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刘春霞24.1.4圆周角定理及其推论的应用_图文

第三课时 圆周角定理及其应用
乌加河学校 140班

学习目标
? 理解并掌握圆周角的定义. ? 掌握圆周角的性质及定理.

复习旧知:请说说我们是如何给 圆心角下定义的,试回答?
顶点在圆心的角叫圆心角。

能仿照圆心角的定义, 给下图中象∠ACB 这样的角下个 定义吗?

顶点在圆上,并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角.

辨一辨:指出下图中的圆周角
A

A
O
(1)

C O

O D

E O
(4)

B
(2) (3)

O B
(5)

O

A

B
F (6)

要点: 1.顶点在圆上 2.两边与圆相交

1.现在通过圆周角的概念和度量的 方法回答下面的问题.
1).一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?

二、探索与圆周角有关的性质
2、探索: 同弧所对的圆周角与圆心角的关系. 在圆O中任意画出一个圆周角∠ACB(弧AB为劣弧) 再画出弧AB所对的圆心角,即∠AOB.

用你所学过的知识比较一下∠ACB 与∠AOB,你会发现什么?
.gsp

圆周角与圆心的位置关系有以下三种情况:

C O A
B A D O

C

C

O
B D A
圆心在角 的外部

B

圆心在角 的一边上

圆心在角 的内部

性质2:
同弧(或等弧) 所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角都相等.
在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等

1、求圆中的角x的度数?

=?

巩固练习:

如图,点A,B,C,D在同一个圆上,四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角,这些角中哪些是相等的角?
D

A

1

8 7
6
C

2 3
B

4

5

二、探索与圆周角有关的性质 1、直径所对的圆周角

如图,线段AB是⊙O 的直径,点C是⊙O上任 意一点(除点A、B) 那 A 么∠ACB就是直径AB所 对的圆周角.想想 看,∠ACB会是怎么样的 角?为什么呢?
.1.gsp

C
1 2

O

B

性质1:
直径所对的圆周角等于90°(直角) . 反过来也是成立的,即: 90°的圆周角所对的弦是直径..
C

A

O

B

练习
如图,AB为⊙O的直径,∠A=80°,

求∠ABC的度数.

A
O

A

C

O
B

B

5.圆的内接四边形的对角互补.
.如图,在⊙O中,∠BAD=70°,求∠C的大小.
A B


D

O

B C

D



O
C

A

内容小结:
? 圆周角定理的内容: 1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半; 2、同弧或等弧所对的圆周角相等; 3、半圆或直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径; 4、在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧相等; (等弧---等角,直径 直角三角形)
.gsp

练习一



1.求圆中角X的度数.

O

70° x

.

O A

.
x

120 °

A

B

O
B

2.如图,圆心角∠AOB=100°,A C 则∠ACB= .
3.如图,在直径为AB的半圆中,点O为圆 心,点C、D为半圆上的两点, ∠COD=500,则∠CAD=______.

4.如图P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=600,判断△ABC形状.
证明: ∵ ∠ABC=∠APC=60° ∠BAC=∠CPB=60°. (同弧所对的圆周角相等) ∴△ABC等边三角形.

P

A

· O
B

C

5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的 圆交BC于D,交AC于E. A 求证:⌒ ⌒

BD=DE

O

E D C

B

5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直 径的圆交BC于D,交AC于E. 求证:⌒ ⌒

BD=DE A 证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, E ∴∠ADB=90°, C D B ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
∴⌒ ⌒ BD= DE

(同圆或等圆中,相等的圆周角 所对弧相等).

? 圆周角定理的作用:
(1)直径 直角(垂直关系); (2)圆周角--圆心角; (3)同弧 等圆周角,等弧 等圆周角.

与圆周角有关的辅助线:
过圆上某点作直径,连结过直径端点的弦:

构造直角三角形; 构造同弧所对的圆周角(等角)

.gs p

练习二 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,∠A= . ︵ ︵ 2.如图,在⊙O中,AB= AC,∠ABC=70°.∠BOC=
3.在⊙O中,弦BC=2,∠A=30°,则⊙O的半径为 4. 在⊙O中,弦BC=2,∠A=45°,则⊙O的半径为

. . .

.
A

B


C O
B O

A
A O

B

C

C

(第 2 题)

下课

5.圆的内接四边形的对角互补.
.如图,在⊙O中,∠BAD=70°,求∠C的大小.
A D

B


O

B
C

D A



O C

圆的内接四边形的对角互补.并且一 个外角等于它的内对角. 6.如图:四边形ABCD内接于⊙O,求
∠BOD.
A

O B
C

D

70

?

? 画图分析几个相关的结论: ? 1.圆的内接平行四边形是 ; ? 2.圆内两条平行弦所夹的弧 ; ? 3.圆的内接梯形是 ;

圆的两条平行弦所夹的弧相等.
1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

7、如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是 ⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点 AC F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的 角,并说明理由.
G

F C E B

O

A

D

? 几个与圆周角相关的结论: ? 1.圆的内接平行四边形是矩形; ? 2.圆的内接梯形是 等腰梯形 ; ? 3.圆内两条平行弦所夹的弧 相等 ; ? 4.圆的内接四边形的对角互补.并且一 个外角等于它的内对角.

关于圆周角定理的训练(1)

? 1.OA是圆O的半径,以OA为直径的 圆C与圆O的弦AB交于点D,判断AD 与BD的关系,说明理由.
B D E

A

C

O

2.已知:在⊙O中,AB=CD, 求证:∠ABD=∠CDB.
C B A E O D

3.AB、AC是⊙O的两条弦,延长CA 到D,使AD=AB.若∠ADB=40°,

求∠BOC.
B D O

A

C

4.AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,

延长BD到点C,使CD=BD,连接AC. 判断AB与AC的关系,说明理由.

O







? 5.点A、B、C在半径为2cm的圆 上,若BC=2 3 cm,求∠BAC的

度数.(画图分析后进行计算)

与圆周角有关的辅助线:
过圆上某点作直径,连结过直径端点的弦:

构造直角三角形; 构造同弧所对的圆周角(等角)
.gs p

关于圆周角定理的训练(2)







? 1、已知:点A、B、C三点在⊙O上,AD是
△ABC的高,AE是圆O的直径.

(1)求证:AB·AC=AE·AD ; ⌒ (2)若F为BC的中点,求证:AF平分∠DAE.
A

O

B E

D

C

? 2、在圆的内接△ABC中,AB+AC=12, AD⊥BC于D,且AD=3,设⊙O的半径为y, AB的长为x. (1)用含x的代数式表示y; (2)当AB长为多少时,⊙O的面积最大?并 求出最大面积.
A

B

O

D

C

E

3、已知:点A、B、C在⊙O上,AB=AC,点D是 BC边上一点,点E是直线AD和圆的交点. (1)探索:AB、AD、AE之间的关系. (2)当D为BC延长线上一点时,上述结论还 成立吗?如果成立,请画图给予证明;若不 A 成立,说明理由.

O D B E C

? 4、已知BC为半圆O的直径,点F为半圆上异于B、 ︵ C的一点,点A是BF的中点,AD⊥BC于点D,BF 交AD于点E. ? 求证:(1)AE=BE; ? (2)BE·BF=BD·BC .

A

F

E B D O C

5.如图:已知BC为⊙O的直径,AD⊥BC, 垂足为D,BF交AD于E,且AE=BE. ︵ ︵ (1)求证:AB=AF 3 (2)若sin∠FBC= , AB ? 4 5 , 求AD 的长。

5

A E O









与圆周角有关的辅助线:
过圆上某点作直径,连结过直径端点的弦:

构造直角三角形; 构造同弧所对的圆周角(等角)
.gs p





议一议

圆周角和圆心角的关系

驶向胜利 的彼岸

? 1.首先考虑一种特殊情况: ? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ?∵∠AOC是△ABO的外角, ?∴∠AOC=∠B+∠A. O ?∵OA=OB, ?∴∠A=∠B. B ∴∠AOC=2∠B. 一条弧所对的圆周角等于它所 即 ∠ABC = ∠AOC. 对的圆心角的一半.


议一议

圆周角和圆心角的关系

驶向胜利 的彼岸

? 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? ? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D
?

老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD
1 = 2∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,


C

? ?

O

∴ ∠ABC = ∠AOC.

一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.

B

议一议

圆周角和圆心角的关系

驶向胜利 的彼岸

? 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? ? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
?
? ?

老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,

C

B



O



∠ABC = ∠AOC.

一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.


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