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过圆上一点求圆切线方法


浅谈过圆上一点求圆的切线的方法 近日在带领学生复习《圆的方程》一章时,遇到这样一个问题: 已知圆的方程为 x2+y2=25,求过点(3,4)的圆的切线方程 。本 人通过一种简易的方法通过口算即得出答案:3x+4y-25=0.求解圆 的切线方程的问题,是高考的考点,也是平时学习的重点,求圆的 切线过程比较复杂,运算麻烦,所以容易出错,是学生比较头疼的 一个问题,在求圆的切线问题中有两种情况,一种是求过圆外一点 求圆的切线,另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问 题,本人对第二种情况进行了归纳、推导,得出快速求解的方法, 此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义,故介绍如 下。 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,经过圆上一点(x0, y0) 的切线方程是什么?, 我们把圆的方程写成 (x-a) (x-a) + (y-b) (y-b)=r2 形式,把其中一个 x 换成 x0,一个 y 换成 y0,则得到 (x0-a) (x-a)+( y0-b) (y-b)=r2,然后整理成直线方程的 一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆 上点的切线问题提供了一个途径,学生可应用此法快速解决选择 题,填空题,或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法 的特点是速度快,不易错,容易上手。 下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导:先从简单情况入手, 当 a=0,b=0 时,那么圆的圆心在原点上,圆的方程为 x2+y2= r2, 设点(x0,y0)在圆上,如上图所示,那么经过这个点的直径与切 线互相垂直,两者斜率互为负倒数即 k 直径=y0/ x0, k 切线=—x 0/ y 0,又因为切线过点(x0,y0) ,根据点斜式直线 方程得: (y— y0)=—x 0/ y 0(x— x0) ,整理得方程 x0 x+ y0 y=x02+ y 02,由于点(x0,y0)在圆上且圆心在原点,所以 x02+ y 02=r2, 由此我们得到所求切线方程为 x0 x+ y0 y=r2,即我们所讨论的方 法的特殊形式(圆心在原点) 。在此基础上,我们又推想圆心不在 原点的圆的切线方程的推导方法,设圆的方程为(x-a)2+(y-b) 2=r2,求经过圆上一点(x0,y0)的切线方程,我们以(a,b)为 坐标原点建立新坐标系 x‘o‘y‘,新坐标系与原坐标系的坐标之 间关系为 x‘=x-a,y‘=y-b,则(x0,y0)在新坐标系中的坐标为 (x0‘,y0‘) ,x0‘=x0-a,y0‘=y0-b,在新坐标系中圆的方程 为 x‘2+y‘2= r2,根据第一种情况推导出结论:经过(x0‘,y0 ‘)点的切线方程为 x0‘x‘+y0‘y‘= r2,然后根据坐标之间的 关系转换到原坐标系方程为(x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)=r2。 以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂 直,通过垂直直线间的斜率关系 k1k2=-1 可以得到切线的斜率,然 后应用点斜式求解直线方程,第二种情况是在第一种情况的基础 上, 借助坐标变换得出的, 在新坐标系中构建出第一种情况的模型, 然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中,这种方法化简了推导过 程,解决了运算的困难,取得深入浅出的效果。 针对有些问题中出现的圆的一般方程,笔者建议先对圆的一般方 程进行配方,得出标准方程后再进行运算。 最后要说明的是,在介绍此方法时,不能只给学生结论而不给推 导过程,要让学生知其然知其所以然,带动学生思维发展,否则只 能会固化学生思维,使学生失去创造

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