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吉林省长春市长春八中2018_2019学年高三数学上学期第一次月考卷文















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2018-2019 学年上学期高三第一次月考卷
文科数学(A)
注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
? ? ? ? 1.[2018·黑龙江模拟]集合 A ? y y ? x ?1 , B ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 A B ? ( )

A.?2, ???

B. ?0,1?

C.?1, 2?

D. ?0, 2?

2.[2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式 1 ? 1 成立的一个充分而不必要的条件是( ) x

A. x ? 0

B. x ?1

C. 0 ? x ?1

D. 0 ? x ? 1 2

3.[2018·新余四中]下列有关命题的说法正确的是( )

A.命题“若 x2 ? 1,则 x ?1”的否命题为:“若 x2 ? 1, x ? 1”;

B.“ x ? ?1”是“ x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;

C.命题“ ?x?R ,使得 x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是:“ ?x?R ,均有 x2 ? x ?1 ? 0 ”; D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题;

4.[2018·肥东中学]已知函数

f

?

x?

?

??log3 ??x?, x ? 0

? ???

f

?

x

?

2?,

x

?

0

,则

f

?2017?

?





A.1

B.0

C. ?1

D. log3 2

5.[2018·信阳中学]已知函数

f

?x?

?

x3 x2 ?

4

,则

f

?x?

的大致图象为(



A.

B.

C.

D.

6.[2018·天水一中]下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是( )

A. f ? x? ? sinx

B. f ? x? ? ? x ?1

? ? C. f ? x? ? 1 ax ? a?x ( a ? 0 且 a ? 1) 2

D. f ? x? ? ln 2 ? x
2? x

7.[2018·肥东中学]若 a ? log2.10.6 , b ? 2.10.6 , c ? log0.5 0.6 ,则 a , b , c 的大小关系是( )

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

D. c ? b ? a

8.[2018·洛南中学]函数 f ? x? ? ln x ? x2 ? bx ? a(b ? 0, a ?R) 的图像在点 ?b, f ?b?? 处的切线斜率的

最小值是( )

A. 2 2

B. 3

C.1

D.2

9.[2018·西宁中学]若 f ? x? ? ax4 ? bx2 ? c 满足 f ??1? ? 2 ,则 f ???1? ? ( )

A. ?4

B.4

C.2

D. ?2

10.[2018·辽师附中]

“ 0 ? m ?1”是函数

f

?m

?

x?

?

? ?

x

? 1,

x ? 1 满足:对任意的 x1

? x2 ,

???x ? 1,x ? 1

都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1

11.[2018·汕头模拟]已知定义域为 R 的奇函数 f ? x? ,当 x ? 0 时,

满足

f

?x?

?

????log2 ?7 ?
?

? ??

f

?

x

?

3?,

2x?,0 ? x
x?

?
3 2

3 2

,则

f

?1?

?

f

?2?

?

f

?3? ?

? f ?2020? ? (



A. log25

B. ?log25

C. ?2

D.0

12.[2018·名校联盟]定义在 ?0,? ?? 上的函数 f ? x? 满足 xf ?? x? ?1 ? 0 , f ?2? ? ?ln2 ,则不等式

? ? f ex ? x ? 0 的解集为( )

A. ?0,2ln2?

B. ?0,ln2?

C. ?ln2,? ??

D. ?ln2,1?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
? ? 13.[2018·东台中学]集合 A ? 0,ex , B ? ??1,0,1? ,若 A B ? B ,则 x ? ____.

14.[2018·安阳 35 中]若命题“ ?x?R , x2 ? x ? a ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 __________.
15.[2018·天水一中]函数 f ?x? ? x3 ? 3ax2 ? 3???a ? 2? x ?1?? 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围
是__________.
16.[2018·清江中学]函数 y ? 1 ? x ? e? 的值域是__________.
lnx 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10

分)[2018·安徽联考]已知集合

A ? ??x ?

1 4

? 2x

? 128

? ?



B

?

? ? ?y
?

y

?

log2

x,x

?

? ??

1 8

,32

? ??

? ? ?



(1)若 C ? ?x|m ?1 ? x ? 2m ?1 ? , C ? ? A B? ,求实数 m 的取值范围;

(2)若 D ? ?x|x ? 6m ?1 ? ,且 ? A B? D ? ? ,求实数 m 的取值范围.

18.(12 分)[2018·北京 19 中]已知 a ? 0 ,给出下列两个命题:
p :函数 f ? x? ? ln ? x ?1? ? ln a 小于零恒成立;
2?x
q :关于 x 的方程 x2 ? ?1 ? a? x ? 1 ? 0 一根在 ?0,1? 上,另一根在 ?1, 2? 上.
若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

2

19.(12 分)[2018·淮北一中]设函数 f ? x? ? mx2 ? mx ?1 . (1)若对于一切实数 x , f ? x? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围;
(2)若对于 x ??1,3?, f ? x? ? ?m ? 5 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(12 分)[2018·闽侯二中]已知函数 (f x)? 2x3 ? 3mx2 ? 3nx ? 6 在 x ?1及 x ? 2 处取得极值. (1)求 m 、 n 的值;
(2)求 f ? x? 的单调区间.

3

21.(12 分)[2018·石嘴山三中]已知函数 f ? x? ? excosx ?1.

(1)求曲线 y ? f ? x? 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程;

(2)求函数

f

?

x?

在区间

???0,

π 2

? ??

上的最大值和最小值.

22.(12 分)[2018·哈尔滨三中]已知函数 f ? x? ? lnx ? x2 ? ax . (1)当 a ?1时,求曲线 y ? f ? x? 则 x ?1处的切线方程; (2)若 f ? x? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

4

2018-2019 学年上学期高三第一次月考卷 文 科 数 学(A)答 案

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】求解函数 y ? x ?1 的值域可知: A ? ?y y ? 0?,

求解一元二次不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 可知: B ? ?x ?1 ? x ? 2? ,

结合交集的定义有: A B ? ?x 0 ? x ? 2? ,表示为区间形式即?0, 2? .

本题选择 D 选项.

2.【答案】D

【解析】∵ 1 ? 1 ,∴ x ?1 ? 0 ,∴ 0 ? x ?1,

x

x

因为

? ??

0,1 2

? ??

?

?0,1?



? ??

0,1 2

? ??

?

?

0,1?



所以 0 ? x ? 1 为不等式 1 ? 1 成立的一个充分而不必要的条件,选 D.

2

x

3.【答案】D

【解析】对于选项 A,命题“若 x2 ? 1,则 x ?1”的否命题为:“若 x2 ? 1, x ? 1”, 所以该选项是错误的;

对于选项 B,因为 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,所以 x ? 6 或 x ? ?1,

所以 “ x ? ?1”是“ x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件,所以该选项是错误的;

对于选项 C,命题“ ?x?R ,使得 x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是:“ ?x?R ,均有 x2 ? x ?1 ? 0 ”, 所以该选项是错误的; 对于选项 D,命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”是真命题, 所以它的逆否命题为真命题,所以该选项是正确的. 故答案为 D. 4.【答案】B
【解析】当 x ? 0 时, (f x ? 4)? f ? x ? 2 ? 2? ? ? f ? x ? 2? ? ? ??? f ? x??? ? f ? x? , 即有 f ? x ? 4? ? f ? x? ,即函数的周期为 4 .

f ?2017? ? f ?504? 4 ?1? ? f ?1? ? ? f ??1? ? 0 .故选 B.

5.【答案】A

【解析】因为

f

??x?

?

?x3 x2 ? 4

?

?

f

?x? ,所以函数为奇函数,排除

B

选项,

? ? 求导:

f ??x? ?

x4 ? 12x2 x2 ? 4 2

? 0 ,所以函数单调递增,故排除

C

选项,

令 x ?10 ,则 f ?10? ? 1000 ? 4 ,故排除 D.
104 故选 A.

6.【答案】D

【解析】逐一考查所给函数的性质:

A.

f

?x?

?

sinx

是奇函数,在区间

??1,1?

?

????

π 2

,π 2

? ??

上单调递增,不合题意;

B.对于函数 f ? x? ? ? x ?1 , f ?1? ? ?2 , f ??1? ? 0 , f ?1? ? 1 且 f ?1? ? ?1 ,

据此可知函数为非奇非偶函数,不合题意;

? ? ? ? C.当 a ? 2 时, f ? x? ? 1 ax ? a?x ? 1 2x ? 2?x , f ?0? ? 1 ? ?1?1? ? 0 ,

2

2

2

f

?1? ?

1 2

?

? ??

2

?

1? 2 ??

?

3 4

,由

f

?0? ?

f

?1?

可知函数不是单调递减函数,不合题意;

D. f ? x? ? ln 2 ? x ,函数有意义,
2?x

则 2 ? x ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 2 ,函数的定义域关于坐标原点对称, 2?x



f

??x?

?

ln

2 2

? ?

x x

?

ln

? ??

2 2

? ?

x x

??1 ??

?

?ln

2 2

? ?

x x

?

?

f

? x? ,故函数为奇函数,



f

?x?

?

ln

2? 2?

x x

?

ln

? ??

x

4 ?

2

? 1???



函数 y ? 4 ?1 在区间 ??2,2? 上单调递减,
x?2

函数 y ? lnx 是定义域内的单调递增函数,

由复合函数的单调性可知函数 f ? x? ? ln 2 ? x 单调递减,符合题意.
2?x 本题选择 D 选项.

7.【答案】C

【解析】∵ a ? log2.10.6 ? 0 , b ? 2.10.6 ? 1 , c ? log0.5 0.6 ? 1 , ∴ b ? c ? a .故选 C. 8.【答案】D

【解析】∵ f ?? x? ? 1 ? 2x ? b ,∴ k ? f ??b? ? 1 ? b ? 2 1 ? b ? 2 ,

x

b

b

当且仅当 b ?1时取等号,因此切线斜率的最小值是 2,选 D.

9.【答案】D

【解析】由题意可得: f '? x? ? 4ax3 ? 2bx ,

由导函数的解析式可知 f '? x? 为奇函数,

故 f '??1? ? ? f '?1? ? ?2 .
本题选择 D 选项. 10.【答案】A
【解析】∵当 0 ? m ?1时, g ? x? ? m ?1在 ?1, ??? 上递减,
x
h? x? ? ?x ? 1在 ???,1? 递减,且 g ?1? ? h?1? ,∴ f ? x? 在 ???, ??? 上递减,

∴任意 x1 ? x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,∴充分性成立; 若 m ? 0 , g ? x? 在 ?1, ??? 上递减, h ? x? 在 ???,1? 上递增, g ? x? ? 0 , h? x? ? 0 ,

∴任意 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,必要性不成立,

∴“

0

?

m

? 1 ”是函数

f

?

x?

?

? ? ?

m x

? 1,

x

?1

满足:

???x ? 1,x ? 1

对任意的 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ”的充分不必要条件,故选 A.

11.【答案】B

【解析】定义域为 R 的奇函数 f ? x? ,可得 f ??x? ? ? f ? x? ,



x

?

0 时,满足

f

?x?

?

????log2 ?7 ?

?

? ??

f

?

x

?

3?

,

2x?,0 ? x
x?

?
3 2

3 2



可得 x ? 3 时, f ? x? ? f ? x ? 3? ,
2

则 f ?1? ? ?log25 ,

f ?2? ? f ??1? ? ? f ?1? ? log25 ,

f ?3? ? f ?0? ? 0 ,

f ?4? ? f ?1? ? ?log25 , f ?5? ? f ?2? ? f ??1? ? ? f ?1? ? log25 ,

f ?6? ? f ?3? ? f ?0? ? 0 , f ?7? ? f ?4? ? f ?1? ? ?log25 , f ?8? ? f ?2? ? f ??1? ? ? f ?1? ? log25 ,

f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? f ?2020?

? 673? ??log2 5 ? log2 5 ? 0? ? log2 5
? 673? 0 ? log25 ? ?log25 ,故选 B. 12.【答案】C
【解析】设 g ? x? ? f ? x? ? lnx , 由 xf ?? x? ?1 ? 0 可得 g?? x? ? f ?? x? ? 1 ? 0 ,
x
所以 g ? x? 在 ?0,? ?? 上单调递增,

又因为 g ?2? ? f ?2? ? ln2 ? 0 ,
? ? ? ? ? ? 不等式 f ex ? x ? 0 等价于 g ex ? f ex ? x ? 0 ? g ?2? ,

因此 ex ? 2 ,∴ x ? ln2 ,
? ? 即等式 f ex ? x ? 0 的解集为 ?ln2,? ?? ,故选 C.

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】0

【解析】因为 A B ? B ,所以 A ? B ,又 ex ? 0 ,所以 ex ? 1,所以 x ? 0 .

故答案为 0.

14.【答案】

?1 ?? 4

,?

?

? ??

【解析】∵命题“ ?x?R , x2 ? x ? a ? 0 ”是假命题,

则命题“ ?x?R , x2 ? x ? a ? 0 ”是真命题,

则 ? ?1? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 , 4

则实数

a

的取值范围是

? ??

1 4

,?

?

? ??



故答案为

? ??

1 4

,?

?

? ??



15.【答案】 a ? 2 或 a ? ?1

【解析】由题意可得: f '? x? ? 3x2 ? 6ax ? 3?a ? 2? ,

若函数有极大值又有极小值,

则一元二次方程 3x2 ? 6ax ? 3?a ? 2? ? 0 有两个不同的实数根,

即 ? ? ?6a?2 ? 4?3?3?a ? 2? ? 0 ,整理可得: 36?a ?1??a ? 2? ? 0 ,

据此可知 的取值范围是 a ? 2 或 a ? ?1.

16.【答案】 ?0,1?

【解析】∵对数函数 y ? lnx 在 ?e,? ?? 上为单调增函数

∴ y ? 1 在 ?e,? ?? 上为单调减函数
lnx ∵ x ? e 时, lnx ? lne ?1 ∴ 0 ? lnx ?1,
∴函数 y ? 1 ? x ? e? 的值域是 ?0,1? ,
lnx
故答案为 ?0,1? .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1) m ? 3 ;(2) m ?1.

【解析】(1) A ? ?x| ? 2 ? x ? 7 ? , B ? ?y | ?3 ? y ? 5? , A B ? ?x| ? 2 ? x ? 5 ? ,

①若 C ? ?,则 m ?1? 2m ?1,∴ m ? 2 ;

?m ?1 ? 2m ?1 ②若 C ? ? ,则 ??m ? 1 ? ?2 ∴ 2 ? m ? 3 ;
??2m ?1 ? 5

综上 m ? 3 .
(2) A B ? ?x | ?3 ? x ? 7? ,∴ 6m ?1? 7 ,∴ m ?1.

18.【答案】

? ??

9 4

,

3???

? ??

7 2

,

??

? ??



?a ? 0

? ?

x

?

1

?

0

【解析】由已知得

ln

?

x

?

1?

?

ln

2

a ?

x

恒成立,即

? ? ?

2

a ?

x

?

0

恒成立,

? ?x ?1?

a

?

2?x



a

?

?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

9 4



x

? ??1,

2?

恒成立;

函数

a

?

?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

9 4



?

?1,

2?

上的最大值为

9 4



∴ a ? 9 ;即 p : a ? 9 ;

4

4

? f ?0? ?1? 0



f

?x?

?

x2

?

?1 ?

a?

x

? 1 ,则由命题

q

:

?? ?

f

?1?

?

3

?

a

?

0

,解得 3 ? a ? 7 ;

? ??

f

?2?

?

7

?

2a

?

0

2

即q:3?a? 7 ; 2

若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,则 p , q 一真一假;

①若

p



q

假,则:

??a ? ??0

? ?

9 4 a?

或 3

???a ? ???a

? ?

9 4 7 2

,∴

9 4

?

a

?

3



a

?

7 2



②若

p



q

真,则:

???0 ? ???3

? ?

a a

? ?

9 4 7 2

,∴

a

??



∴实数

a

的取值范围为

? ??

9 4

,

3???

? ??

7 2

,

??

? ??



19.【答案】(1)

?

?4,0?

;(2)

? ??

??,6 7

? ??



【解析】(1)要使 mx2 ? mx ?1 ? 0 恒成立,

若 m ? 0 ,显然 ?1? 0 ,满足题意;



m

?

0

,则

??m ????

? ?

0 m2

?

4m

?

0

?

?4

?

m

?

0



∴实数 m 的范围 ??4,0? .

(2)当 x ?[1,3] 时, f ? x? ? ?m ? 5 恒成立,

即当 x ?[1,3] 时, m(x2 ? x ?1) ? 6 ? 0 恒成立.



x2

?

x

?1?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

3 4

?

0



又 m(x2

?

x

? 1)

?

6

?

0

,∴ m

?

? ??

x

?

6 1 ?2 2 ??

?

3 4



∵函数

y

?

? ??

x

?

6 1 ?2 2 ??

?

3 4

在 [1,3] 上的最小值为

6 7

,∴只需

m

?

6 7

即可.

综上所述,

m

的取值范围是

? ??

??,6 7

? ??



20.【答案】(1) ?3,4;(2)见解析.

【解析】(1)函数 (f x)? 2x3 ? 3mx2 ? 3nx ? 6 ,求导, f ?? x? ? 6x2 ? 6mx ? 3n ,

f ? x? 在 x ?1及 x ? 2 处取得极值,



?? ? ??

f f

'?1?=0 '?2?=0

,整理得:

?2m ??4m

? ?

n n

? ?

?2 , ?8

解得:

?m ? ?3 ??n ? 4



∴ m 、 n 的值分别为 ?3,4;

(2)由(1)可知 f '? x? ? 6x2 ?18x ? 12 ,

令 f '? x? ? 0 ,解得: x ? 2 或 x ?1,

令 f '? x? ? 0 ,解得:1? x ? 2 ,

f ? x? 的单调递增区间 ???, ?1? , ?2, ??? ,单调递减区间 ?1, 2? .

21.【答案】(1)

y

?

x

(2)最大值为

f

? ??

? 4

? ??

?

2 2

?
e4

?1

,最小值为

f

? ??

? 2

? ??

?

?1 .

【解析】(1)因为 f ? x? ? excosx ?1,所以 f ?? x? ? ex ?cos x ? sin x? , f ??0? ? 0 .

又因为 f ?0? ? 0 ,所以曲线 y ? f ? x? 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程为 y ? x .

(2)令 f ?? x? ? 0 ,解得 x ? ? .
4



f

?0?

?

0,

f

?? ?? 2

? ??

?

?1 ,

f

? ??

? 4

? ??

?

2

?
e4

?1 ;

2

故求函数

f

?x?

在区间

???0,

π 2

? ??

上的最大值为

2

?
e4

?1和最小值 ?1.

2

22.【答案】(1) y ? ?2x ;(2) a ? ?1.

【解析】(1) a ?1时,函数 f ? x? ? lnx ? x2 ? x ,可得 f '? x? ? 1 ? 2x ?1 ,
x
所以 f '?1? ? ?2 , x ?1时, f ?1? ? ?2 .

曲线 y ? f ? x? 则 x ?1处的切线方程; y ? 2 ? ?2? x ?1? ,

即 y ? ?2x ;

(2)由条件可得 lnx ? x2 ? ax ? 0(x ? 0) ,

则当 x ? 0 时, a ? lnx ? x 恒成立, x



h?

x?

?

lnx x

?

x(x

?

0)

,则

h

'?

x?

?

1

?

x2 ? x2

lnx



令 k ? x? ? 1 ? x2 ? lnx(x ? 0) ,

则当 x ? 0 时, k '? x? ? ?2x ? 1 ? 0 ,所以 k ? x? 在 ?0,? ?? 上为减函数.
x
又 k '?1? ? 0 ,

所以在 ?0,1? 上, h'? x? ? 0 ;在 ?1,? ?? 上, h'? x? ? 0 .

所以 h? x? 在 ?0,1? 上为增函数;在 ?1,? ?? 上为减函数.

所以 h(x)max ? h?1? ? ?1 ,所以 a ? ?1.


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