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数列求和及数列的综合应用答案


数列求和及数列的综合应用 B 解析 a1=2,a5=3a3 得 a1+4d=3(a1+2d),即 d=-a1 =-2,所 9× 8 以 S9=9a1+ 2 d=9× 2-9× 8=-54,选 B. 2 、答案 C 解析 S8 = lga1 + lga2 + … + lga8 = lg(a1· a2·…·a8) = lg(a1· a8)4 = lg(a4· a5)4=lg(2× 5)4=4. 3、 答案 D 解析 利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断.{an}为递增 数列,则 a1>0 时,q>1;a1<0 时,0<q<1.q>1 时,若 a1<0,则{an}为递减数列.故 “q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选 D. 4、答案 D 解析 ∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,∴n=1 时,a1 1 1 =2; n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n, ∴an=2n(n∈N*), ∴bn= = = anan+1 2n n+ 1 ? 1? ?1 1? 1? 9 1?1 1?? ?1 1 ?? 1 ? ?n-n+1?,T9= ??1-2?+?2-3?+…+?9-10??= × ?1-10?= . 4? 4?? ? ? ? ? ?? 4 ? ? 40 ? 2 5、 答案 C 解析 由 Sn=n -6n 得{an}是等差数列, 且首项为-5, 公差为 2.∴an =-5+(n-1)× 2=2n-7. ∴n≤3 时,an<0;n>3 时,an>0. 2 n , ?6n-n ∴Tn=? 2 n ?n -6n+18 1? ? 1? ? 6、答案 A 解析 由题意,B1,B2 两点的坐标分别为?x1,x ?,?x2,x ?,所以 ? 1? ? 2? 1 1 直线 B1B2 的方程为 y=-x x (x-x1)+x ,令 y=0,得 x=x1+x2,∴x3=x1+ x2, 1 2 1 x3 因此,x1, 2 ,x2 成等差数列. 2 1 2 1 7、答案 (-2)n-1 解析 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3an+3-3an-1+3,化简得: 2 1 an=-2an-1,又 a1=S1=3a1+3,得 a1=1,故{an}以 1 为首项,以-2 为公比的 等比数列,所以 an=(-2)n-1. 8、答案 63 解析 ∵a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两根,且 q>1,∴a1=1, -26 a3= 4,则公比 q=2,因此 S6= =63. 1-2 2n+1 2 014 9、答案 2 015 解析 令(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0,则 x1+x2= 2 ,x1x2 n +n 1 = 2 , 由 题 意 得 |AnBn| = |x2 - x1| , 所 以 |AnBn| = x1+x2 2-4x1x2 = n +n 1、答案 ?2n+1?2 1 1 1 1 ? 2 ? -4· 2 = 2 =n- ,因此|A1B1|+|A2B2|+…+|A2 014B2 014| = n +n n +n n+1 ? n +n ? 1? ?1 1? 1 ? 1 2 014 ? ? 1 ?1-2?+?2-3?+…+?2 014-2 015?=1- = 2 015 2 015. ? ? ? ? ? ? nπ 考虑到 sin 2 是呈周期性的数列,依次取值 1,0,- 1,0,…,故在求 a1+a2+…+a2 014 时要分组求和,又由 an 的定义,知 a1+a2+ 10、答案-4 032 解析
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a3+…+a2 014=(a1+a3+…+a2 013)+(a2+a4+…+a2 014)=[f(1)+f(3)+…+f(2 013)]+[f(2)+f(4)+…+f(2 014)]=[(1-32)+(52-72)+…+(2 0092-2 0112)+2 0132]+[(-32+52)+(-72+92)+…+(-2 0112+2 0132)-2 0152] =-2× (4+12 2 2 + 20 + … + 4 020) + 2 013 + 2× (8 + 16 + … + 4 024) - 2 015 = - + + 2× + 2× -2 0152+2 0132=503× 8-2× 4 028 2 2 =-4 032. 2 11、答案 2- 解析 由题意,a1=1,当 x∈(n,n+1]时,{x}=n+1, n+1 x· {x}∈(n2+n,n2+2n+1],{x· {x}}的取值依次为 n2+n+1,n2+n+2,…,n2 +2n +1 共 n+1 个,即 an + 1 = an + n+ 1,由此可得 an = 1+ 2 + 3 + …+ n = 1 ? n n+ 1 2 1 1 1 2 ?1 , = =2?n-n+1?,所以 + +…+ =2- . 2 an n n+ a1 a2 an n+1 ? ? 12、解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 2 n2+n n- + n- 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 - =n. 2 故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n, 则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记 A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n, -22n 则 A= =22n+1-2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2. 13、解 (1)n≥2 时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n -1)2-1, 两式相减,得 an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1. 4n+3 ∴an=2n+1,∴3n· bn+1= (n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,∴bn+1= 3n , 4n-1 ∴当 n≥2 时,bn= n-1 , 3 4n-1 又 b1=3 适合上式,∴bn= n-1 . 3 4n-1 (2)由(1)知,bn= n-1 , 3 4n-5 4n-1 3 7 11 ∴Tn=1+3+ 32 +…+ n-2 + n-1 ,① 3 3 4n-5 4n-1 1 3 7 11 3Tn=3+32+ 33 +…+ 3n-1 + 3n ,② 4n-1 2 4 4 4 ①-②,得3Tn=3+3+32+…+ n-1- 3n 3

2

1 ? 1? ?1-3n-1? 3? 4n+5 15 4n+5 ? 4n-1 =3 +4· - . n =5- n .∴Tn= - 1 3 3 2 2· 3n-1 1-3 n+ +5 4n+5 - n+ Tn-Tn+1= - n-1= <0. 2· 3n 3n 2· 3 ∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列. 59 64 又 T3= 9 <7,T4= 9 >7, ∴当 Tn<7 时,n 的最大值为 3. 14、解 (1)因为{an}是递增数列,所以 an+1-an=|an+1-an|=pn. 而 a1=1,因此 a2=p+1,a3=p2+p+1. 又 a1,2a2,3a3 成等差数列,所以 4a2=a1+3a3, 1 因而 3p2-p=0,解得 p=3,p=0. 当 p=0 时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾. 1 故 p=3. (2)由于{a2n-1}是递增数列,因而 a2n+1-a2n-1>0, 于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.① 1 1 但22n< 2n-1,所以| a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.② 2 -1 2n ?1?2n-1 由①②知,a2n-a2n-1>0,因此 a2n-a2n-1=?2? = .③ ? ? 22n-1 因为{a2n}是递减数列,同理可得 a2n+1-a2n<0, -1 2n+1 ?1?2n 故 a2n+1-a2n=-?2? = ④ 22n ? ? -1 n+1 由③④即知,an+1-an= . 2n 1 1 于是 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2-22+…+ ? 1? 1-?-2?n-1 ? ? 1 =1+2· 1 1+2 n 4 1 - =3+3· n-1 . 2 4 1 - 故数列{an}的通项公式为 an=3+3· n-1 2
n

-1 2n-1

n

.

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