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3.4基本不等式第三课时最后更新


§3.4基本不等式:
第三课时

a?b ab ? 2

复习
a?b 基本不等式: 如果a, ? ab 2 (当且仅当a=b时,式中等号成立)

b∈R+,那么

(1)常用变形:①

a ? b ? 2 ab

( a ? b) ② ab ? 4

2

(2)处理技巧:

①凑项使积成为定值 ②凑项使和成为定值

“一正,二定,三相等”

例1:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少? 解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ? ≥ xy 2当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy ? 2 P? x ? 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 ? 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x? y ? y ? 10

例1:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? A D 解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

题型二——求最值问题
x 2 ? 7 x ? 10 例.求y ? ( x ? ?1)的 最 小 值 . 9 x ?1

3.分离常数法
练 习: x ? 2x ? 2 2 若x ? 1,求 当x ? ____时, y ? 有
2

2x ? 2

最 小 值_________ . 1

题型二——求最值问题

1 1 引例 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u ? ? x y
的最小值.
1 1 x ? 2y x ? 2y 2y x ? ? 3? ? ? 3? 2 2 解析: u ? ? ? x y x y x y
?2y x 2 ? ? y 时,即x ? 2 ? 1, y ? 1 ? 当且仅当? x 时取到等号 . 2 ?x ? 2 y ? 1 ?

4.“1”的代 换

题型二——求最值问题
1 9 (1)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值; 变式: x y

1 9 解:(1)∵x>0,y>0, + =1, x y 1 9 y 9x ∴x+y=( + )(x+y)= + +10≥6+10=16. x y x y y 9x 当且仅当 = , x y 1 9 又 + =1, x y 即 x=4,y=12 时,上式取等号. 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.

题型二——求最值问题
(2)设 x>0,y>0,且 2x+8y=xy,求 x+y 的最小值. 变式:
(2)法一:由 2x+8y-xy=0,得 y(x-8)=2x. 2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= , x-8 ?2x-16?+16 2x ∴x+y=x+ =x+ x-8 x-8 =(x-8)+ =18. 16 当且仅当 x-8= ,即 x=12 时,等号成立. x-8 ∴x+y 的最小值是 18. 16 +10≥2 x-8 16 ? x-8?× +10 x-8

8 2 法二:由 2x+8y-xy=0 及 x>0,y>0,得 + =1. x y 8 2 8y 2x ∴x+y=(x+y)( + )= + +10 x y x y 8y 2x ≥2 · +10=18. x y 8y 2x 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时等号成立. x y ∴x+y 的最小值是 18.

题型二——求最值问题
5 2 引例:已知lgx+lgy=1, ? 的最小值是______. 2 x y
2 练习:正数x, y满足x ? y ? 20,lg x ? lg y的最大值 ____;

5.基本不等式与对数相结合

小结:
在利用基本不等式求最值时要注意三点:
一是各项为正; 二是寻求定值, (1)求和式最小值时应使积为定值, (2)求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形,合理发现拆分项或配凑因式、 “1”的代换是常用的解题技巧);
三是考虑等号成立的条件.


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