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河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案 (NXPowerLite)


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河南省郑州市盛同学校 2013 届高三 4 月模拟考试 数学试题(理科)
本试卷分试题卷和答题卡两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答 题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分。共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只 有一个选项正确. ) 1.设 a∈R,若 A. ? 1 2.不等式

a+ i 为纯虚数,则 a 的值为 1- i
B.0 C.-1 D.1

x-1 >0 的解集是 x 2-4

A. (2,+∞) B. (-2,1)∪(2,+∞) C. (-2,1) D. (-∞,-2)∪(1,+∞) 3.已知向量 a=(3,4) ,b=(2,-1) ,如果向量 a+kb 与 b 垂直,则实数 k 的值为 A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5

4.已知关于 x 的函数 y= loga (2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 5.从正方体的八个顶点中任取四个点连线,在能构成的一对异面直线中,其所成的角的 度数不可能是 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.设双曲线

x 2 y2 - = 的焦点为 F1、F2,过 F1 作 x 轴的垂线与该双曲线相交,其中一个交 1 3 6

点为 M,则| MF2 |= A.5 3 B.4 3 C.3 3 D.2 3

???? ?

7.若一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为( )

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1 3 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? 8 . 已 知 △ ABC 和 点 M 满 足 M A? M B M C0 . 若 存 在 实 数 m 使 得 ? ?

A.

1 2

B.

3 2

C.1

D.

??? ??? ? ? ???? ? AB ? AC ? mAM 成立,则 m=( )
C.4 D.5 ? 9.设函数 f ( x ) ?| sin( x ? )|( x ? R ) ,则 f ( x ) ( ) 3 ? 2? 7? A.在区间[ ?? , ? ]上是减函数 B.在区间[ , ]上是增函数 2 3 6 ? ? ? 5? C.在区间[ , ]上是增函数 D.在区间[ , ]上是减函数 6 8 4 3 10.已知命题 p:函数 f ( x ) ? 2ax2 ? x ?1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q: 函数 y ? x2?a 在(0,+ ? )上是减函数.若 p 且 ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围 是( ) A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.a≤l 或 a>2 11.从 l、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数,当三个 数字中有 2 和 3 时,2 需排在 3 的前面(不一定相邻),这样的三位数有 ( ) A.51 个 B.54 个 C.12 个 D.45 个 12.设 P 为椭圆上一点,且∠PF1F2=30o,∠PF2F1=45o,其中 F1,F2 为椭圆的两个 焦点,则椭圆的离心率 e 的值等于( ) A.
( 2 ? 2 )( 1 ? 3 ) 2 ( 2 ? 2 )( 1 ? 3 ) 2

A.2

B.3

B.

( 2 ? 2 )( 3 ? 1 ) 2 ( 2 ? 2 )( 3 ? 1 ) 2

C.

D.

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卷的相应位置上。 ) 13.已知 a ? R, 若(1 ? ai)(3 ? 2i) 为纯虚数,则复数 2a ? i 的共轭复数为 14.地面上有三个同心圆(如右图) ,其半径分别为 3、2、1。若向图[ 中最大的圆内投点且投到图中阴影区域的概率为 夹锐角的弧度数为
2



7 ,则两直线所 15



15.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及 其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程 是 。
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16.下列说法: ①“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ” ; ②函数 y ? sin(2 x ?

?

) sin( ? 2 x) 的最小正周期是 ? ; 3 6

?

③命题“函数 f ( x)在x ? x0 处有极值,则 f '( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题; ④ f ( x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数,x ? 0 时的解析式是 f ( x) ? 2x , x ? 0 时 则 ? 的解析式为 f ( x) ? ?2? x. 其中正确的说法是 。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? 1 , c ? (1)求 sin A 的值; (2)求 ΔABC 的面积。 18. (本小题满分 12 分) 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的 1000 份 有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上临睡前背。为研究背单 词时间安排对记忆效果的影响, 该社团以 5%的比例对这 1000 名学生按时间安排类型进行分 层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆 40 个无意义音节(如 XIQ、GEH) , 均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在 8 小时后进行记忆测验。不同的是,甲组同学识 记结束后一直不睡觉,8 小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8 小时后叫醒测验。 两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆 (保持) 情况如图 (区间含左端点而不含右端点)

2 , cos C ?

3 。 4

(1)估计 1000 名被调查的学生中识记停止后 8 小时 40 个音节的保持率大于等于 60% 的人数;
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(2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选 3 人,记能准确回忆 20 个 以上(含 20)的人数为随机变量 X,求 X 分布列及数学期望; (3) 从本次实验的结果来看, 上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更 好? 计算并说明理由。 19. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2an ? Sn ? 1, n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在数列 {an } 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后,构成新数列 {bn } ,在 an 和an ?1 两项之间插入 n 个数,使这 n? 2 个数构成等差数列,求 b2012 的值; (3)对于(2)中的数列 {bn } ,若 bm ? an ,并求 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm (用 n 表示) .

20.(本小题满分 12 分) 1 x2 y 2 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、 F2 ,上顶点为 A ,离心率为 ,在 x 2 a b ???? ? ???? 轴负半轴上有一点 B ,且 BF2 ? 2BF1. (1)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,在 x 轴 上是否存在点 P(m, 0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取 值范围;如果不存在,说明理由.

21. (本题满分 12 分) 已知 m ? R ,函数 f ( x) ? mx ?
m ?1 1 ? ln x , g ( x) ? ? ln x. x x

(1)求 g ( x) 的极小值; (2)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在 [1, ??) 上为单调增函数,求 m 的取值范围; ( 3 ) 设 h( x) ?
2e , 若 在 ?1, e? ( e 是 自 然 对 数 的 底 数 ) 上 至 少 存 在 一 个 x 0 , 使 得 x f ( x0 )? g ( x )? h( x 成立,求 m 的取值范围. 0 0 )

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 是⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD//AP,AD、BC 相交

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于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC.
2

(1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)若不等式 f ( x) ? m 的解集为 {x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a,m 的值。 (2)当 a=2 时,解关于 x 的不等式 ( x) ? t ? f ( x ? 2t )(t ? 0).

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理科数学
一、选择题 DBDBA 二、填空题 13. ?3 ? i 14. BABBC AC 15. y 2 ? 3x

参考答案

2? 5

16.①④

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) cos C ?

3 7 ,? sin C ? , ? 2? 4 4

?

a c 1 ? ,? ? sin A sin C sin A

2 14 ? 6? ? sin A ? 8 7 4
2

(Ⅱ)? c ? a ? b ? 2ab cos C ,? 2 ? 1 ? b ?
2 2 2

3 b,? 2b 2 ? 3b ? 2 ? 0,? b ? 2 ? 9? 2

1 1 7 7 ?12? S?ABC ? ab sin C ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4
18.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 , 由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人) ,∴乙组有 20 人. 又∵ 40 ? 60% ? 24 , ∴识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的在甲组中有 1 人 乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 (人) ∴ (1 ? 8) ? 5% ? 180 即估计 1000 名被调查的学生中识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的 人数为 180 人. ? 4? (Ⅱ)由乙图知,乙组在 [12, 24) 之间有 (0.025 ? 0.025 ? 0.075) ? 4 ? 20 ? 10 (人) 在 [20, 24) 之间有 0.075 ? 4 ? 20 ? 6 (人) ∴ X 的可能取值为 0,1,2,3 ? 6?

P( X ? 0) ?

3 0 C4 C6 1 ? , 3 C10 30 2 1 C4 C6 3 ? , 3 C10 10

P( X ? 1) ?

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P( X ? 2) ?

1 2 C4C6 1 ? , 3 C10 2 0 3 C4 C6 1 ? ?8? 3 C10 6

P( X ? 3) ?

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6
?10?

数学期望 E ( X ) ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5

(Ⅲ)参考答案: 甲组学生准确回忆音节数共有: 2 ? 4 ? 6 ?10 ? 10? 8 ? 14? 4 ? 18? 21? 22?1 ? 26?1 ? 288个 故甲组学生的平均保持率为
1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 0.24 40 30 40

乙组学生准确回忆音节数共有:
(6 ? 0.0125? 10 ? 0.0125? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625? 30 ? 0.0375 ? 4 ? 432 个 )

故乙组学生平均保持率为

1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 0.54 ? 0.24 , 40 20 40

所以临睡前背单词记忆效果更好. ?12? (只要叙述合理都给分) 19.解: (1)当 n ? 1 时,由 2a1 ? S1 ? 1 ? a1 ? 1 .又 2an?1 ? Sn?1 ? 1与 2an ? Sn ? 1 相减得:

an?1 ? 2an ,故数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 an ? 2n?1 ;????4 分
dn ? an ?1 ? an 2n ?1 ? ? , 又 ( 1 n ?1 n ?1
2 ? ? 3 ? ? 6 1?) 6 1 ?

(2)设 an 和 an ?1 两项之间插入 n 个数后,这 n ? 2 个数构成的等差数列的公差为 dn ,则

1 9 5 2 , ,0 1 2 ? 2 ? 故

1 9 5 2

b2012 ? a62 ? (60 ? 1) ? d62 ? 261 ? 59 ?
(3)依题意, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm

261 61 62 ? ? 2 . ???????????? 8 分 63 63

(n ? 1)(an ?1 ? an ) 3(a1 ? a2 ) 4(a2 ? a3 ) 5(a3 ? a4 ) ? ? ??? ? (a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ) 2 2 2 2 1 1 ? ?3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? (2n ? 1)an ? ? nan ,考虑到 an?1 ? 2an , 2 2 令 M ? 3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? (2n ? 1)an ,则 2M ? 3a2 ? 5a3 ? 7a4 ? ? ? (2n ? 1)an?1 ?

2M ? M ? ?2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? a1 ? (2n ? 1)an?1 ? M ? (2n ?1)2n ? 1 , 1 1 1 n?2 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm ? M ? nan ? (3n ? 2) ? 2 ? . ?????????? 12 分 2 2 2 c 1 1 20.解: (1)由题意 ? ,得 c ? a ,所以 F 1 F 2 ? a a 2 2 ???? ? ???? 又 AF1 ? AF2 ? a 由于 BF2 ? 2BF ,所以 F 为 BF2 的中点, 1 1
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所以 AF1 ? AF2 ? F1 F2 ? a

a , 0) ,半径 r ? F1 A ? a ???????3 分 2 又过 A、B、F2 三点的圆与直线 g : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,
所以 ?ABF2 的外接圆圆心为 F1 ( ?

1 ? a ?3 2 ? a 解得 a ? 2 , c ? 1, b2 ? a2 ? c2 ? 3. 所以 2 x2 y 2 ? ? 1 ???????????????????? 6 分 所求椭圆方程为 4 3 (2)有(1)知 F2 (1, 0) ,设 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)
将直线方程与椭圆方程联立

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 ( ,整理得 3 ? 4k )x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ?4 3 2 设交点为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,因为 3 ? 4k ? 0
8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ??????????????8 分 3 ? 4k 2 若存在点 P(m,0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,
则 x1 ? x2 ? 由于菱形对角线垂直,所以 (PM ? PN).MN ? 0 又 PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 ) 又 MN 的方向向量是 (1, k ) ,故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 ,则

???? ??? ? ?

8k 2 8k 2 ? 2) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 k2 1 ? 由已知条件知 k ? 0且k ? R, ? m ? ?????????11 分 2 3 3 ? 4k ?4 k2 1 1 ? 0 ? m ? ,故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 (0, ) ??????13 分 4 4

k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 ,即 k 2 (

1 1 x ?1 ∴当 0 ? x ? 1时,g ?( x) ? 0 ; x ? 1 当 ? ? 2 , x2 x x 时, g ?( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数,故

21. (1) 解: 由题意,x ? 0 ,g ?( x) ? ?

g ( x)极小值 ? g (1) ? 1 . ?????????????????????????4 分

mx2 ? 2 x ? m m ,由于 f ( x) ? g ( x) 在 ? 2ln x ,∴ f ( x) ? g ( x)]? ? [ x x2 2x [1, ??) 内为单调增函数,所以 mx 2 ? 2 x ? m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即 m ? 在 [1, ??) 1 ? x2 2x 上恒成立,故 m ? ( )max ? 1 ,所以 m 的取值范围是 [1, ??) .???????9 分 1 ? x2 m 2e (3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ? ? 2ln x ? , x x m 2e 当 m ? 0 时,由 x ? ?1, e? 得, mx ? ? 0 , ?2ln x ? ? 0 ,所以在 ?1, e? 上不存在一个 x 0 , x x 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) .

(2) ∵f ( x) ? g ( x) ? mx ?

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当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e ,因为 x ? ?1, e? ,所以 2e ? 2x ? 0 , ? ? ? x2 x x2 x2 mx 2 ? m ? 0 ,所以 F ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,故 F ( x) 在 ?1, e? 上单调递增,
F ( x)max ? F (e) ? me ?

m ? 4 ,所以要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 F ( x) ? 0 ,必须且只需 e m 4e 4e ,故 m 的取值范围是 ( 2 , ??) .??????? me ? ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 e e ?1 e ?1 另法:(Ⅲ)当 x ? 1 时, f (1) ? g (1) ? h(1) .

当 x ? (1, e] 时,由 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,得 m ?
G ?( x) ?

2e ? 2 x ln x 2e ? 2 x ln x , 令 G ( x) ? ,则 x2 ? 1 x2 ? 1

(?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) ? 0 ,所以 G( x) 在 (1, e] 上递减, ( x 2 ? 1) 2

G( x)min ? G(e) ?

4e . e ?1
2 2

4e . e ?1 ???????????????????????????????????

综上,要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) ,必须且只需 m ?

22. (Ⅰ)证明:? DE ? EF ? EC ,?
2

DE EF ? , CE ED

又 ?DEF ? ?CED ,

??DEF ? ?CED , ?EDF ? ?ECD ,
又? CD / / PA,??ECD ? ?P 故 ?P ? ?EDF ,所以 A, P, D, F 四点共圆.┄┄┄┄5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)及相交弦定理得 PE ? EF ? AE ? ED ? 24 , 又 BE ? EC ? AE ? ED ? 24 ,

? EC ? 6, EF ?

DE 2 8 ? , PE ? 9, PB ? 5, PC ? PB ? BE ? EC ? 15 , EC 3
2

由切割线定理得 PA ? PB ? PC ? 5 ? 15 ? 75 , 所以 PA ? 5 3 为所求. 23. (Ⅰ)解:由 | x ? a |? m 得 a ? m ? x ? a ? m , ┄┄┄┄10 分

所以 ?

?a ? m ? ?1, ?a ? 2, 解之得 ? 为所求. ?m ? 3 ?a ? m ? 5,

┄┄┄┄3 分

(Ⅱ)解:当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | , 所以 f ( x) ? t ? f ( x ? 2t ) ?| x ? 2 ? 2t | ? | x ? 2 |? t ,① 当 t ? 0 时,不等式①恒成立,即 x ? R ; 当 t ? 0 时,不等式①
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? x ? 2 ? 2t , ?2 ? 2t ? x ? 2, ? x ? 2, ?? 或? 或? ?2 ? 2t ? x ? (2 ? x) ? t ? x ? 2 ? 2t ? (2 ? x) ? t ? x ? 2 ? 2t ? ( x ? 2) ? t,
t t 或 x ? ? ,即 x ? 2 ? ; 2 2 综上,当 t ? 0 时,原不等式的解集为 R ,
解之得 x ? 2 ? 2t 或 2 ? 2t ? x ? 2 ? 当 t ? 0 时,原不等式的解集为 ? x | x ? 2 ? ? .

? ?

t? 2?

┄┄┄┄10 分

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