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【最新】高中数学必修二:全册作业与测评课时提升作业(一)

课时提升作业(一)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.下列几何体中棱柱有 ( )

(15 分钟 30 分)

A.5 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

【解析】选 D.由棱柱的三个结构特征知,①③为棱柱.

2.(2015·吉林高二检测)下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 ( )

【解析】选 D. A,B,C 中底面多边形的边数与侧面数不相等.故符合条件的是 D. 【补偿训练】下列图形中,不能折成三棱柱的是 ( )

【解析】选 C.C 中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱.其他各项均能折成

三棱柱.

3.(2015·长春高二检测)有两个面平行的多面体不可能是 ( )

A.棱柱

B.棱锥

C.棱台

D.长方体

-1-

【解析】选 B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱

锥.

【补偿训练】(2015·青岛高一检测)棱台不具有的性质是 ( )

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后交于一点

【解析】选 C.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,所以两底面相似,

侧棱延长后交于一点,侧面都是梯形,故 A,B,D 选项都正确.

【拓展延伸】棱台定义的应用

(1)为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台.

(2)如果解棱台问题遇到困难,可以将它还原为棱锥去看,因为它是由棱锥截来

的.

(3)可以利用两底是相似多边形进行有关推算.

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)

4.(2015·深圳高一检测)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别为 CD,BC 的中点,沿

AE,AF,EF 将其折成一个多面体,则此多面体是

.

【解析】此多面体由四个面构成,故为三棱锥,也是四面体.

答案:三棱锥(四面体)

5.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60cm,则每条侧棱长为

cm.

【解析】是五棱柱,侧棱长相等,为 60÷5=12(cm).

答案:12

-2-

【补偿训练】多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱? 【解析】多面体最少有 4 个面,4 个顶点,6 条棱(即三棱锥). 三、解答题 6.(10 分)试从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空 间几何体,并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥. (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. (3)三棱柱.
【解题指南】(1)根据正方体的棱相等,面对角线都相等,可连对角线得到.(2) 根据正方体的特征,只能由对角线连接而成.(3)根据棱柱底面平行可在相邻侧 面上画平行线截得. 【解析】(1)如图所示,三棱锥 A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图所示,三棱锥 B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图所示,三棱柱 A1B1D1-ABD(答案不唯一).
-3-

(15 分钟 30 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·日照高一检测)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个 小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )

A.棱柱

B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体

D.不能确定

【解析】选 A.长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终

有两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共

边互相平行,这符合棱柱的定义.

2.(2015·天津高一检测)一个棱柱的底面是正六边形,侧面都是正方形,用至少

过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱,所得截

面的形状不可以是 ( )

A.等腰三角形

B.等腰梯形

C.五边形

D.正六边形

【解析】选 D.如图,由图可知,截面 ABC 为等腰三角形,选项

A 可能,截面 ABEF 为等腰梯形,选项 B 可能,

截面 ADE 为五边形,选项 C 有可能,

选项 D 不可能.

-4-

【补偿训练】(2015·嘉兴高一检测)如图都是正方体的表面展开图,还原成正方 体后,其中两个完全一样的是 ( )

A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(3)(4)

D.(1)(4)

【解题指南】让其中一个正方形不动,其余各面沿这个正方形的各边折起,进行

想象后判断.

【解析】选 B.在图(2)、(3)中,⑤不动,把图形折起,则②⑤为对面,①④为对面,

③⑥为对面,故图(2)、(3)完全一样,而(1)、(4)则不同.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

3.(2015·成都高二检测)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱

台分成

个三棱锥.

【解题指南】在原棱台中适当添加辅助线是正确分割此几何体的关键.

【解析】如图所示,在三棱台 ABC-A1B1C1 中,分别连接 A1B,A1C,BC1,则将三棱台分

成 3 个三棱锥,即三棱锥 A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.

答案:3

4.(2015·北京高一检测)一个正方体的六个面上分别标有字母 A,B,C,D,E,F,如

图是此正方体的两种不同放置,则与 D 面相对的面上的字母是

.

-5-

【解析】由此正方体的两种不同放置可知:与 C 相对的是 F,因此 D 与 B 相对. 答案:B 三、解答题 5.(10 分)根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形.
【解题指南】把图中相同的点重合,沿虚线折叠成立体图形. 【解析】图 1 是以 ABCD 为底面,P 为顶点的四棱锥. 图 2 是以 ABCD 和 A1B1C1D1 为底面的棱柱. 其图形如图所示.
【拓展延伸】解多面体的表面展开图问题的关键 解多面体的表面展开图问题的关键是弄清楚展开图与原图的关系.由展开图还 原为空间图形时,可以固定其中一个面(如棱柱、棱锥的底面),翻折其他面.另外, 动手做模型进行实际操作也是很好的方法. 【补偿训练】长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点 A 出发沿 表面爬行到点 C1,求蚂蚁爬行的最短路线. 【解析】沿长方体的一条棱剪开,使 A 和 C1 展在同一平面上,求线段 AC1 的长即 可,有如图所示的三种剪法:
-6-

(1)若将 C1D1 剪开,使面 AB1 与面 A1C1 共面,可求得

AC1=

=.

(2)若将 AD 剪开,使面 AC 与面 BC1 共面,可求得

AC1=

=.

(3)若将 CC1 剪开,使面 BC1 与面 AB1 共面,可求得

AC1=

=.

比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 .

【拓展延伸】空间几何体中的最短路线问题的解法

空间几何体中的最短路线问题通常是以“平面内连接两点的线中,线段最短”为

原则引出来的,解题策略通常是用“转化的方法”,应用侧面展开图把空间图形

展开成平面图形,从而把空间问题归为平面问题.

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-7-


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