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2010—2011学年兴宁一中高二数学第一学期期考试题(理科)


2010—2011 学年兴宁一中高二数学第一学期期考试题(理科)
2011-01-11 注意:本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 必须将正确答案填 写在答题卡规定的地方 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

, 1 , 1), 1.已知 a ? (1 则向量 a 的模的大小为(
A.3 B.1 C. 3

) D. 2 )

2. 已知 a ? (0,3,3),b ? (?1,1,0), ,则向量 a与b 的夹角为( A. 30 0 B. 450 C. 60 0 D. 90 0 3.以 x ? ?

1 为准线的抛物线的标准方程为( 4 1 x 2
2 B. x ? y



2 A. y ?

2 C. x ?

1 y 2


2 D. y ? x

4.命题 p : 1 ? x ? 2 是命题 q : x ? 0 的( A. 必要不充分条件 C. 充要条件

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.如果命题“非 p ”是真命题,同时命题“ p 或 q ”是真命题,那么下列命题中, 一定是真命题的是( A. q B. p ) C.非 q

D. p 且 q ???? ??? ? ??? ? 6.在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,化简 BB1 ? AB ? DA ? ( ???? ???? ? ???? ? ???? ? A. CA1 B. AC1 C. BD1 D. DB1 7.若焦点在 x 轴上的椭圆
3 2 1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? ( 2 2 m





A.

B.

6 2

C.

8 3
1

D.

2 3

8.若椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个 25 16 4 5

交点,则 PF1 · PF2 的值为( A.
21 2

) C. 3 D.21

B. 84

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.向量 a ? (1,2,?2),b ? (?2, x, y), 且 a // b 则 x ? y ?
2 2 10.双曲线 x ? 4 y ? 1的渐近线方程是: 2 11.已知抛物线 y ? 2ax (a ? 0) ,它的焦点坐标是
? ?




; ;

12.设 A、 B 是两个命题, 如果 A 是 B 的充分不必要条件, 则 ?A是?B的 13.若椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则椭圆的离心率 e ? ____; 4 a a 2
? ? ? ?

14.已知点 M 在平面 ABC 内,对空间任意一点 O,有 2 OA ? x OM ? OB ? 4 OC , 则x? 程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且 经过点 M (2, ? 2 2 ) ,求该抛物线的标准方程.


三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过

16. (本小题满分 12 分)已知命题

p :方程 x 2 ? mx? 1 ? 0 有两个不等负实数根; p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为

2 命题 q :方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若“

假,求实数 m 的取值范围.

2

17. (本小题满分 14 分)如图,在长方体 AC1 中, AB ? BC ? 2, AA 1 ? 点 E、F 分别是面 A1C1 、面 BC1 的中心. (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角; (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的余弦值. D1 E A1 D B1 F C B C1

2,

A

18. (本小题满分 12 分)设双曲线

x2 y2 ? ? 1(0 ? a ? b) 的半焦距为 c , a2 b2

已知直线 l 过 (a,0), (0, b) 两点,且原点 O 到直线 l 的距离为 求此双曲线的离心率.

3 c, 4

19. (本小题满分 14 分)如图,以正四棱锥 V ? ABCD 底面中心 O 为坐标原点建立 空间直角坐标系 O ? xyz ,其中 Ox // BC, Oy // AB ;已知 VA ? kAB ,点 E 是
VC 的中点,底面正方形 ABCD 边长为 2 a ,高为 h .

V
(Ⅰ)求 COS ? BE, DE ? ; (Ⅱ)当 k 取何值时, ? BED 是二面 角 B ? VC ? D 的平面角,并求 二面角 B ? VC ? D 的余弦值.

D

C

A
3

B

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上. 若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M 、 N , 当 AM ? AN 时,求实数 m 的取值范围.

4

兴宁一中高二理数学期考试题参考答案
一 . 选 择 题 : ( 本 大 题 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40 分 ) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D

2011-01

二、填空题:(本 大 题 共 6 小 题 , 每小题 5 分,共 30 分) 9. ? 8 10. x ? 2 y ? 0 11. (0,
1 ) 8a

12. 必要条件

13.

3 2

14. ? 1

15、解: (1)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 x 轴,并且经过点 M (2, ? 2 2)
设它的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) 解得: p ? 2 ∴ ∴

(?2 2 ) 2 ? 2 p ? 2

y 2 ? 4x

?????? 7 分

(2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 M (2, ? 2 2) , 设它的标准方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) 解得: p ? ∴

4 ? ?2 p ? (?2 2 )

2 2



x2 ? ? 2y
????? 14 分 ????3 分

所以 所求抛物线的标准方程为: y 2 ? 4 x 或 x 2 ? ? 2 y

? ? ? m2 ? 4 ? 0 16、解:若 p 真,则: ? ? x1 ? x2 ? ?m ? 0
若 q 真,则: ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0
2

解得: m ? 2

解得: 1 ? m ? 3 ???? 6 分

由题意可知:

p 、 q 为一真一假
(2)当 p 假 q 真时: 1 ? m ? 2 ?10 分

(1)当 p 真 q 假时: m ? 3 ? 8 分

综上所述 m的取值范围为 (1,2] ? [3,??)
5

????? 12 分

17.解: (1)如图,以 D 为坐标原点 DA、DC、DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,
则:A(2,0,0) ,F(1,2,

2 ) 2

D1 E B1 F D

C1

B(2,2,0) ,E(1,1, 2 ) ,C(0,2,0) A1

2 ), BE ? (?1,?1, 2 ) , ∴ AF ? (?1,2, 2
∴ AF ? BE ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 所以 AF 和 BE 所成的角为 90
0
? ?

C B

A ????? 6 分

(2)设平面 BEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z), 又 BC ? (?2,0,0), 则: n ? BC ? ?2 x ? 0 ∴x

BE ? (?1,?1, 2 ),

n ? BE ? ?x ? y ? 2z ? 0
?

? 0,

令z

? 1 ,则: y ? 2
AF ? n AF ? n ?



n ? (0, 2 ,1) ????? 10 分



COS ? AF , n ??

5 2 5 33 2 ? 33 22 ? 3 2

设直线 AF 和平面 BEC 所成角为 ?

则: Sin? ?

5 33 33

???? 13 分

∴ COS? ? 2 66 33

即 直线 AF 和平面 BEC 所成角的余弦值为

2 66 ??? 14 分 33

18.解:由题设条件知直线 l 的方程为 ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 又

x y ? ? 1 即: ay ? bx ? ab ? 0 a b

3 c 4



ab a2 ? b2
从而

?

3 c 4

??? 4 分

c2 ? a2 ? b2

∴ 4ab ? 3c 2

∵ a?0 ∵ 0?a?b

∴ 3e 4 ? 16e 2 ? 16 ? 0
2 ∴ e ?

16a 2 (c 2 ? a 2 ) ? 3c 4 ? 6 分 4 2 2 解得: e ? 4 或 e ? ?? 8 分 3
??? 10 分

a2 ? b2 b2 ? 1 ? ?2 a2 a2
6

∴ e2 ? 4



e ?1
3a a h a 3a h ,? , ), DE ? ( , , ), 2 2 2 2 2 2

所以 此双曲线的离心率为 2 ??? 12 分 19、解: (I)由题意知 B(a,a,0) ,C(―a,a,0) ,D(―a,―a,0) , E (?

a a h , , ), 2 2 2

由此得: BE ? (?

? BE ? DE ? (?

3a a a 3a h h 3a 2 h 2 ? ) ? (? ? ) ? ? ? ? ? , ??? 3 分 2 2 2 2 2 2 2 4
3a 2 a h 1 ) ? (? ) 2 ? ( ) 2 ? 10a 2 ? h 2 . ??? 5 分 2 2 2 2

| BE |?| DE |? (?

由向量的数量积公式有:

3a 2 h2 ? BE ? DE ? 6a 2 ? h2 2 4 cos ? BE, DE ?? ? ? . ?? 7 分 2 2 | BE | ? | DE | 1 10a 2 ? h2 ? 1 10a 2 ? h2 10a ? h 2 2 ?
(II)若 ? BED 是二面角 B ? VC ? D 的平面角,则 BE?CV

∴ BE ? CV ? 0

DE ? CV ? 0 ?? 8 分

由 C(-a,a,0) ,V(0,0,h) 有 CV ? (a,?a, h) 又
BE ? (? 3a a h ,? , ), 2 2 2

? BE ? CV ? ?

3a 2 a 2 h 2 ? ? ? 0, 2 2 2

解得: h

? 2a, ??? 10 分

∴ cos ? BE, DE ??

? 6a 2 ? h2 ? 6a 2 ? ( 2a)2 1 ? ? ? . ??? 12 分 10a 2 ? h2 3 10a 2 ? ( 2a)2


VA ? VO 2 ? OA2 ? 2a

VA ? k A B 且 AB ? 2a

从而 k ? 1 反之成立 ??? 13 分 ? BED 是二面角 B ? VC ? D 的平面角, 因此 当 k ? 1 时, 且二面角 B ? VC ? D 的 余弦值为 ?

1 .??? 14 分 3

7

20、解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,则右焦点 F ( a 2 ? 1,0) 2 a
解得: a ? 3
2

a2 ?1 ? 2 2
由题设条件:

2

?3

故 所求椭圆的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1 .??? 5 分 3

? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,联立 ? x 2 2 ? ? y ?1 3 ?
得: (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0 ??? 7 分 由于直线与椭圆有两个交点, ? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

① ?? 8 分

? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

??? 10 分



AM ? AN ,? AP ? MN

则: ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k
2

即: 2m ? 3k ? 1
2

② ??? 12 分

把②代入①得: 2m ? m 由②得: k ?
2

解得: 0 ? m ? 2 解得: m ?

2m ? 1 ?0 3

1 2

故所求实数 m 的取范围是 (

1 ,2) ??? 14 分 2

8


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