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高一数学第二学期期末考试试卷


秘密★启用前

试卷类型:A

2013 年普通高中高一调研测试





本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟。不能使用计算器. 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

?? ?x ? a ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 y ? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ?n?x
2

?x
i ?1

? x. ? ? y ?b ,a

2 i

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

⒈某单位有职工 750 人,其中,青年职工 350 人,中年职工 250 人,为了解单位 职工健康情况,现用分层抽样的方法抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人, 则样本中的中年职工人数为 A.5 A. (2 , ? 4) ⒊ sin
16? ? 3 1 A. 2

B.15 B. (3 , 1)

C.25

D.35 D. (6 , 2)

⒉已知向量 OA ? (2 , 3) , OB ? (4 , ? 1) , P 是线段 AB 的中点,则 P 点的坐标是 C. (?2 , 4)

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

⒋袋中有 10 个红球和 10 个绿球,它们除颜色不同外,其它都相同.从袋中随机 取 2 个球,互斥而不对立的事件是 A.至少有一个红球;至少有一个绿球 C.恰有一个红球;恰有两个绿球 ⒌在 ?ABC 中, ?C ? A. 3 B.至少有一个红球;都是红球 D.至少有一个红球;都是绿球

, AC ? 1 , BC ? 2 ,则 CA ? CB ? 2 B. 5 C. 1 D. 3
高一数学试题 第 1 页 共 7 页

?

⒍一个底面水平放置的圆柱,正视图(或称主视图)和 侧视图(或称左视图)都是边长分别为 1、2 的矩形 (如图 1) ,则这个圆柱的侧面积为 A. 2 B. ? C. 2? D. 4?
1
正视图 图1

2

2 1
侧视图

⒎圆心为 M (1 , ? 1) 且与直线 x ? 7 y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为 A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 100 B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 100

⒏我国古代“五行”学说认为:世间万物分属金、木、水、火、土五行,五行相 生相克,其中相克关系是:金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.据此 学说,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,这两种物质不相克的概率是
3 1 2 3 B. C. D. 5 2 5 10 ⒐要得到函数 y ? sin(2 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象 A.向右平移 2 个单位长度 B.向左平移 2 个单位长度 C.向右平移 1 个单位长度 D.向左平移 1 个单位长度 1 ⒑在 ?ABC , sin A ? cos A ? ,则 ?ABC 是 5 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上该有可能

A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 ⒒函数 y ? tan(

?
2

x) 的定义域是

(用集合表示) .
频率/组距 0.09 0.08 0.03 0.02

⒓将样本容量为 100 的数据分为[2,6) 、[6,10) 、 [10,14) 、[14,18) 、[18,22]五个小组,得到 频率分布直方图如图 2 所示,则样本数据落在 [2,10)的频率 a ? .

⒔已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交 于 O , AB ? (7 , ? 2) , AD ? (?1 , 4) ,则 DB ?

O

2

6

10 14 18 22 图2

样本数据

, DO ?



⒕“五·一”期间,商业部门对城区 4 家超市某商品一天的销售量与价格进行随 ? ? ?5 ,则 ?x ? a ? 中的 b 机调查,统计数据如下表.由表中数据算出回归方程 y ? b
?? a



售价 x (元) 销售量 y (件)

12 27

11 32

10 41

7 52

高一数学试题

第 2 页 共 7 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒖(本小题满分 12 分) 已知指数函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象经过点 (?1 , 2) . ⑴求 a ; ⑵若 g ( x) ? f ( x) ? 4 ,求函数 g ( x) 的零点. ⒗(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A , ? 是常数, A ? 0 , 0 ? ? ? ? , x ? R )在
x?

?
8

时取得最大值 3 .

⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 的解析式; ⑶若 f (? ?

?
8

) ? ?1 ,求 sin ? .

⒘(本小题满分 14 分) 某赛季,甲、乙 两校篮球队进行了 10 场训练赛,比赛得分情况记录如下表:
训练赛序号( i ) 甲校队得分( x i ) 乙校队得分( yi ) 1 55 58 2 81 84 3 84 86 4 61 71 5 54 57 6 74 73 7 82 83 8 83 85 9 69 68 10 57 63

⑴根据得分记录表,填充以下得分茎叶图(图 3) ,并根据茎叶图,比较甲、 乙校队的得分,直接写出两个 统计结论; .. ⑵设甲校队 10 场比赛得分平均值为 x , 将该队 10 场比赛得分 x i 依次输入程序 框图(图 4)进行运算,求输出 S 的大小,并说明 S 的统计意义.
开始





输入 x 1 , x2 ,?, x10

S ? 0, i ?1
i ? 10
是 图3 否

S?

S 10

S ? S ? ( xi ? x) 2
i ? i ?1
图4
高一数学试题 第 3 页 共 7 页

输出 S 结束

⒙(本小题满分 13 分) 如图 5,P-ABCD 是正四棱锥, PA ? 3 , AB ? 2 . ⑴求证:平面 PAC⊥平面 PBD; ⑵求该四棱锥的体积.
D
A
图5

P

C
B

⒚(本小题满分 13 分)
? n? ? 已知集合 A ? ?sin | n ? N , N是自然数集? . 2 ? ?

⑴用列举法表示集合 A ; ⑵任取 p ? A , q ? A ,记向量 a ? (1 , p) , b ? (q , 1) ,求 a // b 的概率.

⒛(本小题满分 14 分) 已知平面内点 M (?3 , 2) , N (5 , ? 4) , l 是经过点 A(?1 , ? 2) 且与 MN 垂直的 直线,动点 P( x , y) 满足 PM ? PN ? ?21. ⑴求直线 l 的方程与动点 P 的轨迹 ? 的方程; ⑵在轨迹 ? 上任取一点 P ,求 P 在直线 l 右下方的概率.

高一数学试题

第 4 页 共 7 页

评分参考
一、选择题 二、 填空题 ABDCB CABDC ⒓ 0 .4 ⒔ (8 , ? 6) (3 分) , (4 , ? 3)
1 ??5 分 2

⒒ ?x | x ? R , x ? 2k ? 1 , k ? Z ? ( “ x ? 2k ? 1 ” 3 分, “x?R ” 与 “k ?Z ” ⒕ 88

1 分,集合 1 分)

三、解答题 ⒖⑴依题意, a ?1 ? 2 ??2 分,解得 a ?

?1? ⑵由⑴得 g ( x) ? ? ? ? 4 ??7 分, ? 2? ?1? 解 g ( x) ? ? ? ? 4 ? 0 ??9 分,得函数 g ( x) 的零点为 x ? ?2 ??12 分. ? 2?
⒗⑴ f ( x) 的最小正周期 T ?
2? ? ? ??3 分(列式 2 分,计算 1 分) 2
x

x

⑵依题意 A ? 3 ??5 分, 3 sin( 2 ?
sin(

?
8

? ? ) ? 3 ??6 分,因为

?
4

?

?
4

?? ?

5? 且 4

?
4

? ? ) ? 1 ??7 分,所以

?
4

?? ?

?
2

,? ?

?
4

??8 分,

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) ??9 分

⑶由 f (? ?

?
8

) ? ?1 得 3 sin( 2? ?

?

1 ) ? ?1 ??10 分,即 cos 2? ? ? ??11 分,所 2 3

1 6 以 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ??13 分, sin ? ? ? ??14 分. 3 3

⒘⑴填充以下得分茎叶图 ??4 分(每行 1 分)

甲 7 5 4 9 1 4 4 3 2 1

乙 5 6 7 8 7 3 1 3 8 8 3 4 5 6

统计结论:①甲队得分的平均值小于乙队得分的平均值;②乙队得分比甲队 得分集中;③甲队得分的中位数为 71.5,乙队得分的中位数为 72;④甲队得分的 极差为 30,乙队得分的极差为 29??8 分(写出其中任何 2 个,每个 2 分)

高一数学试题

第 5 页 共 7 页

⑵x ?
S?

55 ? 81 ? 84 ? 61 ? 54 ? 74 ? 82 ? 83 ? 69 ? 57 ? 70 ??9 分 10 1 ? [( 55 ? 70) 2 ? (81 ? 70) 2 ? ? ? (57 ? 70) 2 ] ??11 分, ? 137 .8 ??13 分 10

S 表示甲队 10 场比赛得分的方差(或 10 场比赛得分的离散程度)??14 分.

⒙⑴设 AC ? BD ? O ,连接 PO ??1 分, 因为 P-ABCD 是正四棱锥,所以 AC ? BD , PO ? AC ??3 分, 因为 PO ? BD ? O ,所以 AC ? 平面 PBD ??5 分, 因为 AC ? 平面 PAC ,所以平面 PAC ? 平面 PBD ??7 分 ⑵因为 AB ? 2 ,所以 AO ? 2 ??8 分, PO ? PA2 ? AO2 ? 1 ??9 分, 因为 P-ABCD 是正四棱锥,所以 PO ? 平面 ABCD ??10 分 所以,该四棱锥的体积 V ? ⒚⑴ sin
1 1 4 Sh ? ? AB 2 ? PO ? ??13 分(每个等号 1 分) . 3 3 3

n? ? 2? ? sin( ? n) 的周期为 T ? ? 4 ??1 分, ? 2 2 2 n? n? n? n ? 0 时, sin ? 0 ; n ? 1 时, sin ? 1 ; n ? 2 时, sin ? 0 ; n ? 3 时, 2 2 2

sin

n? ? ?1 ??5 分(每种情况 1 分) 2

所以 A ? ?? 1 , 0 , 1???6 分 ⑵任取 p ? A , q ? A ,对应的向量分别有:① a ? (1 , ? 1) , b ? (?1 , 1) ,②

a ? (1 , ? 1) , b ? (0 , 1) ,③ a ? (1 , ? 1) , b ? (1 , 1) ,④ a ? (1 , 0) , b ? (?1 , 1) ,
⑤ a ? (1 , 0) , b ? (0 , 1) ,⑥ a ? (1 , 0) , b ? (1 , 1) ,⑦ a ? (1 , 1) , b ? (?1 , 1) , ⑧ a ? (1 , 1) , b ? (0 , 1) ,⑨ a ? (1 , 1) , b ? (1 , 1) ??9 分(1-3 个 1 分,2-6 个 2
分,7-9 个 3 分) ,共 9 种情况??10 分

① a ? (1 , ? 1) , ② a ? (1 , 1) , a // b 的情况分别是: b ? (?1 , 1) , b ? (1 , 1) ?? 11 分,共 2 种情况??12 分 各种不同情况是等可能的,故 a // b 的概率 P ? ⒛⑴ k MN ?
2 ??13 分. 9

?4?2 3 1 4 ? ? ??1 分, k l ? ? ? ??2 分, 5 ? (?3) 4 k MN 3

高一数学试题

第 6 页 共 7 页

4 所以直线 l 的方程为 y ? (?2) ? [ x ? (?1)] ,即 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ??3 分, 3

PM ? (?3 ? x , 2 ? y) , PN ? (5 ? x , ? 4 ? y) ??4 分,
由 PM ? PN ? ?21得 (?3 ? x)(5 ? x) ? (2 ? y)(?4 ? y) ? ?21??5 分, 整理得,轨迹方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ??6 分 ⑵轨迹 ? 是圆心为 C (1 , ? 1) 、半径 r ? 2 的圆??7 分, C 到直线 l 的距离
d? 4 ? 1 ? 3 ? (?1) ? 2 ? 1 ??8 分, d ? 1 ? r ,直线 l 与圆 ? 相交??9 分, 5

1 d 1 2? 设交点为 E 、 F ,则 cos ?ECF ? ? ??10 分, ?ECF ? ??11 分, 2 r 2 3

圆 C 的优弧 EF 的长为 r ? (2? ? ?ECF ) ?

8? ??12 分, 3

8? 因为 P 在直线 l 右下方,所以 P 在优弧 EF 上,所求概率为 P ? 3
??14 分(说理列式 1 分,结果 1 分)

2? r

?

2 3

高一数学试题

第 7 页 共 7 页


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