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2018_2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.5平面上两点间的距离课时作业苏教版必修2

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2.1.5 平面上两点间的距离

[学业水平训练] 1.已知点 A(1,-1),B(2,3),则线段 AB 的长为________.

解析:AB= - 2+ -1- 2= 1+16= 17.

答案: 17 2.已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点 P(x,y)到原点的距离是________. 解析:根据中点坐标公式得到x-2 2=1 且5-2 3=y,

解得 x=4,y=1,所以点 P 的坐标为(4,1),则点 P(x,y)到原点的距离

d=

- 2+ - 2= 17.

答案: 17 3.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线方程是________.

解析:∵kAB=21- -13=-12,∴AB 的中垂线的斜率为 2,



AB

1+3 1+2

3

中点为( 2 , 2 ),即(2,2),

故线段 AB 的垂直平分线方程是 y-32=2(x-2),

即 4x-2y=5. 答案:4x-2y=5 4.x 轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是________.

解析:点(1,1)关于 x 轴的对称点坐标为(1,-1),要求的最小值为 - 2+ -1- 2

= 10.

答案: 10 5.已知 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形 ABCD 的形状为________.

解析:由 kAB=12,kCD=12,kBC=-2,kAD=-2 得

AB ∥CD,BC∥AD,AB⊥BC,ABCD 为矩形,

又 AB=

+ 2+ - 2= 5,

BC= -1- 2+ + 2= 5,∴AB=BC, 故 ABCD 为正方形.

答案:正方形 6.直线 l1:x-y+1=0 关于点 P(1,1)对称的直线 l2 的方程为________. 解析:法一:设点 M(x,y)是直线 l2 上的任意一点,点 M 关于点 P(1,1)的对称点为 N,则 N 点坐标为(2-x,2-y). ∵直线 l1 与 l2 关于点 P(1,1) 对称, ∴点 N(2-x,2-y)在直线 l1 上, ∴(2-x)-(2-y)+1=0,即 x-y-1=0. ∴直线 l2 的方程为 x-y-1=0. 法二:因为点 P 不在直线 l1 上,所以 l2∥l1,设 l2 的方程为 x-y+c=0,在 l1 上取点 A(- 1,0),则 A 关于点 P 的对称点 A′(3,2)在直线 l2 上,所以 3-2+c=0,即 c=-1,所以 l2 的方程为 x-y-1=0.

1

答案:x-y-1=0 7.已知过点 P(0,1)的直线 l 和两直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0 相交于两点, 点 P(0,1)恰好是两交点的中点,求直线 l 的方程. 解:法一:过点 P 与 x 轴垂直的直线显然不合要求,故设直线 l 的方程为 y=kx+1,若与

两已知直线分别交于 A,B 两点,则解方程组?????yx= -k3xy+ +110=0

和?????y2= x+kxy+ -18=0 , 可得 xA=3k7-1,xB=k+7 2.

7

7

由题意3k-1+k+2=0,

∴k=-14.故所求直线方程为 x+4y-4=0.

法二:设 l 与 l1、l2 的交点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2).

∵A 为 l1 上的点,B 为 l2 上的点,

∴x1-3y1+10=0,2x2+y2-8=0.

∵AB 的中点为 P(0,1),

∴x1+x2=0,y1+y2=2.

∴x2=-x1,y2=2-y1.

∴???x1-3y1+10=0, ??2x1+y1+6=0,

∴???x1=-4, ??y1=2.

∴x2=4,y2=0.∴A(-4,2)、B(4,0).

∴直线 l 的方程为 y-0=-2- 4-04(x-4),

即 x+4y-4=0. 8.求证:梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半. 证明:如图为梯形 ABCD,以线段 BC 的中点为原点,直线 BC 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系.分别取 AB,CD,AC 的中点 E,F,G.连结 EG,GF. 设 A(a,b),C(c,0),则 B(-c,0).AB 的中点 E 的坐标是(a-2 c,b2),AC 的中点 G 的坐标是

a+c b ( 2 ,2).

EG=

a-c a+c 2-2

2+

bb 2-2

2=|c|;

BC=2|c|.∴EG=12BC.

∴又 E,G 的纵坐标相同,∴EG∥BC. 同理可证,FG=12AD,FG∥AD.

于是可得 EF∥AD∥BC,EF=EG+FG=12(BC+AD).

而 EF 即为梯形的中位线, 故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半.
[高考水平训练] 1.光线从点 A(-3,5)出发,经 x 轴反射后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离为________. 解析:利用光学原理,求出点 B(2,10)关于 x 轴的对称点 B′(2,-10).根据两点间的距离

公式,

2

得 AB′= -3- 2+ + 2=5 10.
答案:5 10 2.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一直线与函数 f(x)=2x的图象交于 P、Q 两点, 则线段 PQ 长的最小值是________. 解析:由题知:直线的斜率 k 存在且 k>0,

??y=kx 设方程为 y=kx,则由???y=2x

??x= 得?

2 k

??y= 2k

??x=- 或?

2 k

??y=- 2k



∴PQ2=4(2k+2k),令 f(k)=2k+2k.

∵k>0,且当 0<k<1 时,函数 f(k)为减函数, 当 k>1 时,函数 f(k)为增函数, ∴当 k=1 时,函数 f(k)取最小值 4, 即 PQ2 取得最小值 16,PQ 取得最小值 4. 答案:4 3.求点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点坐标. 解:设点 A′(a,b)是点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点,则有 AA′与已知直线垂 直且线段 AA′的中点在已知直线上.

??1 b-2 2·a-2=-1, ∴
? a+2 b+2 ??2· 2 -4· 2 +9=0.

解得 a=1,b=4. ∴所求对称点坐标为(1,4).

4.已知倾斜角为 45°的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,AB=3 2. (1)求点 B 的坐标. (2)对于平面上任一点 P,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 PQ 的最小值为 P 与线段 AB 的距离.已 知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P(t,0)到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式. 解:(1)直线 AB 方程为 y=x-3,设点 B(x,y),

由?????y=xx--3 2+ y+

2=18

及 x>0,y>0

得 x=4,y=1,点 B 的坐标为(4,1).

(2)设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q(x,x-3),

PQ= x-t 2+ x- 2,

记 f(x)= x-t 2+ x- 2,



x-t+2 3

2+

t- 2

2
(1≤x≤4),



t+3 1≤ 2 ≤4

时,即-1≤t≤5

时,

PQmin=f(t+2 3)=

2|t-3| 2,

当t+2 3>4,即 t>5 时,f(x)在[1,4]上单调递减,

∴PQmin=f(4)= t- 2+1;

3

当t+2 3<1,即 t<-1 时,f(x)在[1,4]上单调递增,

PQmin=f(1)= 综上所述,

t- 2+4.

??? h(t)=

t- 2+4

t<-1

2|t-3| 2

-1≤t≤5.

?? t- 2+1 t>5

4


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