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高中数学选修2-1单元检测题


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第二章圆锥曲线与方程单元检测题
编辑者:黄本强 一、 选择题
x2 y 2 x2 y 2 3 的离心率是 ,则双曲线 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的离心率是( 2 a 2 b2 a 2 b2

编辑时间:2015 年 12 月 5 日

1. 若椭圆 A.
5 4



B.

5 2

C.

3 2

D.

5 4

2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y = x - 1 与其交于 M、N 两点, MN 中 点的横坐标为 x2 y 2 =1 A. 3 4
2 ,则此双曲线的方程是( 3



x2 y 2 =1 B. 4 3

x2 y 2 =1 C. 5 2

x2 y 2 =1 D. 2 5
)

3. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 A.-2 4.设双曲线 B.2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2

C.-4

D.4

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则 2 a b
) B.5 C. 5 2 D. 5

双曲线的离心率为( A. 5 4

5.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点,椭圆的左焦点为,且直线与 此圆相切,则椭圆的离心率为( A.
2 2

) D. 3 -1

B.

3 2

C. 2 - 3

6. 已知△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0), △ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是( A. C. ) B. D.

x2 y 2 ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ? 1 (x>3) 9 16

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ? 1 (x>4) 16 9
??? ? ??? ?

7.已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的两个不同的点,F 为抛物线 C 的焦点,若 FA ? ?4 FB ,则 直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 ) B.± 3 2 C.± 3 4 D.± 4 3

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8. 若点 P 到 A(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:x-y=0 的距离 等于 5 2,则满足条件的点 P 的个数是 ( 8 A.1
2

) C.3 D.4

B.2

y2 9.已知双曲线 C:x - =1,过点(1,1)作直线 l,使直线 l 与双曲线 C 只有一个交点,满 4

足这个条件的直线 l 共有( A.1 条 10. 双曲线
x2 a 2 y2 b2

) B.2 条 C.3 条 D.4 条

= 1 的左焦点为,顶点为,是双曲线上任意一点,则分别以线段、为直径的

两圆位置关系为( A.相交 B.相切

) C.相离
ab

D.以上情况都有可能

11. 已知方程 ax2 + by2 = 是下列图象中的(

和 ax + by + c = 0 ,其中,ab≠0,a≠b,c>0,它们所表示的曲线可能



A 12、如果方程 2+ A.a>3 C.a>3 或 a<-2 二、填空题

B

C

D

x a

2

y

2

a+6

=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2

).

13. 已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15,则此椭 圆的标准方程为________. 14. 椭圆 + =1 的两个焦点为 F1 和 F2, 点 P 在椭圆上, 线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1| 12 3 是|PF2|的________倍.
?? ? ? ? y? BB C ⊥ 15. 平面上有三个点 A(-2, y), B ? 0, ? , C(x, y), 若A ? 2?

x2

y2

, 则动点 C 的轨迹方程是________.

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16.已知双曲线方程是 x -

2

y =1, 过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1, P2 两点, 并使 P(2,1) 2

2

为 P1P2 的中点,则此直线方程是________. 三、解答题 17、已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程

18、设 A,B 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, a 2 b2

焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M, N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 使→ OM 3

+→ ON=t→ OD,求 t 的值及点 D 的坐标.

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19、如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2, y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

20、知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F:x2+(y-1)2=16 上运动,F 为圆心,线段 AB 的垂直平 分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;若曲线 Q:x2-2ax+y2+a2=1 被轨迹 E 包围着,求实数 a 的最小值. (2)已知 M(-2,0),N(2,0),动点 G 在圆 F 内,且满足|MG|·|NG|=|OG|2(O 为坐标原点), ???? ? ??? ? 求 MG· NG 的取值范围.

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21、已知椭圆

x2 a
2

+

y2 b
2

= 1 (a > b > 0) 的离心率 e =

6 3

,过点和的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点,若直线 与椭圆交于两点.问:是否存在,使以为直径的圆过点?请说明理由

22、如图,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点,AQ 的垂直 平分线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.

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第二章圆锥曲线与方程单元检测题答案
一、选择题 1. B 2. D 3.D p=4. 4.D
b ? b x2 y 2 ? y ? x, 2 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y= x,由方程组 ? a 消去 y 得,x a a b 2 ? ? y ? x ?1
2
2

解析:由椭圆

x2 a
2

+

y2 b2

= 1( a > b > 0) 的离心率为,得.设,则,.又双曲线中,.

解析:因为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0),则 6 2

b c a 2 ? b2 ?b? ?b? -x+1=0 有唯一解,所以 Δ = ? ? -4=0, =2,e= = = 1 ? ? ? = 5. a a a ?a? ?a?

5. D 6. C 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,

所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是:以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲 线的右支, 方程为 7.D

x2 y 2 ? ? 1 (x>3). 9 16
解析:由题意知焦点 F(1,0),

直线 AB 的斜率必存在且不为 0, 故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 y2=4x 中化简得 ky2-4y-4k=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= 又由→ FA=-4→ FB 可得 y1=-4y2,③ 4 联立①②③式解得 k=± . 3 8.B 解析: 点 P 的轨迹方程为 y2=4x, 设 P(t2, 2t), 则点 P 到直线 x-y=0 的距离为 |t2-2t| , 2
4 ,① k

y1y2=-4.②

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|t -2t| 5 1 5 2 = 2,解得 4t -8t±5=0,∴ t=- 或 t= ,共 2 个.故选 B. 8 2 2 2 解析:数形结合可知过点(1,1),当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都

2

9.D

符合.除此之外还应考虑设直线方程 y=kx+1-k 与双曲线方程联立消元利用判别式为 0 可 5 求得 k= 也符合.所以有 4 条. 2 10.B 11、B 12、由于椭圆焦点在 x 轴上,
2 ?a >a+6, ?(a+2)(a-3)>0, ∴? 即? ?a+6>0, ?a>-6.

解析:如图所示

题 10 图

?a>3 或-6<a<-2.故选 D. 二、填空题 13. 解析 由已知 2a=8,2c=2 15,∴a=4,c= 15, y2 ∴b =a -c =16-15=1,∴椭圆标准方程为16+x2=1.
2 2 2

答案

y2 2 16+x =1

14.解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F1(-3,0),F2(3,0),设 P 点的坐标 x1-3 x2 为(x1, y1), 由线段 PF1 的中点的横坐标为 0, 知 2 =0, ∴x1=3.把 x1=3 代入椭圆方程12+ y2 3 3 3 3 =1,得 y1=± 2 ,即 P 点的坐标为(3,± 2 ),∴|PF2|=|y1|= 2 . 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=4 3, 3 7 3 ∴|PF1|=4 3-|PF2|=4 3- 2 = 2 , 即|PF1|=7|PF2|. 答案 7 15. y2=8x

??? ? ? y? y? ? 解析: AB = ? 0, ? -(-2,y)= ? 2, ? ? , 2? ? 2? ?

??? ? ? y? ? y? BC =(x,y)- ? 0, ? = ? x, ? . ? 2? ? 2?

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? y? ? y? ? ∵ AB ? BC ,∴ AB ? BC ? 0 ,∴ ? 2, ? ? · ? x, ? =0,即 y2=8x. 2? ? 2? ?

∴ 动点 C 的轨迹方程为 y2=8x. 16.4x-y-7=0 则由 x12 ? 解析:设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),

y12 y2 y ? y 2 ? x2 ? x1 ? 2 ? 4 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 ,得 k= 2 1 ? ? ? 4, 2 2 x2 ? x1 y2 ? y1 2

从而所求方程为 4x-y-7=0. 将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51=0, 因为 Δ >0,故此直线满足条件. 三、解答题 17. 解:如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B, 根据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 到两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2,且小于|C1C2|=6. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大,到 C1 的距离小), 这里 a=1,c=3,则 b =8, 设点 M 的坐标为(x,y),则其轨迹方程为 x2-
y2 =1(x≤-1). 8
2

18.解:(1)由题意知 a=2 3,∴ 一条渐近线为 y=

b
2 3

x,即 bx-2 3y=0,



|bc| x2 y 2 2 ? ?1. = 3 ,∴ b = 3 ,∴ 双曲线的方程为 b2+12 12 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0,

? x0 4 3 , ? ? 3 ? y0 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12,∴ ? ∴ 2 2 x y ? 0 ? 0 ? 1, ? 3 ? 12
∴ t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

? x0 ? 4 3, ? ? ? ? y0 ? 3,

19.解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).

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∵ 点 P(1,2)在抛物线上,∴ 2 =2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA=
y1 ? 2 y ?2 (x1≠1),kPB= 2 (x2≠1), x1 ? 1 x2 ? 1

2

∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴ kPA=-kPB. 由点 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 y2 1=4x1,①; 2= ② ∴ 4x2,

y1 ? 2 y ?2 ,∴ y1+2=-(y2+2).∴ y1+y2=-4. ?? 2 1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4
y1 ? y2 4 ? ? ?1 (x1≠x2). x1 ? x2 y1 ? y2

2 由①-②得,y2 1-y2=4(x1-x2),∴kAB=

20. 解:(1)由题意得|PA|=|PB|,∴ |PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2, ∴ 动点 P 的轨迹 E 是以 A、F 为焦点的椭圆. 设该椭圆的方程为

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0), a 2 b2
2 2 2

则 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,故 b =a -c =3, ∴ 动点 P 的轨迹 E 的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 3

曲线 Q:x2-2ax+y2+a2=1,即(x-a)2+y2=1,∴ 曲线 Q 是圆心为(a,0),半径为 1 的圆. 而轨迹 E 为焦点在 y 轴上的椭圆,其左、右顶点分别为(- 3,0),( 3,0). 若曲线 Q 被轨迹 E 包围着,则- 3+1≤a≤ 3-1, ∴ a 的最小值为- 3+1. (2)设 G(x,y),由|MG|·|NG|=|OG|2 得: ( x ? 2)2 ? y2 · ( x ? 2)2 ? y2 =x2+y2.
2 2 2 NG =(x+2,y)·(x-2,y)=x +y -4=2(y -1). 化简得 x2-y2=2,即 x2=y2+2,∴ MG·

???? ? ????

∵ 点 G 在圆 F:x2+(y-1)2=16 内,∴x2+(y-1)2<16, ∴ 0≤(y-1)2<16?-3<y<5?0≤y2<25,∴-2≤2(y2-1)<48, ∴ MG ? NG 的取值范围为[-2,48). 21.解: (1)直线的方程为. 依题意得解得所以椭圆方程为
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???? ? ??? ?

x2 + y2 = 1 . 3
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(2)假若存在这样的值,由得 (1 + 3k 2 )x2 + 12kx + 9 = 0 , 所以 D = (12k )2 - 36(1 + 3k 2 ) > 0 .① 设 C( x1,y1 ) 、 D( x2,y2 ) ,则②
y2 = ( kx1 + 2)( kx2 + 2) = k 2 x1 x2 + 2k( x1 + x2 ) + 4 . 而 y1 ×

当且仅当时,以为直径的圆过点,则 即 y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 ,

y1

x1 + 1 x2 + 1

×

y2

= - 1,

所以 ( k 2 + 1)x1 x2 + (2k + 1)( x1 + x2 ) + 5 = 0 .③ 将②式代入③式整理解得 k = 综上可知,存在 k =
7 7 .经验证, k = 使①成立. 6 6

7 ,使得以为直径的圆过点. 6

22、解 由题意知,点 M 在线段 CQ 上, 从而有|CQ|=|MQ|+|MC|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|, ∴|MA|+|MC|=|CQ|=5.∵A(1,0),C(-1,0), ∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆, 5 25 21 且 2a=5,故 a=2,c=1,b2=a2-c2= 4 -1= 4 . x2 y2 4x2 4y2 故点 M 的轨迹方程为25+21=1.即 25 + 21 =1. 4 4

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