁移,延伸与拓展,这就警示我 们,要高度重视教材的典型例题习题,对其进行挖掘,再开发再 拓展,发现其本质价值所在,本节课就是对解析几何 2-1 教材的 零散的同类问题进行提炼,探究其本质属性,从而构建知识的网 络体系,让学生体会到什么是源于课本而又高于课本。 课程内容:
题型 1: M、N 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上关于原点对称的两个点,

P 是椭圆上异于 M、N 的任意一点,求直线 PM、PN 的斜率之积? 题型 2:若 M、N 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 上关于原点对称的两

个点,P 是双曲线上异于 M、N 的任意一点,求直线 PM、PN 的斜 率之积? 请同学先看课本上一道例题 (人教选修 2-1 P41 例 3) 例 1:已知 ? ABC 两个顶点 A ( ? 5 , 0 ) 、B ( 5 , 0 ) ,边 AC、BC 所在直线的斜率 之积等于 ?
4 9
x
2

,求顶点 C 的轨迹方程。
y
2

略解:易求得轨迹方程为

25

?

100 9

? 1( x ? ? 5 )

开滦一中校本课程第 1 页 共 6 页

课本探究: (人教 A 版《数学》 (选修 2-1)第 55 页探究) 例 2:设点 A、B 的坐标分别为( ? 5 , 0 ) 、 (5,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M, 且他们的斜率之积是
4 9

,求点 M 的轨迹方程。
x
2

解:易求得轨迹方程为

25

?

y

2

100 9

? 1( x ? ? 5 )

我们发现这两道题结构形式相同,只是斜率之积差一个负号,就导致轨迹 完全不同,那么这两道题能合二为一吗?再看一道课本习题

(人教选修 2-1 P 80 复习参考题 10) 例 3:已知 ? ABC 两个顶点 A ( ? 5 , 0 ) 、B ( 5 , 0 ) ,边 AC、BC 所在直线的斜率 之积等于 m ( m ? 0 ) ,求顶点 C 的轨迹方程。

略解:设点 C(x,y),则 k AC ? 依 题 意 得
x
2

y x ? 5

( x ? ? 5 ), k BC ? y x ? 5 ? y x ?5

y x ?5

( x ? 5) ,

k

AC

? k BC ? m ,



? m ( x ? ?5)

, 即

25

?

y

2

25 m

? 1( x ? ? 5 )

(1) 若?1 ? m ? 0 , 则动点 C 轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 (去掉 ( ? 5 ,0 ) 、 (5,0)两点) ; (2) 若 m ? ?1 , 动点 C 轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆, 去掉 ( ? 5 ,0 ) 、 (5,0) 两点) ; (3)若 m ? ? 1 时,动点 C 的轨迹是圆,去掉( ? 5 , 0 ) 、 (5,0)两点) ; (4)若 m>0,动点轨迹为双曲线去掉( ? 5 , 0 ) 、 (5,0)两点) ;

开滦一中校本课程第 2 页 共 6 页

归纳提炼:比较以上三道题,我们发现 “例题”中的点 A、B 即为求得的椭圆的长轴端点,斜率之积恰为所求椭 圆的 ?
b a
2 2

。 “变式”中的点 A、B 即为求得的双曲线的实轴端点,斜率之

积恰为所求双曲线的

b a

2 2



而 “作业” 中, 当? 1 ? m ? 0 , 动点 C 的轨迹是以 AB 为长轴的椭圆, m= ?

b a

2 2



当 m>0 时,动点 C 的轨迹是以 AB 为实轴的双曲线,m=

b a

2 2



这道题既考查了求曲线轨迹的方法,又给出了生成椭圆和双曲线的另一种 方法 结论拓展为一般形式: 一个动点 M 到两定点 A、B 的连线的斜率之积为一个非零常数 m,则动点轨 迹 (1) 若 m ? 0 , 且 m ? ? 1(m= ?
b a
2 2

) 则动点轨迹为椭圆 (去掉 AB 两点) ;

(2)若 m ? ? 1 ,动点轨迹为圆(去掉 AB 两点) ; (3)若 m>0(m=
b a
2 2

) ,动点轨迹为双曲线(去掉 AB 两点) ;

拓展延伸:由以上习题,可知,当 m ? ? 1 时,所求椭圆的长轴转移到了 y 轴上,由此可以猜想“椭圆上任意一点与其同轴上的顶点的连线斜率之积 为定值” 。 解:对于长轴上的两个顶点,由上面的例习题可知猜想正确,下面证明顶 点在短轴上的情况。 设 P(x,y)为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上异于短轴端点的任意一点,

A ( 0 , ? b ) 、B ( 0 , b ) 为短轴端点,则 k PA ? k PB ?

y ? b x

?

y ? b x

?

y

2

? b x
2

2



开滦一中校本课程第 3 页 共 6 页

又因为 P 点在椭圆上,所以

x a

2 2

?

y b

2 2

?1?

1 x
2

? ?

b a

2 2

(y

2

? b ) ,将其

2

代入上式,可得 k PA ? k PB ? ?

b a

2 2

(定值)

同理可证,双曲线上任意一点与其同轴上的顶点连线的斜率之积为定值
b a
2 2



逆向探究: 根据椭圆与双曲线的对称性, 我们提出一个更加大胆的逆命题: “若 M、N 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上关于原点对称的两个点,P 是

椭圆上异于 M、N 的任意一点,则直线 PM、PN 的斜率之积为定值” 。 证 明 : 设 M ( m,n ) , 则 N ( ? m ,? n ) ,且
m a
2 2

?

n b

2 2

?1 ,即

n

2

? ?

b a

2 2

(m

2

? a )

2

,又设 P( x 0 , y 0 ) ,则
y ? n x ? m

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

? 1 ,即 y 0

2

? ?

b a

2 2

(x0

2

? a )

2

所以 k PM ? k PN ?

?

y ? n x ? m x a
2 2

?

y x y b

2 2

? n ? m

2 2

? ?

b a

2 2

(定值)

2 2

同理可证:若 M、N 是双曲线

?

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 上关于原点对称的

两个点,P 是双曲线上异于 M、N 的任意一点,则直线 PM、PN 的斜率之积 为定值。

开滦一中校本课程第 4 页 共 6 页

结论: (1)M、N 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上关于原点对称的两个点,

P 是椭圆上异于 M、N 的任意一点,求直线 PM、PN 的斜率之积为
? b a
2 2

(2)若 M、N 是双曲线

1 2

上关于原点对称的两个点,P 是双曲线上异于 M、
b a
2 2

N 的任意一点,求直线 PM、PN 的斜率之积为

练习: 1.椭圆 C:
x
2

4

?

y

2

3

? 1 的左右顶点分别为 A 1 , A 2 , 点 P 在 C 上且直线 PA

2

斜率的取值范围是 [ ? 2 , ? 1 ] ,那么直线 PA 1 斜率的取值范围_____ 2.已知椭圆 Γ : 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),上、下顶点分 别为 A,B,直线 AF 交 Γ 于另一点 M,若直线 BM 交 x 轴于点 N(12, 0),则 Γ 的离心率是______. 3.平面内与两个定点 A 1 ( a , 0 ), A 2 ( ? a , 0 ), ( a ? 0 ) 连线的斜率之积等于非零 常数 m 的点的轨迹,求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 的值得 关系; 4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动 点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得 △PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明 理由。
1 3

x2 y2 a b

.

开滦一中校本课程第 5 页 共 6 页

练习题答案: 1. ? ,
?8 ?3 3? ? 4?

2.

1 2

3. 若 ? 1 ? m ? 0 ,则动点 C 轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆; (2)若 m ? ? 1 ,动点 C 轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆; (3)若 m ? ? 1 时,动点 C 的轨迹是圆; (4)若 m>0,动点轨迹为双曲线; 4. 解: (1)由题意知道,点 B 的坐标为(1, ? 1 ) , 设动点 P( x , y ) ,则 k PA ?
y ?1 x ?1

y ?1 x ?1
y ?1 x ?1

? k PB ?
y x
2 2

y ?1 x ?1
? ?

? ( x ? ? 1) ,

依题意得 k PA ? k PB ? 即x ? 3y
2 2

?

?

?1 ?1

1 3

( x ? ? 1) ,

? 4 ( x ? ? 1)

(2) 若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? P MN 的面积相等,设 P( x 0 , y 0 ), 则
1 2 | PA | ? | PB | sin ? APB ? 1 2 | PM | ? | PN | sin ? MPN
| PA | | PM | | PN | | PB |

因 为

sin ? APB ? sin ? MPN

, 所 以

?

, 即

| x0 ? 1 | | 3 ? x0 |

?

| 3 ? x0 | | x0 ? 1 |

解得 x 0 ?

5 3

2 2 ,又因为 x 0 ? 3 y 0 ? 4 ,可得 y 0 ? ?

33 9

开滦一中校本课程第 6 页 共 6 页


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