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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 11.5 二项分布及应用课时作业 理(含解析)新人教A版


【与名师对话】2015 高考数学一轮复习 11.5 二项分布及应用课时 作业 理(含解析)新人教 A 版
一、选择题 1.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是 0.8,则该射击运动员射击 4 次至少 击中 3 次的概率为( A.0.85 ) C.0.8 D.0.75
4 4

B.0.819 2
3 3

解析:P=C4×0.8 ×0.2+C4×0.8 =0.819 2. 答案:B 2.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标注数 1,两个面上标注数 2,一个面上标 注数 3,将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之和为 3 的概率为( A. 1 6 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 )

解析:设第 i 次向上的数是 1 为事件 Ai,第 i 次向上的数是 2 为 Bi,i=1,2,则 P(A1) 1 1 =P(A2)= ,P(B1)=P(B2)= ,则所求的概率为 P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 2 3 1 1 1 1 1 = × + × = . 2 3 2 3 3 答案:C 3.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 1 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 2 ( )

?1?5 A.? ? ?2?
3?1?3 C.C5? ? ?2?

2?1?5 B.C5? ? ?2? 2 3?1? 5 D.C5C5? ? ?2?

解析:质点 P 从原点到点(2,3)需右移两次上移三次,
2?1?2?1?3 2?1?5 故 C5? ? ? ? =C5? ? . ?2? ?2? ?2?

答案:B

1

1 4.如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 ,且是相互独 2 立的,则灯泡甲亮的概率为( A. 1 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D. 16 )

解析:理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合” 为事件 C,则灯亮应为事件 A·C· B ,且 A,C, B 之间彼此独立, 1 且 P(A)=P( B )=P(C)= . 2 1 所以 P(A· B ·C)=P(A)·P( B )·P(C)= . 8 答案:A 5.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么

k 的值为(

)

A.0 B.1 C.2 D.3
k?1? k?1?5-k k+1?1?k+1?1?5-k-1 解析:由 C5? ? ? ? =C5 ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2?

即 C5=C5 ,∴k+(k+1)=5,k=2. 答案:C 1 6.(2013·山西模拟)某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是 ,构造数列{an},使得 2

k

k+1

an=?
(

?1 ? ? ?-1

第n次抛掷时出现正面 , 第n次抛掷时出现反面 ,

记 Sn=a1+a2+?+an(n∈N ), 则 S4=2 的概率为

*

) A. 1 1 B. 16 8 1 1 C. D. 4 2

解析: 依题意得知, “S4=2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面, 因此“S4=2”

2

1 1 3?1? 3 的概率为 C4? ? · = . ?2? 2 4 答案:C 二、填空题 7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率 16 为 ,则该队员每次罚球的命中率为________. 25 16 2 解析:设该队员每次罚球的命中率为 p,则 1-p = , 25

p2= .又 0<p<1.所以 p= .
3 答案: 5 8.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个 问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________. 解析: 此选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮, 说明此选手第 2 个问题回答错误, 第 3、 第 4 个问题均回答正确,第 1 个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立, 故所求的概率为 1×0.2×0.8 =0.128. 答案:0.128 三、解答题 9.(2014·河北沧州质量监测)某教育研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀 请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10
2

9 25

3 5

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本不同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ ,求随机 变量 ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C50=1 225, 选出 2 人所使用的版本相同的方法数为 C20+C15+C5+C10=350, 350 5 故 2 人使用版本不相同的概率为:P=1- = . 1 225 7 (2)ξ 所有可能取值为 0,1,2,
2 2 2 2 2

3

C15 3 C20C15 60 ∵P(ξ =0)= 2 = ,P(ξ =1)= 2 = , C35 17 C35 119

2

1

1

P(ξ =2)= 2 =
ξ 的分布列为

C20 38 . C35 119

2

ξ

0 3 17

1 60 119

2 38 119

P

3 60 38 136 8 ∴E(ξ )= ×0+ ×1+ ×2= = . 17 119 119 119 7 10.(2013·江西师大附中、鹰潭一中高三联考)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第 一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题, 只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为 1 000 元,3 000 4 3 2 元,6 000 元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为 , , , 5 4 3 且每个问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望. 解:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1,

?4?2 ?1 3 1? 7 则 P1=? ? ×? + × ?= . ?5? ?4 4 4? 25
1 4 1 9 (2)X 的取值为 0,1 000,3 000,6 000,则 P(X=0)= + × = , 5 5 5 25

P(X=1 000)=? ?2×? + × ?= , 5 4 4 4 P(X=3 000)=? ?2×? ?2×?1-?3? -C2?3? × ? 5 4 3
1

?4? ? ? ?4? ? ?

?1 3 1? 7 ? ? 25 ?3? ? ? ? ? ?2?2 ? ?

?2?2 1? ? ? ?



7 , 75

P(X=6 000)=? ?2×? ?2×??3? +C2?3? × ? 5 4 3
1

?4? ? ?

?3? ? ?

??2?2 ?? ?

?2?2 1? ? ? ?



4 , 15

∴X 的概率分布列为

X

0

1 000

3 000

6 000

4

P

9 25

7 25

7 75

4 15

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1 000× +3 000× +6 000× =2 160. 25 25 75 15 11. (2013·保定市高三第一次模拟)每一个父母都希望自己的孩子能升上比较理想的中 学,于是就催生了“择校热”,这样“择校”的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加 了.若某生由于种种原因,每天只能 6∶15 骑车从家出发到学校,途径 5 个路口,这 5 个路 口将家到学校分成了 6 个路段, 每个路段的骑车时间是 10 分钟(通过路口的时间忽略不计), 1 假定他在每个路口遇见红灯的概率均为 ,且该生只在遇到红灯或到达学校才停车.对每个 3 路口遇见红灯的情况统计如下: 红灯 等待时间(秒) 1 60 2 60 3 90 4 30 5 90

(1)设学校规定 7∶20 后(含 7∶20)到校即为迟到,求这名学生迟到的概率; (2)设 ξ 表示该学生第一次停车时已经通过的路口数,求它的分布列. 解:(1)当 1、2、3、5 路口同时遇到红灯时,该学生会迟到.故该生迟到的概率为 P=

?1?4·?1+2?= 1 . ?3? ?3 3? 81 ? ? ? ?
(2)由题意知 ξ 取值为 0,1,2,3,4,5, 1 2 1 2 则 P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= · = 3 3 3 9

P(ξ =2)=? ?2· = ,P(ξ =3)=? ?3· = 3 3 P(ξ =4)=? ?4· = 3
ξ

?2? ? ? ?2? ? ?

1 4 3 27

?2? ? ?

1 3

8 81

1 16 ?2?5 32 ,P(ξ =5)=? ? = . 3 243 ?3? 243 0 1 3 1 2 9 2 4 27 3 8 81 4 16 243 5 32 243

P

12.(2013·北京东城统一检测)为迎接 6 月 6 日的“全国爱眼日”,某高中学校学生会 随机抽取 16 名学生, 经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点 前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图,若视力测试结果不低于 5.0,则称为 “好视力”.

5

(1)写出这组数据的众数和中位数; (2)求从这 16 人中随机选取 3 人,至少有 2 人是“好视力”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人, 记 X 表示抽到“好视力”学生的人数,求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由题意知众数为 4.6 和 4.7;中位数为 4.75. (2)设 Ai 表示所选 3 人中有 i 个人是“好视力”, 至少有 2 人是“好视力”记为事件 A, C4C12 C4 19 则 P(A)=P(A2)+P(A3)= 3 + 3 = . C16 C16 140
2 1 3

? 1? (3)X 的可能取值为 0,1,2,3.由于该校人数很多,故 X 近似服从二项分布 B?3, ?. ? 4?
P(X=0)=? ?3= , 4
2 P(X=1)=C1 , 3× ×? ? = 4

?3? ? ?

27 64

1 4

?3? ? ?

27 64 9 64

2 P(X=2)=C2 , 3×? ? × = 4

?1? ? ?

3 4

P(X=3)=? ?3= , 4 X 的分布列为 X P
0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

?1? ? ?

1 64

1 3 故 X 的数学期望 E(X)=3× = . 4 4 [热点预测]

6

13.(2013·南平市质检)如图所示,质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向 前进,现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上所标数 字分别为 1、1、2、2、3、3.质点 P 从 A 点出发,规则如下:当正方体朝上一面出现的数字 是 1, 质点 P 前进一步(如由 A 到 B), 当正方体朝上一面出现的数字是 2, 质点 P 前进两步(如 由 A 到 C);当正方体朝上一面出现的数字是 3,质点 P 前进三步(如由 A 到 D).在质点 P 转 一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止. (1)求点 P 恰好返回到点 A 的概率; (2)在点 P 转一圈恰能返回到点 A 的所有结果中, 用随机变量 ξ 表示点 P 恰能返回到点

A 的投掷次数,求 ξ 的数学期望.
解: (1)事件“点 P 转一圈恰能返回到点 A”记为 M; 事件“投掷两次点 P 就恰能返回到 点 A”记为 B; 事件“投掷三次点 P 就恰能返回到点 A”记为 D; 事件“投掷四次点 P 就恰能 返回到点 A”记为 E.投掷一次正方体玩具, 朝上一面每个数字的出现都是等可能的, 其概率 2 1 为 P1= = ,因为只投掷一次不可能返回到点 A;若投掷两次点 P 就恰能返回到点 A,则朝 6 3

?1?2 上一面出现的两个数字应依次为:(1,3),(3,1),(2,2)三种结果,其概率为 P(B)=? ? ×3 ?3?
1 = ; 3 若投掷三次点 P 恰能返回到点 A,则朝上一面出现的三个数字应依次为: 1 ?1?3 (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三种结果,其概率为 P(D)=? ? ×3= ; 9 ?3? 若投掷四次点 P 恰能返回到点 A,则朝上一面出现的四个数字应依次为:

?1?4 1 (1,1,1,1),其概率为 P(E)=? ? = ; ?3? 81
所以点 P 恰好返回到点 A 的概率为 1 1 3 9 1 37 81 81

P(M)=P(B)+P(D)+P(E)= + + = .
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 2,3,4.

7

1 3 27 P BM P B P(ξ =2)=P(B|M)= = = = ; P M P M 37 37 81 1 9 P DM P D 9 P(ξ =3)=P(D|M)= = = = ; P M P M 37 37 81 1 81 1 P EM P E P(ξ =4)=P(E|M)= = = = . P M P M 37 37 81 即 ξ 的分布列为 ξ 2 27 37 3 9 37 4 1 37

P

27 9 1 85 85 所以 E(ξ )=2× +3× +4× = .即 ξ 的数学期望是 . 37 37 37 37 37

8


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