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高中数学 1.2.2.1 函数的表示法课件 新人教A版必修1


1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法

1.掌握函数的三种表示方 法——解析法、图象法、 列表法. 2.在实际情境中,会根据 不同的需要选择恰当方法 表示函数.

1.求函数解析式的两 种常用方法——换元 法和待定系数法.(难 点) 2.函数图象的作法(重 点)

1.函数的概念及对应关系“f”的理解 定义域、对应关系、值域. 2.函数的三要素是______________________ 3.函数图象的画法——①列表,②描点,③连线 ?a ?a≥0? 4.实数的绝对值|a|=? ?-a ?a<0?

1.下列各图中,不能是函数f(x)图象的是 ( )

答案:

C

2.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的值为( A.-2 B.6 C.1 D.0 解析: 方法一:令x-1=t,则x=t+1, ∴f(t)=(t+1)2-3, ∴f(2)=(2+1)2-3=6. 方法二:f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)-2, ∴ f ( x ) = x 2+ 2 x - 2 , ∴f(2)=22+2×2-2=6. 方法三:令x-1=2, ∴x=3,∴f(2)=32-3=6.故选B. 答案: B

)

3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),(3,3)则此二次函数的 解析式为________. 2 解析: 设 f(x)=a(x-1) +c ∵图象过点(0,0),(3,3) ?a· ?0-1?2+c=0 ∴? 2 a ? 3 - 1 ? +c=3 ?
?a=1 解得? ?c=-1

∴二次函数的解析式为 y=(x-1)2-1=x2-2x. 答案: f(x)=x2-2x

4.作出下列函数的图象: (1)y=1+x(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 解析: (1)这个函数的图象由一些点组成,这 些点都在直线y=1+x上,如图1所示:

(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物 线y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图2 所示.

求函数的解析式 求下列函数的解析式 (1)已知 f(x)=x2+2,求 f(x-1),f(x+2); (2)已知 f(x+1)=x2+2x,求 f(x).

由题目可以获取以下主要信息:①对应关系f对 自变量x起作用,可用代入法求解. ②对应关系f 对(x+1)起作用,需要寻找对应关系f怎样对自 变量x起作用,可用配凑法或换元法求解.

[解题过程] (1)(代入法):∵f(x)=x2+2 ∴f(x-1)=(x-1)2+2=x2-2x+3 f(x+2)=(x+2)2+2=x2+4x+6 (2)方法一(换元法):令x+1=t则x=t-1 ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1 方法二(配凑法): ∵x2+2x=(x+1)2-1 ∴f(x+1)=(x+1)2-1,∴f(x)=x2-1

[ 题后感悟 ] (1) 已知 f(x) 的解析式,如何求 f(g(x))? ①用 g(x)代换 f(x)中的 x; ②化简 f(g(x)); ③注明定义域,防止扩大或缩小自变量的范 ?1? 1 1 ? ? 围.如 f(x)= ,则 f?x?= =x,若不注明 x 的范 x 1 ? ? x ?1? 1 ? ? 围,会误认为 f?x?=x 的定义域为 R,而实质上 x ? ? ?1? ? ? ≠0.x 取不到 0,因此,f?x?=x?x≠0?. ? ?

(2)求f(g(x))时,往往遵循先内后外的原则. (3)已知f(g(x))的解析式,如何求f(x)? ①换元法: 令g(x)=t,解出x,即用t表示x,然后代入 f(g(x))中即可求得f(t),从而求得f(x); ②配凑法: 将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式, 进而求出f(x)的解析式.

1.(1)已知 f(x)=x2+x-1,求 f(x+ 2) (2)已知 f( x-1)=x-2 x,求 f(x)

解析: (1)∵f(x)=x2+x-1, ∴f(x+2)=(x+2)2+(x+2)-1 =x2+5x+5 2 (2)方法一:∵f( x-1)=( x) -2 x 2 =( x-1) -1 ∴f(x)=x2-1 ∵ x-1≥-1 ∴f(x)=x2-1(x≥-1) 方法二:设 t= x-1,则 x=(t+1)2(t≥-1), f(t)=(t+1)2-2(t+1) =t2-1 ∴f(x)=x2-1(x≥-1)

已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2, f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x)的解析式.
[策略点睛]

2.(1) 本例中若条件“f(x + 1) - f(x) =x-1”变为“f(x+1)=f(x)+2x”,求 f(x). (2)已知 f(x)是一次函数,若 f(f(x))=4x+8,求 f(x)的解析式.

解析: (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0) =2,得 c=2,由 f(x+1)=f(x)+2x 得 ax2+(2a+b)x+a+b+2=ax2+(b+2)x+2 ?2a+b=b+2 ?a=1 ∴? ∴? ?a+b+2=2 ?b=-1 故所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+2.

(2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+ b. 又 f(f(x))=4x+8, 2 ∴a x+ab+b=4x+8, ?a2=4 ∴? , ?ab+b=8
?a=2 ? 解得? 8 ?b= 3 ? ?a=-2 或? . ?b=-8

8 ∴f(x)=2x+ 或 f(x)=-2x-8. 3

函数图象的作法及应用 画出下列函数的图象 (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3); 1 (3)y= ,(x>1). x

(1)作函数的图象,首先应分析函数的定义域,再根据 所学习的函数图象的形状与特点画出草图. 虚线画直线或 据定义 画实保留部分, (2) → → 抛物线或双曲线 域截取 擦去多余部分

[解题过程] (1)这个函数的图象由一些点组成, 这些点都在直线y=1-x上, (∵x∈Z,从而y∈Z),这些点称为整点,如图 (1). (2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y= 2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段弧,如图(2) . (3)当x=1时,y=1,所画函数的图象如图(3).

[题后感悟] (1)描点法作函数图象的步骤:

(2)作函数图象时应注意以下几点: ①在定义域内作图; ②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可 用虚线来衬托整个图象; ③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点 与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心 点还是空心点.

3.(1) 本例 (2) 中,若将函数定义域改 为[0,+∞),作出函数的图象并求其值域; (2)本例(3)中,若将函数定义域改为(-∞,-1) ∪(0,1),作出函数图象并求其值域.

解析: (1)作出 y=2x2-4x-3 的图象 (如图 1)

x∈[0,+∞)

图1

由图象知函数的值域为[-5,+∞). 1 (2)作出 y=x,x∈(-∞,-1)∪(0,1)的图象(如 图 2)

图2 由图象知函数的值域为(-1,0)∪(1,+∞).

函数的三种表示方法的优缺点比较 优点 一是简明、全面地概 解 括了变量间的关系; 析 二是通过解析式可以 法 求出任意一个自变量 所对应的函数值 缺点 不够形象、直观、具 体,而且并不是所有 的函数都能用解析式 表示出来

列 不需要计算就可以直 它只能表示自变量取 表 接看出与自变量的值 较少的有限值的对应 法 相对应的函数值 关系

只能近似地求出自变 图 能形象直观地表示出 量的值所对应的函数 象 函数的变化情况 值,而且有时误差较 法 大 [注意] 函数的三种表示方法相互兼容和补充, 许多函数是可以用三种方法来表示的,但在实 际操作中,仍以解析法为主.

◎已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式. 【错解】 ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设t=x2+2,则f(t)=t2-4.∴f(x)=x2-4. 【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的 定义域.上面的解法,似乎是无懈可击,然而 从其结论,即f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的 定义域,那么按一般理解,就应认为其定义域 是全体实数.但是f(x)=x2-4的定义域不是全 体实数.

事实上,任何一个函数都由定义域、值域和对 应关系f三要素组成.所以,当函数f(g(x))一旦 给出,则其对应关系f就已确定并不可改变,那 么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确 定.因此,我们由f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的 定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一 致才妥. 【正解】 ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 令t=x2+2(t≥2), 则f(t)=t2-4(t≥2), ∴f(x)=x2-4(x≥2).


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