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配套K12高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第5节直线平面垂直的判定与性质基丛点练理

小学+初中+高中+努力=大学

第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质

【选题明细表】

知识点、方法

题号

与垂直相关命题的判断

3,9

直线与平面垂直

1,6,10

平面与平面垂直

2,4,7,15

线面角、二面角

5,8,14

综合问题

11,12,13

基础对点练(时间:30 分钟)

1. 一 条 直 线 和 一 个 圆 的 两 条 直 径 都 垂 直 , 则 这 条 直 线 和 这 个 圆 所 在 的 平 面 的 位 置 关 系 是

(B)

(A)平行

(B)垂直

(C)相交不垂直 (D)不确定

解析:因为一个圆的两条直径一定相交于圆心,由线面垂直的判定定理知这条直线和这个圆

所在的平面垂直.

2. 在空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC,AD=CD,E 为对角线 AC 的中点,下列判断正确的是( D )

(A)平面 ABD⊥平面 BDC

(B)平面 ABC⊥平面 ABD

(C)平面 ABC⊥平面 ADC

(D)平面 ABC⊥平面 BED

解析:因为 AB=BC 且 AE=EC,

所以 AC⊥BE,同理 AC⊥DE,

所以 AC⊥平面 BED,

所以平面 ABC⊥平面 BED.

3.(2015 石家庄调研)设 a,b 表示直线,α ,β ,γ 表示不同的平面,则下列命题中正确的是

(D)

(A)若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α

(B)若γ ⊥α 且γ ⊥β ,则α ∥β

(C)若 a∥α 且 a∥β ,则α ∥β

(D)若γ ∥α 且γ ∥β ,则α ∥β

解析:A 项中,应该是 b∥α 或 b? α ;

B 项中,如果是墙角的三个面就不符合题意;

C 项中,α ∩β =m,若 a∥m 时,满足 a∥α ,a∥β ,但是α ∥β 不正确.故选 D.

4.(2016 南昌模拟)设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件

“a? α ,b? β ,且α ⊥β ”的平面α ,β ( D )

(A)不存在

(B)有且只有一对

(C)有且只有两对 (D)有无数对

解析:过直线 a 的平面α 有无数个,当平面α 与直线 b 平行时,两直线的公垂线与 b 确定的平

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面β ⊥α ,当平面α 与 b 相交时,过交点作平面α 的垂线与 b 确定的平面β ⊥α . 5.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( B )
(A) (B) (C) (D) 解析:如图三棱柱 ABCA1B1C1,P 为底面 A1B1C1 的中心,取△ABC 中心 P′,连接 PP′,AP,AP′,则 ∠PAP′即为所求 PA 与平面 ABC 所成的角.

由 AP′=×

=1.

又 S△ABC=× × ×sin 60°= , ·PP′=,PP′= ,
所以 tan∠PAP′= = ,即∠PAP′=.故选 B. 6. 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为( A )

(A) (B)1 (C) (D)2 解析:设 B1F=x, 因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF, 所以 AB1⊥DF. 由已知可以得 A1B1= ,
矩形 ABB1A1 中,tan ∠FDB1= ,

tan ∠A1AB1=

=,

又∠FDB1=∠A1AB1,

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所以 = .

故 B1F= × =.故选 A.

7.(2015 山东潍坊质检) 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M

是 PC 上的一动点,当点 M 满足

时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确

的条件即可)

解析: 连接 AC,BD 交于 O,因为底面各边相等,所以 BD⊥AC;

又 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥BD, 又 PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 PAC, 所以 BD⊥PC. 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD, 所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8.四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角

面的面积是一个侧面面积的 倍,则侧面与底面所成锐二面角等于

.

解析:如图所示,根据 底面所成锐二面角为.

= ,得= ,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与

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答案:

9.(2015 内蒙高三期末)设α 和β 为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α 内的两条相交

直线分别平行于β 内的两条直线,则α ∥β ;②若α 外的一条直线 l 与α 内的一条直线平行,

则 l∥α ;③设α ∩β =l,若α 内有一条直线垂直于 l,则α ⊥β ;④直线 l⊥α 的充要条件是 l

与α 内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是

.

解析:若α 内的两条相交直线分别平行于β 内的两条直线,则α ∥β ,所以①正确;

若α 外的一条直线 l 与α 内的一条直线平行,则 l∥α ,所以②正确;

设α ∩β =l,若α 内有一条直线垂直于 l,则α 与β 不一定垂直,所以③错误;

直线 l⊥α 的充要条件是 l 与α 内的两条相交直线垂直,所以④错误.

所有的真命题的序号是①②.

答案:①②

10.(2014 高考山东卷) 如图,四棱锥 PABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F 分别为

线段 AD,PC 的中点.

(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.

由于 E 为 AD 的中点, AB=BC=AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 因此四边形 ABCE 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 又 F 为 PC 的中点, 因此在△PAC 中, 可得 AP∥OF. 又 OF? 平面 BEF,AP?平面 BEF. 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知 ED∥BC,ED=BC. 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC, 又 AP∩AC=A,AP,AC? 平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 11.(2015 洛阳三模)等边三角形 ABC 的边长为 2,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 的中
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小学+初中+高中+努力=大学 点(如图(1)).现将△ABC 沿 CD 翻成直二面角 ACDB(如图(2)).

(1)求证:AB∥平面 DEF; (2)求多面体 DABFE 的体积. (1)证明:如题图(2)所示,在△ABC 中, 因为 E,F 分别是 AC,BC 的中点, 所以 EF∥AB. 又 AB?平面 DEF,EF? 平面 DEF, 所以 AB∥平面 DEF. (2)解:由直二面角 ADCB 知平面 ADC⊥平面 BCD, 又在图(1)中,AD⊥CD, 所以 AD⊥平面 BCD,
=·S△BCD·AD= ,

=×S△BCD·AD= , 所以,多面体 DABFE 的体积

V=

-

=.

能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2016 四川绵阳诊断)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β 是不同的平面,则α ⊥β 的一 个充分条件是( D ) (A)l? α ,m? β ,且 l⊥m (B)l? α ,m? β ,n? β ,且 l⊥m,l⊥n (C)m? α ,n? β ,m∥n,且 l⊥m (D)l? α ,l∥m,且 m⊥β 解析:对于 A,l? α ,m? β ,且 l⊥m,如图(1),α ,β 不垂直; 对于 B,l? α ,m? β ,n? β ,且 l⊥m,l⊥n,如图(2),α ,β 不垂直;

对于 C,m? α ,n? β ,m∥n,且 l⊥m,直线 l 没有确定,则α ,β 的关系也不能确定; 对于 D,l? α ,l∥m,且 m⊥β ,则必有 l⊥β ,根据面面垂直的判定定理知α ⊥β . 13.(2016 天津模拟)如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△
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ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC; ②△BAC 是等边三角形; ③三棱锥 DABC 是正三棱锥; ④平面 ADC⊥平面 ABC.其中正确的是( B ) (A)①②④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①③④ 解析:由题意知 BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC,①正确; AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高,平面 ABD⊥平面 ACD,所以 AB=AC=BC, △BAC 是等边三角形,②正确;易知 DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错误. 14. 如图,在锥体 PABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60°, PA=PD= ,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.
(1)证明:AD⊥平面 DEF; (2)求二面角 PADB 的余弦值. (1)证明: 如图,取 AD 的中点 O,连接 PO,BO,BD.
因为四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠DAB=60°, 所以△ABD 为等边三角形, 所以 BO⊥AD. 因为 PA=PD= , 所以 PO⊥AD. 又 PO∩BO=O, 所以 AD⊥平面 POB. 因为 E,F 分别为 BC,PC 的中点, 所以 EF∥BP. 由 O 为 AD 的中点,得 DE∥OB. 因为 EF∩ED=E, 所以平面 POB∥平面 DEF. 所以 AD⊥平面 DEF. (2)解:由(1)知 PO⊥AD,BO⊥AD, 则∠POB 为所求二面角的平面角.
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在等边三角形 ABD 中,可得 OB= .

在△PAD 中,可得 PO=

=.

在△POB 中,PB=2,由余弦定理得

cos∠POB=

=

=- ,

所以二面角 PADB 的余弦值为- .
15.(2015 河北教学质量监测) 已知四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,∠BAD=120°,PA=b.

(1)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)设 AC 与 BD 交于点 O,M 为 OC 中点,若二面角 OPMD 的正切值为 2 (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 又底面 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD, 所以 BD⊥平面 PAC, 从而平面 PBD⊥平面 PAC. (2)解: 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连接 HD.

,求 a∶b 的值.

由(1)知 DO⊥平面 PAC, 所以 DH⊥PM, 所以∠OHD 为二面角 OPMD 的平面角.
又 OD= a,OM=,AM= ,且 = ,

从而 OH=

·=

,

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tan∠OHD= =

=2 ,

所以 9a2=16b2,即=.

精彩 5 分钟

1.已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,AB=BC=CA=3,

SA=SB=SC,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则 SA 与平面 ABC 所成角的大小为( C )

(A)30°

(B)60°

(C)30°或 60° (D)45°或 60°

解题关键:注意分球心在三棱锥的内部和外部两种情况.

解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部、球心在三棱锥外部.当球心在三棱锥内

部时,三棱锥为正三棱锥,设 O′为△ABC 的中心,在△ABC 中,可求得 O′A= ,所以可得

OA=2,SO′=3,SA 与平面 ABC 所成的角即∠SAO′,由 tan∠SAO′= = ,得∠SAO′=60°.

同理可得当球心在三棱锥外部时,SA 与平面 ABC 所成角为 30°.

2.在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM

的最小值为

.

解题关键:作 CH⊥AB 于 H,利用 PC⊥平面 ABC,得 PH⊥AB,PH 为 PM 的最小值.

解析: 如图,作 CH⊥AB 于 H,连接 PH,

因为 PC⊥平面 ABC, 所以 PH⊥AB,PH 为 PM 的最小值.

PH=

=

答案:2

=2 .

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