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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.1 3.1.2变化率问题 导数的概念基础过关训练 新人教A版选修1-1


第三章

导数及其应用

§3.1

变化率与导数

3.1.1 3.1.2
一、基础过关

变化率问题 导数的概念

1.一物体的运动方程是 s=3+t ,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( A.0.41 A.0 B.1 ) B.3 C.4 D.4.1 ( )

2

2.函数 y=1 在[2,2+Δ x]上的平均变化率是

3.设函数 f(x)可导,则lim Δ x→0 ( )

f?

C.2 D.Δ x 1+Δ x? -f? 1? 等于 3Δ x 1 C. f′(1) 3

A.f′(1)

B.3f′(1)
3

D.f′(3)

4.一质点按规律 s(t)=2t 运动,则 t=1 时的瞬时速度为 ( A.4 A.12 ) B.6
2

C.24 C.3 D.2

D.48 ( )

5.函数 y=3x 在 x=1 处的导数为 B.6 6.甲、 乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示, 治污效果较好的是 ( A.甲 C.相同
2

)

B.乙 D.不确定

7.函数 f(x)=5-3x 在区间[1,2]上的平均变化率为__________. 二、能力提升 8.过曲线 y=f(x)=x +1 上两点 P(1,2)和 Q(1+Δ x,2+Δ y)作曲线的割线,当 Δ x=0.1 时,割线的斜率 k=________. 1 9.函数 f(x)= 2+2 在 x=1 处的导数 f′(1)=________.
2

x

10.求函数 y=-2x +5 在区间[2,2+Δ x]内的平均变化率. 11.求函数 y=f(x)=2x +4x 在 x=3 处的导数.
1
2

2

12.若函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,求 a 的值. 三、探究与拓展 13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s) 2 ?3t +2 ? t≥3? ① ? ? s= 2 ? ? 0≤t<3? ② ?29+3? t-3? 求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度.

2

2

答案 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.-9 8.2.1 9.-2 10.平均变化率为-8-2Δ x 11.16 12.1 13.解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δ t=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δ s=3×5 +2-(3×3 +2) =3×(5 -3 )=48, ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 Δ s 48 = =24 (m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δ s f? 0+Δ t? -f? 0? = Δt Δt 2 29+3[? 0+Δ t? -3] -29-3? 0-3? = Δt =3Δ t-18, ∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为 Δs lim =lim (3Δ t-18)=-18, Δ t→0 Δ t Δ t→0 即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为 Δ s f? 1+Δ t? -f? 1? = Δt Δt 2 29+3[? 1+Δ t? -3] -29-3? 1-3? = Δt ∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为 Δs lim =lim (3Δ t-12)=-12. Δ t→0 Δ t Δ t→0 即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.
2 2 2 2

2

2

=3Δ t-12.

3


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