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《概率论与数理统计》第三版


习题一:
1.1 写出下列随机试验的样本空间: (1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续 5 次都命中,至少要投 5 次以上,故 ?1 ? ?5,6,7,??; (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解: ?2 ? ?2,3,4,?11,12? ; (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷,所以

?3 ? ?0,1,2,? ?;
(4) 从编号为 1,2,3,4,5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产 品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:

?i, j ?1 ? i ? j ? 5 ?; ?4 ? ?
(5) 检查两件产品是否合格; 解:用 0 表示合格, 1 表示不合格,则 ?5 ? ??0,0?, ?0,1?, ?1,0?, ?1,1??; (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温 不高于 T2); 解:用 x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空 间,故:

-1-

?x, y?T1? x ? y ? T2 ?6 ? ?

?;

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解: ?7 ? ?x 0 ? x ?2?; (8) 在长为 l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解: ?8 ? ? ?x, y? x ? 0, y ? 0, x ? y ?l?; 1.2 (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; ABC ; (2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生; A( B ? C ) ; (3) A,B,C 中至少有一个发生; A ? B ? C ; (4) A,B,C 中恰有一个发生; AB C ? A BC ? A B C ; (5) A,B,C 中至少有两个发生; AB ? AC ? BC ; (6) A,B,C 中至多有一个发生; A B ? A C ? B C ; (7) A;B;C 中至多有两个发生; ABC (8) A,B,C 中恰有两个发生. A BC ? AB C ? ABC ; 注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。

1.3 设样本空间 ? ? ?x 0 ? x ?2?, 事件 A = ?x 0.5 ? x ? 1?, B ? ?x 0.8 ? x ?1.6? 具体写出下列各事件:
-2-

(1) AB ; (2) A ? B ; (3) A ? B ; (4) A ? B (1) AB ? ?x 0.8 ? x ? 1? ; (2) A ? B = ?x 0.5 ? x ?0.8?; (3)
A ? B = ?x 0 ? x ? 0.5 ? 0.8 ? x ? 2?;

(4) A ? B = ?x 0 ? x ? 0.5 ?1.6 ? x ? 2? 1.6 按从小到大次序排列 P( A), P( A ? B), P( AB), P( A) ? P( B) , 并说明理由. 解:由于 AB ? A, A ? ( A ? B), 故 P( AB) ? P( A) ? P( A ? B) ,而由加法公式, 有: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 1.7 解:(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:
P(W ? E ) ? P(W ) ? P( E ) ? P(WE ) ? 0.175

(2) 由于事件 W 可以分解为互斥事件 WE ,WE ,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼 睛对应事件 概率为: P(WE ) ? P(W ) ? P(WE ) ? 0.1 (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为:

P(W E ) ? 1 ? P(W ? E) ? 0.825.
1.8 解:(1) 由于 AB ? A, AB ? B ,故 P( AB) ? P( A), P( AB) ? P( B), 显然当 A ? B 时 P(AB) 取到最大值。 最大值是 0.6.

-3-

(2) 由于 P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) 。显然当 P( A ? B) ? 1 时 P(AB) 取 到最小值,最小值是 0.4.

1.9 解:因为 P(AB) = 0,故 P(ABC) = 0. A, B, C 至少有一个发生的概率为:
P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( BC) ? P( AC) ? P( ABC) ? 0.7

1.10 解(1)通过作图,可以知道, P( AB ) ? P( A ? B) ? P( B) ? 0.3 (2) P( AB) ? 1 ? P( AB) ? 1 ? (P( A) ? P( A ? B)) ? 0.6

(3) 由于P( AB) ? P( A B ) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? ( P( A) ? P( B) ? P( AB)) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) P( B) ? 1 ? P( A) ? 0.7
1.11 解:用 Ai 表示事件“杯中球的最大个数为 i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯 中,放法有 4 ? 4 ? 4 ? 64 种,每种放法等可能。 对事件 A1 :必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法 4×3×2 种,故
P ( A1 ) ? 3 8

(选排列:好比 3 个球在 4 个位置做排列)。

-4-

对事件 A3 :必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯 子,放入此 3 个球,选法有 4 种),故 P ( A3 ) ? 1.12 解:此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现 点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。故前后两次出现的点数 之和为 3 的概率为
1 3 1 9 。 P ( A2 ) ? 1 ? ? ? 16 8 16 16

1 。 18 1 1 , 。 12 9

同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4,5 的概率各是 (1) 1.13

3 解:从 10 个数中任取三个数,共有 C10 ? 120种取法,亦即基本事件总数为

120。 (1) 若要三个数中最小的一个是 5,先要保证取得 5,再从大于 5 的四个数里取
2 两个,取法有 C4 ? 6 种,故所求概率为

1 。 20

(2) 若要三个数中最大的一个是 5,先要保证取得 5,再从小于 5 的五个数里取 两个,取法有 C52 ? 10 种,故所求概率为 1.14 解:分别用 A1, A2 , A3 表示事件: (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

1 。 12

P( A1 ) ?

2 16 C82 28 14 C4 6 1 ? ? , P ( A ) ? ? ? , P( A3 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 。 2 2 2 33 C12 66 33 C12 66 11

1.15
-5-

解: P(( A ? B ) B) ?

P(( A ? B ) ? B) P(( AB) ? ( B B)) ? P( B) P( B) P( AB) P( A) ? P( AB ) ? ? 0.5 P( B) P( B)

由于 P( B B) ? 0 ,故 P(( A ? B ) B) ?

1.16 (1) P( A ? B); (2) P( A ? B); 解:(1) P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( AB) ? 1? P(B)P( A B) ? 1? 0.4 ? 0.5 ? 0.8; (2) P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( AB) ? 1 ? P(B)P( A B) ? 1? 0.4 ? 0.5 ? 0.6; 注意:因为 P( A B) ? 0.5 ,所以 P( A B) ? 1? P( A B) ? 0.5 。 1.17 解:用 Ai 表示事件“第 i 次取到的是正品”( i ? 1,2,3 ),则 Ai 表示事件“第 i 次 取到的是次品”( i ? 1,2,3 )。
P( A1 ) ? 15 3 3 14 21 ? , P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) ? ? ? 20 4 4 19 38

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为:
P( A3 A1 A2 ) ? 5 。 18

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为:
P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) ? 15 14 5 35 ? ? ? 20 19 18 228
1 4
-6-

(3)事件“第三次取到次品”的概率为:

此题要注意区分事件(1)、(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概 率。再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。用 Ai 表示事件“第 i 次取到的是正品”( i ? 1,2 ), 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为:

P( A2 A1) ? 1;而事件“第二次才取到次品”的概率为:
P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 ) ? 1 。区别是显然的。 2

1.18。 解:用 Ai (i ? 0,1,2) 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 i ”。用 B 表示 事件“从第二箱中取到的是次品”。则

P( A0 ) ?

2 1 1 2 C12 C12 ? C2 C2 66 24 1 ? , P ( A ) ? ? , P ( A ) ? ? , 1 2 2 2 2 C14 91 C14 91 C14 91

P ( B A0 ) ?

1 2 3 P ( B A1 ) ? , P ( B A2 ) ? , , 12 12 12

根据全概率公式,有:
P( B) ? P( A0 ) P( B A0 ) ? P( A1 ) P( B A1 ) ? P( A2 ) P( B A2 ) ? 3 28

1.19 解:设 Ai (i ? 1,2,3) 表示事件“所用小麦种子为 i 等种子”,

B 表示事件“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。

-7-

则 P( A1 ) ? 0.92, P( A2 ) ? 0.05, P( A3 ) ? 0.03, P( B A1 ) ? 0.5 , P(B A2 ) ? 0.15 ,

P( B A3 ) ? 0.1,根据全概率公式,有:
P(B) ? P( A1)P(B A1) ? P( A2 )P(B A2 ) ? P( A3 )P(B A3 ) ? 0.4705

1.20 解:用 B 表示色盲, A 表示男性,则 A 表示女性,由已知条件,显然有:
P ( A) ? 0.51, P ( A ) ? 0.49, P ( B A) ? 0.05, P ( B A ) ? 0.025, 因此:

根据贝叶斯公式,所求概率为:

P( A B) ?

P( A) P( B A) P( AB) P( AB) 102 ? ? ? P( B) P( AB) ? P( A B) P( A) P( B A) ? P( A ) P( B A ) 151

1.21 解:用 B 表示对试验呈阳性反应, A 表示癌症患者,则 A 表示非癌症患者,显 然有: P( A) ? 0.005, P( A ) ? 0.995, P( B A) ? 0.95, P( B A ) ? 0.01, 因此根据贝叶斯公式,所求概率为:
P( A) P( B A) P( AB) P( AB) 95 ? ? ? P( B) P( AB) ? P( A B) P( A) P( B A) ? P( A ) P( B A ) 294

P( A B) ?

1.22
-8-

(1) 求该批产品的合格率; (2) 从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此 件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少? 解:设, B1 ? {产品为甲厂生产 }, B2 ? {产品为乙厂生产 }, B3 ? {产品为丙厂生产 },
A ? {产品为合格品 } ,则

(1)根据全概率公式, P( A) ? P(B1)P( A B1) ? P(B2 )P( A B2 ) ? P(B3 )P( A B3 ) ? 0.94 , 该批产品的合格率为 0.94. (2)根据贝叶斯公式, P( B1 A) ? 同理可以求得 P( B2 A) ?
P( B1 ) P( A B1 ) 19 ? P( B1 ) P( A B1 ) ? P( B2 ) P( A B2 ) ? P( B3 ) P( A B3 ) 94

27 24 ,因此,从该 10 箱中任取一箱, 再从这 , P( B3 A) ? 94 47

箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分 别为: 1.23 解:记 A ={目标被击中},则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.7) ? 0.994 1.24 解:记 A4 ={四次独立试验,事件 A 至少发生一次}, A 4 ={四次独立试验,事件 A 一次也不发生}。而 P( A4 ) ? 0.5904 ,因此
P( A4 ) ? 1 ? P( A4 ) ? P( A A A A) ? P( A)4 ? 0.4096 。所以 P( A) ? 0.8, P( A1 ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2

19 27 24 , , 。 94 94 47

-9-

三次独立试验中, 事件 A 发生一次的概率为:
1 C3 P( A)(1 ? P( A))2 ? 3? 0.2 ? 0.64 ? 0.384 。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充: (10)加法 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式 当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) (11)减法 公式 当 B ? A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时,P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称
P ( AB) 为事件 A 发生 P ( A) P ( AB) 。 P ( A)

(12)条件 概率

条件下,事件 B 发生的条件概率,记为 P( B / A) ?

(16)贝叶 斯公式

P( Bi / A) ?

P( Bi ) P( A / Bi )

? P( B ) P( A / B )
j ?1 j j

n

,i=1,2,…n。

此公式即为贝叶斯公式。

- 10 -

第二章 随机变量
2.1

X P

2 1/36

3 1/18
?

4 1/12

5 1/9

6 5/36
?

7 1/6

8 5/36

9 1/9

10 1/12

11 1/18

12 1/36

2.2 解:根据

? P( X ? k ) ? 1 ,得 ? ae?k ? 1 ,即
k ?0 k ?0

ae?1 ? 1。 1 ? e ?1



a ? e ?1

2.3 解:用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7) 用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

C

0 2

0.70 0.32 ? C 20.400.62 ? C 20.710.31 ? C 20.410.61 ? C 20.7 20.30 ? C 20.420.60 ? 0.3124

0

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

C

1 2

0.710.31 ? C 20.400.62 ? C 20.7 20.30 ? C 20.400.62 ? C 20.7 20.30 ? C 20.410.61 ? 0.5628

0

2

0

2

1

2.4 解:(1)P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1 2 3 2 ? ? ? 15 15 15 5

(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=

1 2 1 ? ? 15 15 5

2.5 解:(1)P{X=2,4,6,…}=

1 1 1 ? ? ? 2 2 2 4 26

1 1 k [1 ? ( ) ] 1 1 4 4 = lim ? 2k k ?? 1 2 3 1? 4
1 1 1 ? ? 2 4 4

(2)P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}= 1 ?

2.6 解:设 Ai 表示第 i 次取出的是次品,X 的所有可能取值为 0,1,2

- 11 -

P{X ? 0} ? P{A1 A2 A3 A4} ? P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 ) =
18 17 16 15 12 ? ? ? ? 20 19 18 17 19

P{ X ? 1} ? P{ A1 A2 A3 A4 } ? P{ A1 A2 A3 A4 } ? P{ A1 A2 A3 A4 } ? P{A1 A2 A3 A4 } ? 2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95
12 32 3 ? ? 19 95 95

P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ?

2.6 解:(1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数,则 X~B(4,0.4)

P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? C 40.430.61 ? C 40.440.60 ? 0.1792
(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数,则 Y~B(5,0.4)
P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? C 50.430.62 ? C 50.440.61 ? C 50.450.60 ? 0.31744
3 4 5

3

4

2.7 (1)X~P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.50 ?1.5 ?1.5 P{ X ? 0} ? e =e 0!
(2)X~P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

20 ?2 21 ?2 P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ? e ? e ? 1 ? 3e?2 0! 1!
,0.01) 。 2.8 解:设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X,则 X ~ B(180
依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99,即 P( X ? m) ? 0.99 ,也即

P( X ? m ? 1) ? 0.01
因为 n=180 较大,p=0.01 较小,所以 X 近似服从参数为 ? ? 180 ? 0.01 ? 1.8 的泊松分布。 查泊松分布表,得,当 m+1=7 时上式成立,得 m=6。 故应至少配备 6 名设备维修人员。
- 12 -

2.9 解:一个元件使用 1500 小时失效的概率为

P(1000 ? X ? 1500 ) ? ?

1000 1000 dx ? ? 2 1000 x x
1500

1500

?
1000

1 3

设 5 个元件使用 1500 小时失效的元件数为 Y,则 Y ~ B (5, ) 。所求的概率为

1 3

1 2 80 P(Y ? 2) ? C52 ( ) 2 ? ( ) 3 ? 5 ? 0.329 3 3 3

2.10(1)假设该地区每天的用电量仅有 80 万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为:

P{0.8 ? X ? 1} ? ? 12 x(1 ? x)2dx ? (6 x 2 ? 8x3 ? 3x 4 )| ? 0.0272
0.8 0.8

1

1

(2)假设该地区每天的用电量仅有 90 万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为:

P{0.9 ? X ? 1} ? ? 12 x(1 ? x)2dx ? (6 x 2 ? 8x3 ? 3x 4 )| ? 0.0037
0.9 0.9

1

1

2.11 解:要使方程

x

2

? 2 Kx ? 2 K ? 3 ? 0 有实根则使 ? ? (2K ) ? 4(2 K ? 3) ? 0

2

解得 K 的取值范围为 [??,?1] ? [4,??] ,又随机变量 K~U(-2,4)则有实根的概率为

p?

[?1 ? (?2) ? 4 ? 3] 1 ? 4 ? (?2) 3
1 ) 200
100 1 1 1 ? x 100 ? 1 ? 200 e dx ? e 200 | ? 1 ? e 2 0 200

2.12 解:X~P(λ)= P(

(1) P{ X ? 100} ?

?

0

(2) P{ X ? 300} ?

1 1 3 ? x ? ? 1 ? 200 200 e dx ? e ? e |300 2 ?300 200 ?

(3) P{100 ? X ? 300} ?

?

300

100

1 1 1 3 ? x 300 ? ? 1 ? 200 e dx ? e 200 | ? e 2 ? e 2 100 200

- 13 -

P{X ? 100,100 ? X ? 300} ? P{ X ? 100}P{100 ? X ? 300} ? (1 ? e 2 )(e 2 ? e 2 )
2.13 解:设每人每次打电话的时间为 X,X~E(0.5),则一个人打电话超过 10 分钟的概率为

?

1

?

1

?

3

P( X ? 10) ? ? 0.5e ?0.5 x dx ? ?e ?0.5 x
10

??

?? 10

? e ?5

又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y,则 Y ~ B(282 , e ?5 ) 。

因为 n=282 较大,p 较小,所以 Y 近似服从参数为 ? ? 282? e 所求的概率为

?5

? 1.9 的泊松分布。

P(Y ? 2) ? 1 ? P(Y ? 0) ? P(Y ? 1)

? 1 ? e ?1.9 ? 1.9e ?1.9 ? 1 ? 2.9e ?1.9 ? 0.56625
2.14 解:(1) P( X ? 105 ) ? ?(

105 ? 110 ) ? ?(?0.42) ? 1 ? ?(0.42) 12

? 1 ? 0.6628 ? 0.3372
(2) P(100 ? X ? 120 ) ? ?(

120 ? 110 100 ? 110 ) ? ?( ) 12 12

? ?(0.83) ? ?(?0.83) ? 2?(0.83) ? 1 ? 2 ? 0.7967? 1 ? 0.5934
2.15 解:设车门的最低高度应为 a 厘米,X~N(170,62)

P{ X ? a} ? 1 ? P{ X ? a} ? 0.01 P{ X ? a} ? ? (
a ? 170 ? 2.33 6
a ? 184 厘米
2.19 解:X 的可能取值为 1,2,3。
2 C4 6 ? ? 0.6 ; 3 C5 10

a ? 170 ) ? 0.99 6

因为 P( X ? 1) ?

P( X ? 3) ?

1 1 ? ? 0.1; 3 C5 10
- 14 -

P( X ? 2) ? 1 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.3

所以 X 的分布律为 X P X 的分布函数为 1 0.6 2 0.3 3 0.1

x ?1 ? 0 ? 0.6 1 ? x ? 2 ? F ( x) ? ? ?0.9 2 ? x ? 3 ? ? 1 x?3
2.20(1)

P{Y ? 0} ? P{ X ? } ? 0.2 2 2 P{Y ? ? } ? P{ X ? 0} ? P{ X ? ? } ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7 3? P{Y ? 4? 2 } ? P{ X ? } ? 0.1 2

?

Y

0

?2
0.7

4? 0.1

2

qi
(2)

0.2

P{Y ? ?1} ? P{ X ? 0} ? P{ X ? ? } ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7 ? 3? P{Y ? 1} ? P{ X ? } ? P{ X ? } ? 0.2 ? 0.1 ? 0.3 2 2
Y -1 0.7 1 0.3

qi
2.21(1)

- 15 -

当 ?1 ? x ? 1 时, F ( x) ? P{X ? ?1} ? 0.3

当 1 ? x ? 2 时, F ( x) ? P{X ? ?1} ? P{X ? 1} ? 0.3 ? P{ X ? 1} ? 0.8

P{X ? 1} ? 0.8 ? 0.3 ? 0.5
当 x ? 2 时, F ( x) ? P{X ? ?1} ? P{X ? 1} ? P{X ? 2} ? 0.8 ? P{ X ? 2} ? 1

P{X ? 2} ? 1 ? 0.8 ? 0.2
X P (2) -1 0.3 1 0.5 2 0.2

P{Y ? 1} ? P{X ? ?1} ? P{X ? 1} ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8
P{Y ? 2} ? P{ X ? 2} ? 0.2
Y 1 0.8 2 0.2

qi

2.22

1 ? x2 X ~ N (0,1) ? f X ( x) ? e 2?

2

(1)设 FY(y), fY ( y) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数,则
y ?1 y ?1 1 ? x2 FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{2 X ? 1 ? y} ? P{X ? }? ? 2 e dx ?? 2 2?
2

1 ? 对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得 fY ( y ) ? e 2?

(

y ?1 2 ) 2 2

( y ?1) ? y ?1 1 ( )? ? e 8 2 2 2?

2

y ? (??, ?)

(2)设 FY(y), fY ( y) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数,则
- 16 -

当 y ? 0 时, FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{e? X ? y} ? P{?} ? 0 当 y ? 0 时,有

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{e

?X

? y} ? P{? X ? ln y} ? P{ X ? ? ln y} ? ?

?

? ln y

1 ? x2 e dx 2?

2

对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得
(ln y ) ? 1 ? ( ? ln y ) ? 1 e 2 (? ln y )? ? e 2 ?? fY ( y ) ? ? 2? 2? y ? ?0
2 2

y>0 y?0

(3)设 FY(y), fY ( y) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数,则 当 y ? 0 时, FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X 2 ? y} ? P{?} ? 0

当 y>0 时, FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X ? y} ? P{? y ? X ?
2

y} ? ?

y

? y

1 ? x2 e dx 2?

2

对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得

? 1 ?( e ? fY ( y ) ? ? 2? ? ?0

y )2 2

1 ? ( y )? ? e 2?

( ? y )2 2

(ln y ) ? 1 ? (? y ) ? e 2 2? y

2

y>0 y?0

2.23 ∵ X

?1 ? U(0,? )∴ f X ( x) ? ? ? ? ?0

0? x ?? 其它

(1)

当2ln? ? y ? ?时

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{2ln X ? y} ? P{ln X 2 ? y} ? P{?} ? 0
- 17 -

当? ? ? y ? 2ln?时
y

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{2ln X ? y} ? P{ln X ? y} ? P{X ? e } ? P{X ? e } ? ?
2 2 y y

e2

1

0

?

dx

y y ?1 2 1 2 e ? (e )? ? 对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得到 fY ( y) ? ?? 2? ?0 ?

? ? ?y ? 2ln ? 2ln ??y ? ?

(2)

当y ? 1或 y ? -1时 , FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{cos X ? y} ? P{?} ? 0

当?1 ? y ? 1时 , FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{cos X ? y} ? P{ X ? arccos y} ? ?
对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得到

?

1

arccos y

?

dx

1 ? 1 ?? ? (arccos y )? ? fY ( y ) ? ? ? 1? y2 ?0 ?

?1 ? y ? 1 其它

(3) 当y ? 1或 y ? 0时 FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{sin X ? y} ? P{?} ? 0

当0 ? y ? 1时 ,
FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{sin X ? y} ? P{0 ? X ? arcsin y} ? P{? ? arcsin y ? X ? ? } ??
arcsin y

1

0

?

dx ? ?

?

1

? ? arcsin y

?

dx

对 FY ( y) 求关于 y 的导数,得到

1 2 ?1 ? ? arcsin y? ? ? (? ? arcsin y )? ? fY ( y ) ? ? ? 1? y2 ?0 ?

0 ? y ?1 其它

- 18 -

第三章 随机向量

3.1

P{1<X ? 2,3<Y ? 5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)=

3 128

3.2 Y X 2 0 1 2

cc c
3 4 5

2

2 2

=

3 5

3

cc c
3 4 5

3

1 2

=

2 5

0

3.4(1)a=

1 9

(2) (3)

5 12

P{( X , Y ) ? D} ? ? dy ?

1? y 1 1 1 1 (6 ? x ? y )dx ? ? [(6 ? y ) x ? x 2 ]| dy 0 0 0 9 9 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 ? ? ( y 2 ? 6 y ? 5 )dy ? ( y 3 ? 3 y 2 ? 5 y )| ? ? ? 9 0 2 2 9 6 2 0 9 3 27 1 1? y

3.5 解:(1)

F ( x, y ) ? ?
(2)

y

0

?

x

0

y x 2e? (2u ?v ) dudv ? ? e ? v dv ? 2e ?2u du ? (?e ? v |0 )(?e ?2u |0 ) ? (1 ? e ? y )(1 ? e ?2 x ) 0 0

y

x

- 19 -

P (Y ? X ) ? ?
?

x

0

?

?

0

x 2e ? (2 x ? y ) dxdy ? ? 2e ?2 x dx ? e ? v dy ? ? 2e ?2 x (?e ? y |0 )dx 0 0 0 ?

?

x

?

2 ?3 x ? 2 1 ? ? 2e ?2 x (1 ? e ? x )dx ? ? (2e ?2 x ? 2e ?3 x )dx ? ( ?e ?2 x |? e |0 ? 1 ? ? 0 )? 0 0 3 3 3

3.6 解: P( x 2 ? y 2 ? a 2 ) ?

2? a 1 r ? d ? dr 2 2 2 ?? ? ? 0 0 ? (1 ? x ? y ) ? (1 ? r 2 )2 x2 ? y 2 ? a2

? ? d? ?
0

2?

a

0

a 1 1 1 1 1 a2 2 d (1 ? r ) ? ? ? 2? ? | ? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? a2 ? (1 ? r 2 )2 ? 2 (1 ? r 2 ) 0

3.7 参见课本后面 P227 的答案
1

3.8 f X ( x) ?

?

0

f ( x, y )dy ? ?
2

3 2 3 y3 1 x xy dy ? x | ? 0 2 2 3 0 2
1

f y ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ?
0

2

0

3 2 3 1 2 xy dx ? y 2 x 2| ? 3 y 2 2 2 2 0

?x 0 ? x ? 2 ? , f X ( x) ? ? 2 ? ?0, 其它

?3 y 2 0 ? y ? 1 fY ( y) ? ? ?0 其它

3.9 解:X 的边缘概率密度函数 f X ( x) 为: ①当 x ? 1或x ? 0 时, f ( x, y) ? 0 ,
1 1 1 1 1 fY ( y ) ? ? 4.8 y (2 ? x)dx ? 4.8 y[2 x ? x 2 ]| ? 4.8 y[1 ? 2 y ? y 2 ] y y 2 2 2

f X ( x) ? 0 y ? 1或y ? 0 0 ? y ?1
f X ( x) ? ? 4.8 y (2 ? x)dy ? 2.4 y 2 (2 ? x)| ? 2.4 x 2 (2 ? x)
0 0 x x

②当 0 ? x ? 1 时, f X ( x) ?

?

x

0

4.8 y(2 ? x)dy ? 2.4 y 2 (2 ? x)| ? 2.4 x 2 (2 ? x)
0

x

- 20 -

Y 的边缘概率密度函数 fY ( y) 为: ① 当 y ? 1或y ? 0 时, f ( x, y) ? 0 , fY ( y) ? 0 ② 当 0 ? y ? 1 时, fY ( y ) ?

? 4.8 y(2 ? x)dx ? 4.8 y[2 x ? 2 x ]|
y

1

1

2 1 y

1 1 ? 4.8 y[1 ? 2 y ? y 2 ] 2 2

? 2.4 y(3 ? 4 y ? y 2 )
3.10 (1)参见课本后面 P227 的答案
x ? ? ?x2 6dy (2) f X ( x) ? ? ? ?0

0 ? x ? 1 ?6( x 1-x) 0 ? x ? 1 =? 其它 其它 ?0

? y 6dx 0 ? y ? 1 ? ? ?6( y -y) 0 ? y ? 1 fY ( y ) ? ? ?y =? 其它 其它 ? ? ?0 ?0
3.11 参见课本后面 P228 的答案 3.12 参见课本后面 P228 的答案 3.13(1)

0 ? x ?1 ? 2 2 0 ? x ?1 ? 2 2 xy ?2 x ? x ? ?0 ( x ? )dy ?? f X ( x) ? ? 3 3 ? ? 其它 其它 ?0 ?0 0 ? y ? 2 ?1 y ? 1 2 xy ? ? ??0 ( x ? )dx = ?3 6 fY ( y ) ? ? 3 ? ? 其它 ?0 ?0
对于 0 ? y ? 2 时, fY ( y) ? 0 ,

0? y?2 其它

? 2 xy ?x ? 3 f ( x, y ) ? 所以 f X |Y ( x | y ) ? ?? 1 y fY ( y ) ? 3 ? 6 ?0 ?

0 ? x ?1

其它

? 6x 2 + 2 xy ? 2? y 0 ? x ?1 ? ? ?? ? ? 其它 ? ?0
- 21 -

对于 0 ? x ? 1 时, f X ( x) ? 0

? 2 xy 0 ? y ? 2 ? 3x ? y ? 6x ? 2 ? x ? 3 ? f ( x, y ) ? ? 所以 fY | X ( y | x) ? ? ? 2 2x ?? 2 x ? f X ( x) ? ? 3 ? ?0 其它 ? ? ?0

0? y?2

其它

1 1 ?y ?y 1 1 3? 1 3? 1 1 1 7 2 2 P{Y ? | X ? } ? ? 2 fY | X ( y | )dy ? ? 2 dy ? ? 2 dy ? 0 0 0 1 2 2 2 5 40 6? ? 2 2
3.14 X 1 3 Y 的边缘分布 Y 0 0.15 0.05 0.2 2 0.25 0.18 0.43 5 0.35 0.02 0.37 X 的边缘分布 0.75 0.25 1

由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故 P{

X ? x ;Y ? y } ? P{ X ? x }P{Y ? y }
i i i i

所以 X 与 Y 不独立 3.15 X 1 Y 1 2 3 X 的边缘分布

1 6
1 3

1 9
a

1 18
b

1 3 1 +a+b 3

2

Y 的边缘分布

1 2
i i

a+

1 9
i

b+

1 18
i

1

由独立的条件 P{

X ? x ;Y ? y } ? P{ X ? x }P{Y ? y }则
- 22 -

P{X ? 2; Y ? 2} ? P{X ? 2}P{Y ? 2} P{X ? 2; Y ? 3} ? P{X ? 2}P{Y ? 3}

?P{X ? i} ? 1
可以列出方程

1 1 ( ? a ? b)( ? a ) ? a 3 9 1 1 ( ? b)( ? a ? b) ? b 18 3

1 1 ? ? a ?b ?1 3 3

a ? 0, b ? 0
解得 a ?

2 1 ,b ? 9 9

?x ? 3.16 解(1)在 3.8 中 f X ( x) ? ? 2 ? ?0
当 0 ? x ? 2,

0? x?2 其它

?3 y 2 0 ? y ? 1 fY ( y) ? ? ?0 其它

0 ? y ? 1 时, f X ( x )fY y ( ? )

3 2 xy ? f ( , x y ) 2

当 x ? 2 或 x ? 0 时,当 y ? 1 或 y ? 0 时, f X ( x) fY ( y) ? 0 ? f ( x, y) 所以, X 与 Y 之间相互独立。

(2)在 3.9 中, f X ( x) ? ?

?2.4 x2 (2 ? x) 0 ? x ? 1 其它 ?0
0 ? y ?1 其它

?2.4 y (3 ? 4 y ? y 2 ) fY ( y ) ? ? ?0
当 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 时,

- 23 -

f X ( x) fY ( y) =2.4x2 (2 ? x)2.4 y(3 ? 4 y ? y 2 ) ? 5.76 x2 (2 ? x) y(3 ? 4 y ? y 2 )
? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 之间不相互独立。
3.17 解:

f f f

x

( x) ? ?

??

??

f ( x, y )dy ? ?

??

0

xe

?x

1

(1? y)
1

2

dy ? xe

?x

y

( y ) ? ? f ( x, y )dy ? ?
??

??

??

0

xe

?x

(1? y)
? f ( x, y )

2

dx ?

1

(1? y)

2

x

( x) ? f ( y ) ? xe
y

?x

1

(1? y)

2

故 X 与 Y 相互独立 3.18 参见课本后面 P228 的答案

第四章 数字特征
4.1 解: E ( X ) ?

?x p
i i

i

?1

E(Y ) ? ? yi pi ? 0.9
i

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数,又∵两台机床的总的产量相同 ∴乙机床生产的零件的质量较好。 4.2 解:X 的所有可能取值为:3,4,5

P{ X ? 3} ?

1

C

3 5

? 0.1

P{ X ? 4} ? C C

2 3 3 5

? 0.3

- 24 -

P{ X ? 5} ? C C

2 4 3 5

? 0.6

E( X ) ? ? xi pi ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 0.3 ? 5 ? 0.6 ? 4.5
i

4.3 参见课本 230 页参考答案 4.4 解:

P{X ? n} ? p(1 ? p)n?1, n ? 1, 2,3......
E ( X ) ? ? xi pi ? ? np(1 ? p)n?1 ?
i n ?1 ?

p 1 ? 2 [1 ? (1 ? p)] p

4.6 参考课本 230 页参考答案 4.7 解:设途中遇到红灯次数为 X,则 X ~ B(3,0.4)

E( X ) ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2
4.8 解
??

E( X ) ?

??

? f ( x) xdx
x dx ? ? 1 ( x ? 3000) x d x ? ? 1500 1500
3000 2 2 0 1500 2

1500

?

? 500+1000 ? 1500
4.9 参见课本后面 230 页参考答案 4.10 参见课本后面 231 页参考答案 4.11 解:设均值为 ? ,方差为

?

2

,则 X~N( ? , ? 2 )根据题意有:

P( X ? 96) ? 1 ? P( X ? 96)

- 25 -

? 1 ? P(

X ??

?

?

96 ? 72

?

)

? 1 ? ?(t )
? 2 .3 %

?(t ) ? 0.997,解得 t=2 即 ? =12
所以成绩在 60 到 84 的概率为

P(60 ? X ? 84) ? P(

60 - 72 X - ? 84 - 72 ? ? ) 12 ? 12

? ?( 1 ) ?( - 1 )

? 2?( 1 )1
? 2? 0 . 8 4 1 -1 3
?0.6826
4.12 E( X 2 ) ? 0 ? 0.4 ? 12 ? 0.3 ? 22 ? 0.2 ? 32 ? 0.1 ? 2

E(5 X 2 ? 4) ? 4 ? 0.4 ? (5 ?12 ? 4) ? 0.3 ? (5 ? 22 ? 4) ? 0.2 ? (5 ? 32 ? 4) ? 0.1 ? 14
E (Y ) ? E (2 X ) ? ? 2 xe? x dx ? 2? xd (?e? x ) ? 2[? xe? x | ? ? e? x dx]
0 0 0 0 ? ? ? ?

4.13 解:

? 2(?e? x )| ? 2
0

?

? ? ? 1 1 E (Y ) ? E (e ?2 X ) ? ? e ?2 x e ? x dx ? ? e ?3 x dx ? ? e ?3 x | ? 0 0 0 3 3

4.14 解: V ?

4?R 3 3

? 1 ? 设球的直径为 X,则: f ( x) ? ? b ? a ? ?0

a ? x? b 其它

- 26 -

E (V ) ? E (

4? (

X 3 ) 2 ) ? E ( ? X 3 )= b ? x3 1 dx ? ? ? 1 ? 1 x 4 b ? ? (b ? a)(b2 ? a 2 ) ?a 6 b ? a 6 b ? a 4 |a 24 3 6

4.15 参看课本后面 231 页答案 4.16 解:

f

x

( x) ? ? f ( x, y)dy ? ? 12 y dy ? 4x
?? 0

??

x

2

3

f

y

( y) ? ? f ( x, y)dy ? ? 12 y dx ?12 y ?12 y
?? y
??

??

1

2

2

3

E( X ) ? ? E (Y ) ? ?

??

f f

x

( x) ? xdx ? ?

1

0

4 x dx ? 5
3

4

4 3 5
1 x

??

??

y

( x) ? ydy ? ? 12 y ?12 y dy ?
0

1

4

E ( XY ) ?

0? y ? x ?1

??

f ( x, y) xydxdy?

0? y ? x ?1

??12x y dxdy ??
5

3

0 0

?

12x y dydx ?

3

1 2

E( X ) ? ?
2

??

??

f ( x) ? x dx ? ?
2 2

1

0

4 x dx ? 3
4 5

2 2 5

E (Y ) ? ?
2

??

??

f ( y ) ? y dy ? ? 12 y ?12 y dy ?
0

1

E( X

2

?Y

2

) ? E ( X ) ? E (Y ) ?

2

2

16 15

4.17 解 ∵X 与 Y 相互独立, ∴
1 ? 2 1 ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? x 2 xdx ? ye5? y dy ? ( x 3| ) ? yd (?e5? y ) 0 5 3 0 5 ? ? ? 2 2 2 ? ? (? ye5? y | ? ? e5? y dy) ? ? [5 ? (?e5? y )| ] ? ? (5 ? 1) ? 4 5 5 5 3 3 3

4.18,4.19,4.20 参看课本后面 231,232 页答案

- 27 -

4.21 设 X 表示 10 颗骰子出现的点数之和, X i (i ? 1, 2, 则X ?

10) 表示第 i 颗骰子出现的点数,

?X
i ?1

10

i

,且 X1 , X 2 ,

X10 是
1 1 ? 2? ? 6 6 1 21 ? 6 6

独立同分布的,又 E ( X i ) ? 1?
10 10

? 6?

所以 E ( X ) ? E (

? X i ) ? ? E( X i ) ? 10 ?
i ?1 i ?1

21 ? 35 6

4.22 参看课本后面 232 页答案 4.23 E( X 2 ) ? 0 ? 0.4 ? 12 ? 0.3 ? 22 ? 0.2 ? 32 ? 0.1 ? 2

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 2 ?12 ? 1 E(Y 2 ) ? 0 ? 0.3 ? 12 ? 0.5 ? 22 ? 0.2 ? 32 ? 0 ? 1.3 D(Y ) ? E(Y 2 ) ? [ E(Y )]2 ? 1.3 ? 0.92 ? 0.49
4.24 E ( X ) ?
2

?

2

0

x2

4 2 4 1 1 1 1 1 11 14 xdx ? ? x 2 (? x ? 1)dx ? x 4| ? [? x 4 ? x 3 ]| ? 1 ? ? 0 2 2 4 4 16 16 3 3 3

D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ?

14 2 ?4? 3 3
?1 ? x ? 1 其它

? 1 1 ? xy dy ? 4.25 f X ( x) ? ? ??1 4 ? ?0

?1 ? x ? 1 ? 1 ? = ?2 ? 其它 ?0
1

Var ( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? ?

1 1 1 2 x dx ? [ ? xdx]2 ?1 2 ?1 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? x 3| ? ? x 2 | ? 2 3 ?1 2 2 ?1 3

?1 ? y ? 1 ? 1 ? 1 1 ? xy dx ? ? ??1 = ?2 fY ( y ) ? ? 4 ? ? 其它 ?0 ?0

?1 ? y ? 1 其它

- 28 -

Var (Y ) ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]2 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? y 3| ? ? y 2 | ? 2 3 ?1 2 2 ?1 3

1 1 1 2 y dy ? [ ? ydy ]2 ?1 2 ?1 2 1

4.26 因为 X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有 Var(X)=4

Var(Y)=

4 3

故:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+

4 16 = 3 3 4 ? 28 3

Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4 ? 4 ? 9 ? 4.27 参看课本后面 232 页答案 4.28 E ( Z ) ? E (

X1 ? X 2 ? n
?

? Xn

) ? E(

X1 X ) ? E( 2 ) ? n n

? E(

Xn ) n

?

1 1 E ( X1 ) ? E ( X 2 ) ? n n X1 ? X 2 ? n

1 1 E( X n ) ? ? ? n ? ? n n ) ? D( X1 X ) ? D( 2 ) ? n n ? D( Xn ) n

D( Z ) ? D(

? Xn

?

1 1 E ( X1 ) ? 2 E ( X 2 ) ? 2 n n

?

1 1 2 ?2 E ( X ) ? ? ? n ? n n2 n2 n

后面 4 题不作详解

第五章 极限理
5.3 解:用 X i 表示每包大米的重量,,则 E( X i ) ? ? ? 10 , D( X i ) ? ? 2 ? 0.1
100

?X
i ?1

i

~ N (n? , n? 2 ) ? N (100 ?10,100 ? 0.1)

Z?

?X
i ?1

1 0 0

? i ? n
2

n?

?

?

1 0 0

? i 1

Xi ? 1 0 0 ? 1 0 ? X? 1000 i ?i 1 ? ~ N ( 0 , 1) 100 ? 0.1 10
- 29 -

1 0 0

990 ? 1000 ? P(990 ? ? X i ? 1010) ? P( ? i ?1 10 i ?1
100

100

X i ? 1000 10

?

1010 ? 1000 ) 10

1010 ? 1000 1010 ? 1000 ? ?( ) ? ?( ? ) ? ?( 10) ? ?(? 10) ? 2?( 10) ?1 ? 0.9986 10 10
5.4 解:因为 Vi 服从区间[0,10]上的均匀分布,

E (Vi ) ?

0 ? 10 ?5 2
20 20

D(Vi ) ?

2 10 100 ? 12 12

?Vi ~ N[? E(Vi ), ? D(Vi )] ? N (20 ? 5, 20 ?
i ?1 i ?1 i ?1

20

100 ) 12

Z?

?V ? ? E (V ) ?V ? 20 ? 5 ?V ? 100
i ?1 i i ?1 i

20

20

20

20

? D(V )
i ?1 i

20

?

i ?1

i

100 20 ? 12

?

i ?1

i

10 15 3

~ N (0,1)

P(V ? 105) ? 1 ? P(V ? 105) ? 1 ? P(?Vi ? 105) ? 1 ? P( i ?1 10 15 i ?1 3
105 ? 100 ? 1 ? ?( ) ? 1 ? ?(0.387) ? 0.348 10 15 3

20

?V ? 100
i

20

?

105 ? 100 ) 10 15 3

5.5 解:方法 1:用 X i 表示每个部件的情况,则 X i ? ?

?1, 正常工作 X i ~ B(1,0.9) , ?0, 损坏

E ( X i ) ? p ? 0.9 , D( X i ) ? p ? (1 ? p) ? 0.9 ? 0.1

?X
i ?1

100

i

~ N [np, np ? (1 ? p)] ?N (100 ? 0.9,100 ? 0.9 ? 0.1)

- 30 -

Z?

? X i ? np
i ?1

100

np ? (1 ? p)

?

? X i ? 100 ? 0.9
i ?1

100

100 ? 0.9 ? 0.1

?

?X
i ?1

100

i

? 90 ~ N (0,1)

3

P(? X i ? 85) ? 1 ? P(? X i ? 85) ? 1 ? P(
i ?1 i ?1

100

100

?X
i ?1

100

i

? 90 ?

3

85 ? 90 ) 3

5 5 ? 1 ? ?(? ) ? ? ( ) ? 0.9525 3 3
方法 2:用 X 表示 100 个部件中正常工作的部件数,则

X ~ B(100, 0.9) E( X ) ? np ? 100 ? 0.9 ? 90 D( X ) ? np(1 ? p) ? 100 ? 0.9 ? 0.1 ? 9 X ~ N[np, np(1 ? p)] ? N (90,9) Z ?

X ? np X ? 90 ? ~ N (0,1) 3 np(1 ? p

Z?

X ? np X ? 90 ? ~ N (0,1) 3 np(1 ? p
X ? 90 85 ? 90 ? ) 3 3

P ( X ? 85) ? 1 ? P ( X ? 85) ? 1 ? P ( 5 5 ? 1 ? ? (? ) ? ? ( ) ? 0.9525 3 3
5.6 略

第六章样本与统计
6.1 6.3.1 证明: 由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+b 可得,对等式两边求和再除以 n 有

- 31 -

?Y ? (a X
i ?1 i

n

n

n
由于

?

i ?1

i

? b)
错误!未找到引用源。

n

Y?

1 n ? n i ?1 Y i

X?

1 n ? n i ?1 X i

错误!未找到引用源。

所以由错误!未找到引用源。 可得

Y =

a n nb ? = aX ? b ? X i n i ?1 n

6.3.2 因为

? (Y i ?Y ) ? ?Y i
i ?1 i ?1
n 2

n

2

n

2

? nY ? ? (a X i ?b) ? n
2 2 i ?1

n

?a X i ?b?

2

? ?a
i ?1

X X

2 i

? 2nabX ? nb ? (na

2

2

X

2

? 2nabX ? nb )

2

? ?a
i ?1

n

2

2 i

? na

2

X

2

?a

2

? ?X
n i ?1

2 i

?X

2

?

?a ? ( X ? 2 X i X ? X
2 2 i ?1 i

n

2

)

?a

2

?( X i? X )
i ?1
2

n

2

? (n ? 1) a

S

2 X

? ( n ? 1) S Y
所以有 6.2 证明:

2

S

2 Y

?a

2

S

2 X

- 32 -

E( X ) ?

n 1 n? E (? X i ) ? ?? n i ?1 n

Var ( X ) ?

1

n

2

Var (? X i ) ?
i ?1

n

n?

2

n

2

??

2

n

6.3(1)

S

2

?

?(X i? X )
i ?1

n

2

n ?1

?

2 1 n 2 (X i ?2 X i X ? X ) ? n ? 1 i ?1

?

n n 2 1 2 (? X i ? 2X ? X i ? nX ) n ? 1 i ?1 i ?1

?

n 2 1 2 (? X i ? 2X ? nX ? nX ) n ? 1 i ?1

?

n 2 1 2 (? X i ? nX ) n ? 1 i ?1

(2)由于 Var (
2

X i ) ? E ( X i ) ? (E ( X
2

i))

2

所以有 E (

X i ) ? (E ( X
2

i))

2

? Var( X i) ? ? ??
2

2

E ( X ) ?(EX ) ? Var( X ) ? ? ? ? n
2 2

2

E (? ( X
i ?1

n

) ? n(? ? ? ) ? n(? ? ? ) ? (n ? 1)? i? X ) n
2 2 2 2 2

2

两边同时除以(n-1)可得 E ( i ?1

?( X i? X )
n ?1

n

2

) ??

2



E (S ) ? ?
2

2

6.4 同例 6.3.3 可知

P{| X - ? |? 0.3}? 2?(

0.3 n

?

) - 1 ? 2?(0.3 n ) - 1 ? 0.95
- 33 -

得 ?(0.3 n ) ? 0.975查表可知 0.3 n =1.96 又 n ? Z 根据题意可知 n=43 6.5 解(1)记这 25 个电阻的电阻值分别为错误!未找到引用源。,它们来自均值为错误!未 找到引用源。=200 欧姆,标准差为错误!未找到引用源。=10 欧姆的正态分布的样本则根 据题意有:

199? 200 X - ? 202? 200 P{199 ? X ? 202 } ? P{ ? ? } 10 25 ? n 10 25 X-? ? 1} ? n

? P{?0.5 ?

? ?(1) ? ?(?0.5)

? 0.5328
(2)根据题意有

P{? Xi ? 5100 } ? P{25X ? 5100 } ? P{
i ?1

25

X-? ? 2} ? ? (2) ? 0.9772 ? n

6.6 解:(1)记一个月(30 天)中每天的停机时间分别为错误!未找到引用源。,它们是 来自均值为错误!未找到引用源。=4 小时,标准差为错误!未找到引用源。=0.8 小时的总 体的样本。根据题意有:

P{1 ? X ? 5} ? P{

1? 4 X-? 5?4 ? ? } 0.8 30 ? n 0.8 30 X-? ? 6.846 } ? n

? P{?20.54 ?

? ?(6.846) ? ?(?20.54)

?1
(注: ? (u ) 当 u ? 6 时, ? (u ) 的值趋近于 1,相反当 u ? ?6 时,其值趋近于 0) (2)根据题意有:
- 34 -

P{? Xi ? 115 } ? P{30X ? 115 } ? P{
i ?1

30

X-? ? ?1.14} ? ?(?1.14) ? 1 ? ?(1.14) ? 0.1271 ? n
X 的密度 Y/n

6.7 证明:因为 T 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,则,随机变量 T ? 函数为
? n ?1 2? ?( ) ? 2 f (t ) ? ?1? t ? n ? n? ?( ) ? n? ? 2 n ?1 2

,?? ? t ? ? 显然 f (?t ) ? f (t ) ,则 f (t ) 为偶函数,则

E (T ) ? ? f (t )tdt ? ? f (t )tdt ? ?
?? ??

??

0

??

0

f (t )tdt ? ?

??

0

f (?t )(?t )dt ? ?

??

0

f (t )tdt ? ??

??

0

f (t )tdt ? ?

??

0

f (t )tdt ? 0

6.8 解:记 ? ? 1.50 , ? ? 25 ,则 X 错误!未找到引用源。N( ? ,

?

2

),n=25 故

140-150 X - ? 147.5-150 P{140? X ? 147.5}? P{ ? ? } 25 25 ? n 25 25 X-? ? ?0.5} ? n

? P{-2?

? ?(-0.5)- ?(-2)
? ?(2)- ?(0.5)

? 0.2857
6.9 解:记这 100 人的年均收入为错误!未找到引用源。,它们是来自均值为 ? ? 1.5 万元,标准 差为 ? ? 0.5 万元的总体的样本,n=100 则根据题意有: (1) P{X ? 1.6}? 1 ? P{X ? 1.6}

? 1 ? P{

X-? 1.6- 1.5 ? } ? n 0.5 100

- 35 -

? 1 ? P{

X-? ? 2} ? n

? 1 ? ?(2)

? 1 ? 0.9772 ? 0.0228
(2)

P{X ? 1.3}? P{
(3)

X-? 1.3-1.5 X-? ? } ? P{ ? ?4} ? ?(?4) ? 1 ? ?(4) ? 1 ? 1 ? 0 ? n 0.5 100 ? n

1.2- 1.5 X-? 1.6- 1.5 P{1.2? X ? 1.6}? P{ ? ? } 0.5 100 ? n 0.5 100
? ?(2) - ?(-6)

? 0.9772 ? 0
? 0.9772
6.10 解:根据题意可知此样本是来自均值为 ? ? 12 ,标准差为 ? ? 2 的总体,样本容量为 n=5 (1)依题意有
P{X ? 13} ? 1 ? P{X ? 13} ? 1 ? P{ X - ? 13-12 X-? ? } ? 1 ? P{ ? 1.12} ? 1 ? ?(1.12) ? 1 ? 0.8686? 0.1314 ? n 2 5 ? n

(2)要求样本的最小值小于 10 概率,即 5 个数中至少有一个小于 10 的概率,首先计算每 个样本小于 10 的概率:

p ? P(X ? 10) ? P(

X-?

?

?

10 - 12 ) ? ?(-1) ? 1 - ?(1) ? 1 - 0.8413 ? 0.1587 2

设 X 是 5 个样本中小于 10 的样本个数则 X 服从二项分布 B(5,0.1587)故有

P

(X ? 1) ? 1 - P(X ? 0) ? 1 - C5 B

0

p ?1? p? ? 1 ?1?1? (1?0.1587)
0 5

5

? 0.5785

- 36 -

即样本的最小值小于 10 的概率是 0.5785. (3)同(2)要求样本的最大值大于 15 的概率,即 5 个数中至少有一个大于 15 的概率, 首先计算每个样本大于 15 的概率:

p ? P(X ? 15) ? 1 - P(X ? 15) ? 1 ? P(

X-?

?

?

15 - 12 ) ? 1 ? ?(1.5) ? 1 - 0.9332 ? 0.0668 2

设 X 是 5 个样本中大于 15 的样本个数则 X 服从二项分布 B(5,0.0668)故有

P

B

(X ? 1) ? 1 - P(X ? 0) ? 1 - C5

0

p ?1? p? ? 1 ?1?1? (1?0.0668)
0 5

5

? 0.2923

即样本的最大值大于 15 的概率是 0.2923

第七章参数估计
7.1 解因为:错误!未找到引用源。是抽自二项分布 B(m,p)的样本,故都独立同分布所以 有

?? E ( X ) ? m p 用样本均值 X 代替总体均值,则 p 的矩估计为 p
??

X m

7.2 解: E ( x ) ?

?

0

?e

? ?x

? xdx ?

1

?

用样本均值 x 代替总体均值,则 ? 的矩估计为

?? 1 ?1 ?
E ( x) x

由概率密度函数可知联合密度分布函数为:
?? ?? ?? n ?? xi L(? ) ? ? e x1 ? ? e x2 ? ? ? ? e xn ? ? e ? i ?1
n

对它们两边求对数可得

ln(L(? )) ? ln(?

n

e

??

n ? xi ) ? n ln ? ? ? ?
i ?1

n

i ?1

x

i

对 ? 求导并令其为 0 得

- 37 -

? ln( L(? )) n n ? ? ? xi ? 0 ?? ? i ?1

?? 即可得 ? 的似然估计值为 ?

1 1 ? 1 n x ? xi i ? 1 n

7.3 解:记随机变量 x 服从总体为[0,错误!未找到引用源。]上的均匀分布,则

E( X ) ?

0 ?? ? ? 2 2

? ? 2X 故错误!未找到引用源。的矩估计为 ?
1
故它的是似然函数为

X 的密度函数为 p ( x) ?
n

?

L(? ) ?

1

?

n

?I
i ?1

{0?

X i ?? }
n

?

1

?

n

IX
{

(n)

?? }

要使 L(? ) 达到最大, 首先一点是示性函数的取值应
n

该为 1,其次是 1

?

尽可能大。由于 1

?

是错误!未找到引用源。的单调减函数,所以错

误!未找到引用源。的取值应该尽可能小,但示性函数为 1 决定了错误!未找到引用源。

? ? 错误! 不能小于错误!未找到引用源。,因此给出错误!未找到引用源。的最大似然估计 ?
未找到引用源。 (示性函数 I=错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=min{错误!未找到引用源。} 错误!未找到引用源。=max{错误!未找到引用源。}) 7.4 解:记随机变量 x 服从总体为[错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]上的均匀分 布,则

E( X ) ?

? ? 2?
2

?

3? ?? 2X 所以错误!未找到引用源。的矩估计为 ? 2 3 1

X 的密度函数为 p ( x) ?
n

?

故它的是似然函数为

L(? ) ?

1

?

n

?I ?
i ?1

{ ?

X

? 2? } i

?

1

?

n

I? x
{ ?

? ( 1)

x

? 2? } (n)

?

1

?

n

Ix
{

(n)

2

?? ?

x(1)}

要使 L(? ) 达到最大,首先一点是示性函数的取值应该为 1,其次是 1
n

?

n

尽可能大。由于

1 ? 是错误!未找到引用源。的单调减函数,所以错误!未找到引用源。的取值应该尽可
能小,但示性函数为 1 决定了错误!未找到引用源。不能小于错误!未找到引用源。,因此

? ? 错误!未找到引用源。 给出错误!未找到引用源。的最大似然估计 ?

- 38 -

7.5 解:似然函数为: L(

?

2

)??
i ?1

n

1 2? ?

e

?

(Xi ? ? )
2

2

?

2

? (2? ?

2

) e

?

n 2

?

1 2

?

2

? (Xi ? ? )
i ?1

n

2

它的对数为: ln L(

?

2

2 n n 1 n 2 ) ? ? ln(2? ) ? ln(? ) ? 2 ? (Xi ? ? ) 2 2 2? i ?1



?

2

求偏导并令它等于零有

? ln L(? )
2

??

2

??

n 2?
2

?

1 2?
4

i ?1

? (Xi ? ? ) ? 0
n 2

解得

?

2

的似然估计值为

? ?
1

2

?

2 1 n ? (Xi ? ? ) n i ?1

7.6 解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知

E(x ) ? ? xf ( x)dx ? ? x ?
-? 0

??

??

?e

?

x

?

dx ? ?

Var ( X ) ? ?
(1) E (

2

? ) ? E (X ) ? ? ?
1 1

E (? ? ) ? E ( X1
2

? X2 2

)?

1 1 (E(X1) ? E(X2)) ? ? 2? ? ? 2 2 1 1 ) ? (E(X1) ? 2E(X2)) ? ? 3? ? ? 3 3 1 1 ) ? (E(X1) ? E(X2) ? E(X3)) ? ? 3? ? ? 3 3

E (? ? ) ? E( X1
3

? 2X2 3

E (? ? ) ? E(X ) ? E( X1
4

? X2 ? X3 3

故这四个估计都是错误!未找到引用源。的无偏估计.. (2) Var(

? ) ? Var(X ) ? ? ?
1 1

2

Var(? ? ) ? Var( X1
2

? X2 2

1 1 2 ) ? (Var(X1) ? Var(X2)) ? ? 2? ? ? 4 4 2

2

- 39 -

? 1 1 ? Var( ? ) ? Var( X 2X ) ? (Var(X ) ? 4Var(X )) ? ? 5? ? 5

2

?

1

2

2

3

3

9

1

2

9

9

? ? 1 Var( ? ) ? Var( X X X ) ? (Var(

?

1

2

3

4

3

9

1 2 X1) ? Var(X2) ? Var(X3)) ? 9 ? 3? ? ? 3

2

故有

Var (? ? ) ? Var (? ? ) ? Var (? ? ) ? Var (? ?)
4 2 3 1

7.7 证明(1)因为 X 服从[错误!未找到引用源。]上的均匀分布,故

E( X ) ?

? ?? ?1
2

?? ?

1 2
故样本均值不是错误!未找到引用源。的无偏估计

E( X ) ? E( X ) ? ? ?

1 ?? 2

(2)由(1)可知错误!未找到引用源。的矩估计为

?? ? X ?

1 2



?) ? E ( X ? 1 ) ? ? ? 1 ? 1 ? ? E (? 2 2 2

故它是错误!未找到引用源。无偏估计.
2 2 2 2

?) ? E (c 7.8 解;因为 Var(?

? ? (1 ? c)? ? ) ? c ? 1 ? (1?c) ? 2 ?
1 2

?) 最小则对 Var (? ?) 关于 c 求一阶导并令其等于零可得 要使 Var (?
?) 2 2 ?Var(? ? 2c? 1 ? 2(1 ? c)? 2 ? 0 ?c
c? ?2 ? 1 ?? 2
2 2

解得

2

?) 关于 c 求二阶导可得 因为对 Var (?

? V a (r??) ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ?c
2 2 2

2

?0

故当 c ?

?2 ? 1 ?? 2
2

2

2

?) 达到最小。 时 Var (?

- 40 -

7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得

? ? 0.05 , n ? 16 , Z ? ? Z 0.025 ? 1.96 ,? ? 0.01 , X ? 2.125
2 2

2

?
n

Z? ?
2

0.01 ?1.96 ? 0.0049
16

2

所以 ? 的置信区间为

[X ?

?

Z? , X ? n
2

?
n

,2.1299 ] Z ? ] ? [2.125? 0.0049,2.125? 0.0049] ? [2.1201
2

(2) ? ? 0.05 n ? 16

X ? 2.125

t

15

(0.025) ? 2.1315

S

2

?

1 15 ? 15 i ?1

? ?X i ? X ? ? 0.000293
2

即 S ? 0 .0 1 7 1

所以 ? 的置信区间为
[X ? S ? S ? 0.0171 0.0171 t ( ), X ? n t15 ( 2 )] ? [2.125? 16 ? 2.1315,2.125? 16 ? 2.1315] ? [2.116,2.1406] n 15 2

7.10 解:根据所给的数据计算: X ? 0.14125, Y ? 0.1392

S1 ?

2

1 3 ? 3 i ?1

?X i ? X ? ? 0.00000825
2

S2 ?

2

1 4 ? 4 i ?1
2

?Y i ?Y ? ? 0.0 0 0 0 0 5 2
2

则 X 和 Y 构成的总体的方差为

S

2

?

(m ? 1) S 1 ? (n ? 1) S 2 m?n?2

2

? 0.0000065

所以

? ??
1

2

置信系数 ? ? 1 ? 0.95 ? 0.05 的置信区间为

? 1 1 ? 1 1 [ X ? Y ? t m? n?2 ( ) S ? , X ? Y ? t m? n ?2 ( ) S ? ] 2 m n 2 m n
1 1 1 1 ? , X ? Y ? t 7 (0.025)S ? ] 4 5 4 5

=[X ?Y ?

t

7

(0.025)S

=[-0.002,0.006]
- 41 -

7.11 解: n ? 1000 ? ? 1 ? 0.95 ? 0.05

Z? ? Z
2

0.025

? 1.96

Y

n

? 228

? ? Y n ? 0.238 则比例 p 的区间估计为: p n
? ? Z? [p
2

? (1 ? p ? ) / n, p ? ? Z? p

? (1 ? p ? ) / n ] ? [0.238? 1.96 0.238(1 ? 0.238) / 1000,0.238? 1.96 0.238(1 ? 0.238) / 1000] p

2

= [0.202,0.254] 7.12 解:根据题意有, n ? 120 ? ? 1 ? 0.95 ? 0.05 X ? 7.5 则 ? 的置信区间为:

Z? ? Z
2

0.025

? 1.96

[ X ? Z ? X / n , X ? Z ? X / n ] ? [7.5 ?1.96 7.5 / 120,7.5 ? 1.96 7.5 / 120] ? [7.01,7.99]
2 2

- 42 -


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