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三角函数的概念与诱导公式知识点总结与习题(附有习题答案)可直接 打印使用


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三角函数的概念与诱导公式
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转 所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射 线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边 在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的角的终边 一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合__ _弧度。 (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) .
?

(3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ?

?
2

,k ?Z ;

? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ?
____________。

k? ? , k ? Z . 如 ? 的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? = 6 2

? 是第_____象限角 2 2 ? 5.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇形 AOB 的 2 2
4、 ? 与 ? 的终边关系:如若 ? 是第二象限角,则 周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 6 任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点 的距离是 r?

x2 ? y 2 ? 0 , 那 么 s i n ??

y r

,c ?o? s

x x y , tan ? ? , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , y r x

sec ? ?

r r ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。如 y x (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin? ? cos? 的值为__。 2m ? 3 (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ? ,则 m 的取值范围是_______ 4?m

(3)函数 y ? 7 单位圆 (1)若 ?

sin x | cos x | tan x 的值域是 ? ? | sin x | cos x | tan x |
y T

?
8

? ? ? 0 ,则 sin ? , cos ? , tan ? 的大小关系为

B P α O

S

(2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为

M

A

x

8.特殊角的三角函数值:

30°

45°

60°


1

90°

180°

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sin ?

cos?
tan ?

9.同角三角函数的关系与诱导公式 ⑴商的关系:① tan? =

y sin? = = sin? ? sec? x cos? y ② sin ? ? ? cos? ? tan? r x ③ cos? ? r
2

(2)平方关系: sin (3)倒数的关系: 例 1:已知 ?

? ? cos2 ? ? 1

1 π <x<0, sinx+cosx= 5 2

(1)求 sinx-cosx 的值 (2)求

1 cos x ? sin 2 x
2

例 2:若 cos ? +2sin ? =﹣ 5 ,则 tan ? =( A.



1 2
已知

B. 2

C. ﹣

1 2

D. ﹣2

tan? sin ? ? 3 cos? 2 =___; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =____ ? ?1 ,则 tan? ? 1 sin ? ? cos? ? 已知 f (cos x) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______
(4)诱导公试 sin -? - sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos? tan - tan? - tan? + tan? - tan? + tan? cot - cot? - cot? + cot? - cot? + cot? sin con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? tan + cot? - cot? + cot? - cot? cot + tan? - tan? + tan? - tan?

? ?
2

? -?
? +?
2? -? 2k ? + ?

?? ??

+ cos? + cos? - cos? - cos?

2 3? ?? 2 3? ?? 2

经典语句: “奇变偶不变,符号看象限”
2

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例 3: 化简 sin 600 的值是(

0



A. 0.5

B. ?0.5

C.

3 2

D. ?

3 2

例 4:化简

sin(540 0 ? x) 1 cos(360 0 ? x) ? ? sin(? x) tan(900 0 ? x) tan(450 0 ? x) tan(810 0 ? x)

cos

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ 4 6

提能拔高限时训练 三角函数的基本概念、同角三角函数关系式及诱导公式 一、选择题 1.已知角 2α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点( ?

3 1 , ),2α ∈[0,2π ),则 tanα 等于( 2 2
D. ?

)

A. ? 3 2.已知 f ( x) ? 3 sin(

B. 3

C.

3 3
)

3 3

?
2

x?

?
3

) ,则下列不等式中正确的是(

A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(1)<f(3) C.f(2)<f(3)<f(1) D.f(3)<f(2)<f(1) 3.下列不等式中正确的是( ) A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1 4.设α 、β 是第二象限角,且 sinα <sinβ ,则下列不等式能成立的是( ) A.cosα <cosβ B.tanα <tanβ C.cotα >cotβ D.secα <secβ 5.若θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( ) A. sin

?
2

B. cos

?
2

C. tan

?
2
)

D.cos2θ

6 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 象限. 7.sin930°的值是( ) A.

D.第四象限

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2
) B.( D.(

D. ?

1 2

8.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是(

? ? 5? , )∪(π , ) 4 4 2 ? 5? C.( , ) 4 4
A.(

? 5? 3? ,π )∪( , ) 4 2 4
) D.1,2 或-1,2

? ,π ) 4

9.函数 y=asinx+b 的最大值为 3,最小值为 1,则 a 与 b 的值分别为( A.1,2 B.-1,2 C.1,2 或-1,-2

3

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? 10.若 sinα +cosα =tanα (0<α < ),则α 所在的区间为( 2 ? A.(0, ) 6 ? ? C.( , ) 4 3
二、填空题 11.若 cos(x ?

) B.(

? ? , ) 6 4 ? ? D.( , ) 3 2

?
6

)??

5 ? ,则 sin( ? 2 x) 的值是____________. 13 6

12.已知 tanθ =2,则 sinθ cosθ 的值为__________. 13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为 1∶3,则内切圆面积与扇形面积之比为________. 14.下列四个判断:

? )时,sinα +cosα >1; 2 ? ②α ∈(0, )时,sinα <cosα ; 4 5? 3? ③α ∈( , )时,sinα >cosα ; 4 2 ? ④α ∈( ,π )时,若 sinα +cosα <0,则|cosα |>|sinα |. 2
①α ∈(0, 其中判断正确的序号是_________________.(将正确的序号都填上) 三、解答题 2 2 15.已知 sin θ (1+cotθ )+cos θ (1+tanθ )=2,θ ∈(0,2π ),求 tanθ 的值. 16.在△ABC 中, cos A ? ?

5 3 , cos B ? . 13 5

(1)求 sinC 的值; (2)设 BC=5,求△ABC 的面积.

4


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