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北京市海淀区2016届高三第二学期期中练习数学文试题

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(文科)
2016.4

本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A= ?x ? z | ?2 ? x ? 3? ,B= ?x | ?2 ? x ? 1 ? ,则 A ? B = A. ??2, ?1,0? ? B. ??2, ?1,0,1? ? C. ?x | ?2 ? x ? 1 ? ? D. ?x | ?2 ? x ? 1? 2、已知向量 a ? (1, t ), b ? (t ,9) ,若 a∥b ,则t = A.1? ? B.2? ? C.3? D.4

?

?

? ?

3.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位) ,则输出的S 值为 A.-1 B.1 C.-i D .i

?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 4.若x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 ?y ? 0 ?
A.

5 2

B.3

C.

7 2

D.4

5.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为 A.

3 3

B.

3 2

C.

2 3 3
2

D.

2 6 3

6、已知点P ( x0 , y0 ) 在抛物线W: y ? 4 x 上,且点P到W的准线的距离与点P到x 轴的距离相等,则 x0 的值为 A、

1 2

B、1

C、

3 2

D、2

7.已知函数 f ( x) ? ? A.充分不必要条件

?sin( x ? a), x ? 0 ? ,则“ ? ? ”是“函数 f ( x ) 是偶函数“的 4 ?cos( x ? b), x ? 0
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工 作后获得的效益值如表所示. 若每台机器只完成一项工作, 且完成五项工 作后获得的效益值总和最大,则下列叙述正确的是 A.甲只能承担第四项工作 C.丙可以不承担第三项工作 B.乙不能承担第二项工作 D.获得的效益值总和为78

·1·

二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.函数 y ?

2x ? 2 的定义域为_______.

10.已知数列 ?an ? 的前n项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ,则 a2 ? a1 =_______. 11.已知l 为双曲线C:

? x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线,其倾斜角为 ,且C 的右焦点为(2,0) ,点C的右顶点为__ 2 4 a b

__,则C 的方程为_______. 12.在

1 1 , 2 3.log 3 2 这三个数中,最小的数是_______. 2

13.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若 f (

?

12

) ? f (?

5? ) ? 2 ,则函数 f ( x) 的单调增区间为__ 12

14. 给定正整数k≥2, 若从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点, 组成一个集合M= ? X1 , X 2 ,? ? ? , Xk ? , 均满足 ?X i , X j ? M , ?X s , X t ? M ,使得直线 X i X j ? X s X t ,则k的所有可能取值是___ 三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13 分) 在△ABC 中,∠C=

2? ,a ? 6. 3

(Ⅰ)若c=14,求sinA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为3 3 ,求c的值.

16. (本小题满分13 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列,其前n项和为 Sn ,满足 S2 ? a1 ? 0 , a3 ? 12 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数n,使得 Sn >2016?若存在,求出符合条件的n的最小值;若不存在,说明理由。

17. (本小题满分14 分) 如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD为正方形, 点M , N分别为线段PB, PC 上的点, MN⊥PB. (Ⅰ)求证: 平面PBC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M N ∥平面ABCD; (Ⅲ)当AB=3,PA=4时,求点A到直线MN距离的最小值。

·2·

18. (本小题满分13 分) 一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某班选出10人参加 活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图 所示。 (I)根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
2 2 (II)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 s1 , s2 ,试 2 2 比较 s1 与 s2 的大小(只需直接写出结果) ;

(III)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素 养测试成绩均为优良的概率。 (注:成绩大于等于75分为优良)

19. (本小题满分14 分)

x2 y 2 3 已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且|AB|=2. a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M , N 两点.是否存在点P使得以MN 为 直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分13 分)

1? x ex (Ⅰ)求曲线 y ? f (x)在点(0,f(0) )处的切线方程;
已知函数f (x) = (Ⅱ)求函数f (x)的零点和极值; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ?[a, ??) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 成立,求实数 a 的最小值。 e2

·3·

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分)

9. [1, ??)

10. 2 13. [?

11. ( 2,0),

x2 y2 ? ?1 2 2

12.

1 2

5π π ? kπ, ? kπ],k ? Z 12 12

6, 7, 8 14. 5,

说明:1.第 9 题,学生写成 x ? 1 的不扣分 2.第 13 题写成开区间 (?

5π π ? kπ, ? kπ),k ? Z 的不扣分, 12 12

没有写 k ? Z 的,扣 1 分 3. 第 14 题有错写的,则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分,两个都写出,没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5,6 中之一的给 2 分,两个都写出,且没有错误的情况之下给 4 分 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 方法一: 在 ?ABC 中,因为

a c ? , sin A sin C

……………………….2 分

6 14 ? 即 sin A 3 2
所以 sin A ?

……………………….3 分

3 3 . 14

……………………….5 分
A

方法二:过点 B 作线段 AC 延长线的垂线,垂足为 D 因为 ?BCA ?

2π π ,所以 ?BCD ? 3 3

……………………….1 分
B 6

14



在 Rt ?BDC 中, BD ?

3 BC ? 3 3 2

3 C

……………………….3 分
D

·4·

在 Rt ?ABD 中, sin A ? (Ⅱ)方法一: 因为 S ?ABC ? 所以 3 3 ?

BD 3 3 ? AB 14

……………………….5 分

1 ? a ? b ? sin C . 2

……………………….7 分

1 3 ?6? ? b ,解得 b ? 2 . 2 2

……………………….9 分

又因为 c2 ? a 2 ? b2 ? 2a ? b ? cos C . 所以 c ? 4 ? 36 ? 2 ? 2 ? 6 ? ( ? ) ,
2

…………………….11 分

1 2

所以 c ? 52 ? 2 13 .

…………………….13 分

方法二:过点 A 作线段 BC 延长线的垂线,垂足为 D
A

2π π , 所以 ?ACD ? . 因为 ?ACB ? 3 3 1 又因为 S ?ABC ? ? BC ? AD , 2 1 即 3 3 ? ? 6 ? AD , 2
所以 AD ? 3 , CD ? 1 . 在 Rt ?ABD 中, AB 2 ? BD 2 ? AD 2 . 所以 AB ? 52 ? 2 13 . 16.解: (Ⅰ) 设数列 ?an ? 的公比为 q , 因为 S2 ? a1 ? 0 ,所以 2a1 ? a1q ? 0 . 因为 a1 ? 0, 所以 q ? ?2, 又因为 a3 ? a1q2 ? 12 , 所以 a1 ? 3 , 所以 an ? 3? (?2)n?1 (或写成 an ? ?

……………………….7 分
2π B 6 3 C 1

3

D

……………………….9 分 ……………………….11 分 …………………….13 分

……………………….1 分 ……………………….2 分 ……………………….3 分 ……………………….4 分

3 ? (?2) n ) 2

……………………….7 分

说明:这里的 公式都单独有分,即如果结果是错的,但是通项公式或者下面的前 n 项和公式正确写出的,都给 2 分

·5·

(Ⅱ)因为 Sn ?

n 3? ? ?1 ? (?2) ? ?

1 ? (?2)
n

? 1 ? (?2) n .
n

……………………….10 分 ……………………….11 分

令 Sn ? 2016 , 即 1 ? (?2) ? 2016 ,整理得 (?2) ? ?2015 . 当 n 为偶数时,原不等式无解; 当 n 为奇数时,原不等式等价于 2 ? 2015 ,解得 n ? 11 ,
n

所以满足 Sn ? 2016 的正整数 n 的最小值为 11.

……………………….13 分

17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 又 AB ? PA ? A , AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAB .

……………………….1 分 ……………………….2 分 ……………………….3 分 ……………………….4 分 ……………………….5 分

(Ⅱ)证明: 由(Ⅰ)知,
BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB .

……………………….6 分 ……………………….7 分 ……………………….9 分 …………………….10 分

在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN / / BC , 又 BC ? 平面 ABCD , MN ? 平面 ABCD , 所以 MN //平面 ABCD .

(Ⅲ)解:因为 MN / / BC , 所以 MN ? 平面 PAB , 而 AM ? 平面 PAB ,所以 MN ? AM , 所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离, 而点 M 在线段 PB 上 所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离, 在 Rt ?PAB 中, AB ? 3, PA ? 4, 所以 A 到直线 MN 的最小值为 18.解: (Ⅰ)设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 x1 , x2 . 则 x1 ?

…………………….11 分 …………………….12 分 …………………….13 分

12 . 5

…………………….14 分

64 ? 76 ? 77 ? 78 ? 73.75 4 56 ? 79 ? 76 ? 70 ? ?88 ? 87 x2 ? ? 76 6

……………………….2 分 ……………………….4 分

·6·

(Ⅱ)女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.

……………………….7 分

(Ⅲ)设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A , 男生按成绩由低到高依次编号为 a1 , a2 , a3 , a4 , 女生按成绩由低到高依次编号为 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , 则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法

……………………….8 分

…………………….10 分

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a1 , b5 ) , (a1 , b6 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 ) ,
其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 …………………….12 分

(a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) , (a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 )
所以 P ( A) ?

12 1 ? , 24 2
1 . 2
…………………….13 分

即两名同学成绩均为优良的概率为

19. 解: (Ⅰ)由已知 AB ? 2 ,得知 2b ? 2 , b ? 1 , ……………………….1 分

又因为离心率为
2 2 2

3 c 3 ,所以 ? . a 2 2

……………………….2 分

因为 a ? b ? c ,所以 a ? 2, , 所以椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)解法一:假设存在. 设 P( x0 , y0 )

……………………….4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………….5 分

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0
·7·

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0
……………………….8 分

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ?1, x0 x0

所以 MN ? m ? n ? 2 ?

8 , x0

……………………….9 分

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0

……………………….10 分

若以 MN 为直径的圆经过点 (2,0) , 则 (4 ? 2)2 ? (

4 y0 4 ? 0)2 ? (1 ? )2 , x0 x0

……………………….11 分

因为点 P 在椭圆上,所以

8 x0 2 ? y0 2 ? 1 ,代入化简得 1 ? ? 0 , ……………………….13 分 4 x0

所以 x0 ? 8 , 而 x0 ? ?2, 2 ,矛盾, 所以这样的点 P 不存在. ……………………….14 分

?

?

解法二:

0) . 假设存在,记 D (2,
设 P( x0 , y0 )

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

……………………….8 分

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
……………………….9 分

???? ? ???? ? 因为 MN 为直径,所以 DM ? DM ? 0

·8·

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ???? ? ???? ? 1) ? (2, ? 1) ? 0 所以 DM ? DN ? (2, x0 x0
???? ? ???? 16 y02 ? (4 ? x0 )2 ?0 所以 DM ? DN ? 4 ? x02
因为点 P 在椭圆上,所以

……………………….11 分

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

……………………….12 分

???? ? ???? ?4 x02 ? 8 x0 ? x02 8 x0 ? x02 ? ?0 代入得到 DM ? DN ? 4 ? x02 x02
所以 x0 ? 8 ,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾 所以不存在 法三 :

……………………….13 分

……………………….14 分

0) , H (4, 0) 假设存在,记 D (2,
设 P( x0 , y0 )

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

……………………….8 分

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
所以 DH 2 ? HN ? HM ……………………….9 分

因为 DH ? MN , 所以 4 ? |

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1| ? | ? 1| x0 x0
……………………….11 分

所以 4=|

16 y02 ? 16 ? 8 x0 ? x02 | x02

因为点 P 在椭圆上,所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

……………………….12 分

代入得到 4 ?|

8 ? 5 x0 |, x0

·9·

解得 x0 ? 8 或 x0 ?

8 9

……………………….13 分

当 x0 ? 8 时,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾 当 x0 ?

8 时,点 M , N 在 x 轴同侧,矛盾 9
……………………….14 分

所以不存在

20.解: (Ⅰ)因为 f '( x) ? 所以 f '(0) ? ?2 .

x?2 , ex

……………………….1 分 ……………………….2 分

因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 .……………………..4 分 (Ⅱ)令 f ( x) ?

1? x ? 0 ,解得 x ? 1 , ex
……………………….5 分

所以 f ( x) 的零点为 x ? 1 . 由 f '( x) ?

x?2 ? 0 解得 x ? 2 , ex

则 f '( x ) 及 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x ) f ( x)

(??, 2)

2 0

(2, ??)

?
1 e2

?

极小值 ?

?

……………………….7 分 所以函数 f ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值 ?

1 e2

……………………….8 分

(Ⅲ)法一:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ?

……………………….9 分

若 a ? 1 ,由(Ⅱ)可知 f ( x ) 的最小值为 f (2) , f ( x ) 的最大值为 f ( a ) ,…………………….10 分 所以“对任意 x1 , x2 ? [a, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 即?

1 1 恒成立”等价于 f (2) ? f (a) ? ? 2 2 e e
……………………….11 分 ……………………….12 分 ……………………….13 分

1 1? a 1 ? a ?? 2 , 2 e e e

解得 a ? 1 . 所以 a 的最小值为 1.

法二:
·10·

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ?

……………………….9 分

1 , e2

……………………….10 分

若 a ? 1 ,令 x1 ? 2, x2 ? [a,1) ,则 x1 , x2 ? [a, ??) 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f (2) ? ? 所以 a ? 1 . 当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2) ? ? 综上, a 的最小值为 1.

1 ,不符合要求, e2
……………………….11 分

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

……………………….12 分 ……………………….13 分

法三:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ? 若 2 ? [a, ??) ,即 a ? 2 时, 令 x1 ? 2, 则任取 x2 ? [a, ??) , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (2) ? f ( x2 ) ? ?

……………………….9 分

1 , e2

……………………….10 分

1 1 ? f ( x2 ) ? ? 2 2 e e

所以 f ( x2 ) ? 0 对 x2 ? [a, ??) 成立, 所以必有 x2 ? 1 成立,所以 [a, ??) ? [1, ? ? ?) ,即 a ? 1 . 而当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2) ? ? ……………………….11 分

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

……………………….12 分

而当 a ? 2 时,求出的 a 的值,显然大于 1, 综上, a 的最小值为 1. ……………………….13 分

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·11·


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