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北京市西城区2018届高三二模试题 数学理(WORD版含答案)

西城区高三模拟测试 数学(理科)2018.5 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.若集合 A ? {x | 0 ? x ? 1} , B ? { x | x2 ? 2 x ? 0},则下列结论中正确的是 (A) A ? B ? ? (C) A ? B 2.若复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? (A) 1 i ? 2 2 (B) A ? B ? R (D) B ? A 1 i (B) ? ? 2 2 1 i (C) ? ? 2 2 (D) 1 i ? 2 2 3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,1) 上单调递减的是 (A) y ? 1 x (B) y ? x 2 (C) y ? 2| x| (D) y ? cos x 4.某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,该正四棱锥的 侧面积是 (A) 12 (B) 4 10 (C) 12 2 (D) 8 5 5.向量 a , b, c 在正方形格中的位置如图所示.若向量 ? a ? b 与 c 共线,则实数 ? ? (A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 2 6.已知点 A(0,0) , B(2,0) .若椭圆 W : 则椭圆 W 的离心率是 x2 y 2 ? ? 1 上存在点 C ,使得△ ABC 为等边三角形, 2 m ·1· (A) 1 2 (B) 2 2 (C) 6 3 (D) 3 2 7.函数 f ( x) ? 1 ? x2 ? a .则“ a ≥ 0 ”是“ ? x0 ?[?1,1] ,使 f ( x0 ) ≥ 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 8.在直角坐标系 xOy 中,对于点 ( x, y ) ,定义变换 ? :将点 ( x, y ) ? x ? tan a, π π 变换为点 (a, b) ,使得 ? 其中 a, b ? (? , ) .这样变 y ? tan b , 2 2 ? 换 ? 就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系 aOb 内的曲线. 则四个函数 y1 ? 2 x ( x ? 0) , y2 ? x2 ( x ? 0) , y3 ? ex ( x ? 0) , y4 ? ln x ( x ? 1) 在坐标系 xOy 内的图象,变换为坐标系 aOb 内 的四条曲线(如图)依次是 (A)②,③,①,④ (C)②,③,④,① (B)③,②,④,① (D)③,②,①,④ 第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ? x ? 2 ? cos? , 9.已知圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,则圆 C 的面积为____;圆心 C 到直线 ? y ? sin ? l : 3x ? 4 y ? 0 的距离为____. 1 10. ( x2 ? )4 的展开式中 x2 的系数是____. x π ,则 cos 2 B ? ____. 3 11.在△ ABC 中, a ? 3 , b ? 2 , ? A ? 12.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , S2 ? S3 ,则数列 {an } 的通项公式可以是____. ·2· ? x ≥ 1, ? 13.设不等式组 ? x ? y ≥ 3, 表示的平面区域为 D .若直线 ax ? y ? 0 上存在区域 D 上的点,则 ?2 x ? y ≤ 5 ? 实数 a 的取值范围是____. 14.地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口, 疏散 1000 名乘客所需的时间如下: 安全出口编号 疏散乘客时间(s) A,B 120 B,C 220 C,D 160 D,E 140 A,E 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? tan x) ? sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 ? ? (0, π) ,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值. 16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 梯 形 A B C D所 在 的 平 面 与 等 腰 梯 形 ABEF 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , AB // CD // EF , AB ? AD . CD ? DA ? AF ? FE ? 2 , AB ? 4 . (Ⅰ)求证: DF // 平面 BCE ; (Ⅱ)求二面角 C ? BF ? A 的余弦值; (Ⅲ)线段 CE 上是否存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF ? 请说明理由. ·3· 17. (本小题满分 13 分) 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种职业 病与某项身体指标(检测值为不超过 6 的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样 的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: (Ⅰ )求 样本 中患 病者 的人 数和图中 a,b 的值; (Ⅱ)在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; (III)某研究机构提出,可以选取常数 X 0 ? n ? 0.5 (n ? N* ) ,若一名从业者该项身体指标检测值大于 X 0 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 X 0 ,则判断其未患有这种职业病.从样本中随 机选择一名从业者, 按照这种方式判断其是否患有职业病. 写出使得判断错误的概率最小

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