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正余弦定理练习题(学生讲义)


正弦定理
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) s iA n sin B sin C a b ,sinB= , sinC=1 c c

1.直角三角形中:sinA= 即 ∴ c=

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

2.斜三角形中 证明一: (等积法)在任意斜△ABC 当中
1 1 1 S△ABC= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 1 a b c 两边同除以 abc 即得: = = 2 sin A sin B sin C

C

a b
A O B D

证明二: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D ∴

a a ? ? CD ? 2 R sin A sin D
b c =2R, =2R sin B sin C

c

同理

证明三: (向量法) 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由

AC + CB = AB

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A) ∴ a sin C ? c sin A ∴
a c = sin A sin C c b = sin C sin B

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:



a b c = = sin A sin B sin C

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(见图示)已知 a, b 和 A, 用正弦定理 求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时:
1

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ? 三、讲解范例:

?a ? b 无解 ?a ? b 一解(锐角)

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

2

例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC

评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特 殊关系式的应用?

正弦定理测试题
1.在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( A. 6 B. 2 C. 3 2.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( ) D.2 6 ) 32 A.4 2 B.4 3 C.4 6 D. 3 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则角 B 为( ) A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 4.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于( ) A.1∶5∶6 B.6∶5∶1 C.6∶1∶5 D.不确定 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b= 2,则 c=( ) 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 cos A b 6.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cos B a A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积为( ) 3 3 A. B. 2 4 3 3 3 C. 或 3 D. 或 2 4 2 8.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 π 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=1,c= 3,C= ,则 A=________. 3 4 3 10.在△ABC 中,已知 a= ,b=4,A=30° ,则 sinB=________. 3 11.在△ABC 中,已知∠A=30° ,∠B=120° ,b=12,则 a+c=________. 12.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 的形状为________. a+b+c 13.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =________,c=________. sinA+sinB+sinC a-2b+c 14.已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则 =________. sin A-2sin B+sin C
3

1 15.在△ABC 中,已知 a=3 2,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 16.在△ABC 中,b=4 3,C=30° ,c=2,则此三角形有________组解. 17. 如图所示, 货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角) 为 140° 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° ,航行半小时后船到达 C 点, 观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?

C C 1 A 18.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=2 3,sin cos = ,sin Bsin C=cos2 ,求 A、 2 2 4 2 B 及 b、c.

19.(2014 年高考四川卷)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且 cos 2A 3 10 = ,sin B= .(1)求 A+B 的值;(2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 5 10

20.△ABC 中,ab=60 3,sin B=sin C,△ABC 的面积为 15 3,求边 b 的长.

4

余弦定理
1.余弦定理 :三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

[问题] 对于任意一个三角形来说,是否可以根据一个角和夹此角的两边,求出此角的对边? [推导] 如图在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b ∵ AC ? AB ? BC ∴ AC ? AC ? ( AB ? BC) ? ( AB ? BC)

C b A
2

a c B

? AB ? 2 AB ? BC ? BC
2

2

2

? AB ? 2 | AB | ? | BC | cos(180 ? ? B) ? BC

? c 2 ? 2ac cos B ? a 2
即 b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2 2

同理可证 a ? b ? c ? 2bc cos A , c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2 2 2 2

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 三、讲解范例: 例 1 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C

例 2 在Δ ABC 中,已知 a=2730,b=3696,C=82°28′,解这个三角形

5

例 3 Δ ABC 三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求 A
B
8

7

6

5

A

4

3

2

1

C
2 4 6 8

-4

-2

例 4 设 a =(x1, y1)

?

? b =(x2, y2)
?

? ? a 与 b 的夹角为? (0≤?≤?) ,

求证:x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

?

余弦定理测试题
源网

1 1.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 AC 等于( ) 3 A.6 B.2 6 C.3 6 D.4 6 2.在△ABC 中,a=2,b= 3-1,C=30° ,则 c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D.2 3.在△ABC 中,a2=b2+c2+ 3bc,则∠A 等于( ) A.60° B.45° C.120° D.150° 4. 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别为 a、 b、 c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac, 则∠B 的值为( π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 5.在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,则 acosB+bcosA 等于( ) A.a B .b C.c D.以上均不对 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
6

)

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.由增加的长度决定 → → → → 7.已知锐角三角形 ABC 中,|AB|=4,|AC|=1,△ABC 的面积为 3,则AB· AC的值为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.在△ABC 中,b= 3,c=3,B=30° ,则 a 为( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.2 9. 已知△ABC 的三个内角满足 2B=A+C, 且 AB=1, BC=4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为________. 10.△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10,求最大角的度数. 11. 已知 a、 b、 c 是△ABC 的三边, S 是△ABC 的面积, 若 a=4, b=5, S=5 3, 则边 c 的值为________. 12.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos A∶cos B∶cos C=________. 1 13.在△ABC 中,a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3

→ → 14.已知△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则AB· BC的值为________ a2+b2-c2 ,则角 C=________. 4

15.已知△ABC 的三边长分别是 a、b、c,且面积 S=

16. (2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数, 且最大角为钝角, 则最小角的余弦值为________.

17.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=1,求 AB 的长.

18.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sin A+sin B= 2sin C. (1)求边 AB 的长; 1 (2)若△ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数. 6

7

19.在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求 AB 的值; π (2)求 sin(2A- )的值. 4

20.在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sinC,确定△ABC 的形状.

正余弦定理的综合应用
1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它其实,在涉及到三角形的 其他问题中,也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关 系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决? 例 1 已知 a、b 为△ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且

A? B sin A 2 ? ,求 的值 B sin B 3

例 2 已知△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列 求证:sinA+sinC=2sinB

8

2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松 地获得解决,现举例说明如下: 例 3 求 sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°的值

例 4 在 △ ABC 中 , 三 边 长 为 连 续 的 自 然 数 , 且 最 大 角 是 最 小 角 的 2 倍 , 求 此 三 角 形 的 三 边 长 ( sin 2? ? 2 sin ? cos ? )?

例 5 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm ,周长为 20cm,求此三角形的各边长
2

评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公 式的应用? (2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提高自己的 解方程及运算能力? 例 6 在任一△ABC 中求证:

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

9

例 7 在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c

例 8 在△ABC 中,BC=a, AC=b, 2cos(A+B)=1

a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且
2

求(1)角 C 的度数 (2)AB 的长度

(3)△ABC 的面积

例9

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长

例 10 △ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ; 2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积

10

例 11 在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为x后,建立关于x的方程而正弦定理涉及到 两个角,故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为 D 为 BC 中点,所以 BD、DC 可表示 为

x ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程? 2

评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应 用,并注意总结这一性质的适用题型? 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下: 由三角形内角平分线性质可得

AB BD 5 ? ? ,设 BD=5k,DC=3k,则由互补角∠ADC、∠ADB 的余弦 AC DC 3

值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角平方关系求出 sinA

正余弦定理高考真题解析
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2014· 湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 )

2.(2014· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A =( ) B.60° D.150° )

A.30° C.120°

3.(2014· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 2 B. 3

11

C.

3 3

3 D. 4 )

π? 4.(2011· 青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈? ?0,2?,则△ABC 的形状是( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 的 面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 ) )

1 6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A-cos2A= ,则( 2 A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)

b a tanC tanC 7.(2014· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + 的值 a b tanA tanB 是________.

8.(2014· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则 角 A 的大小为________. 9.(2014· 新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135° .若 AC= 2AB, 则 BD=________. 1 10.(2014· 新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 的面 2 积为 3- 3,则∠BAC=________. 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1 1 11.(2014· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a +b ,求内角 C. tanA tanB

12

12.(2014· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.

13.(2014· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

13


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