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圆的标准方程


高中数学说课稿: 《圆的标准方程》说课稿范文
【一】教学背景分析 1.教材结构分析 《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形,在实际生活和生 产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开始,对后续直线与圆 的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是方法上都有着积极的意义,所以本节内容在整个 解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后,又掌卧了求曲线方程的一般方法的基础上进行 研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的运用还不够熟练,在学习过 程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定如下教学目标: 3.教学目标 (1) 知识目标:①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析,我确定如下的教学重点和难点: 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点: ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上进行分析: 【二】教法学法分析 1.教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“启发式”问题教学法,用环环相扣的问题 将探究活动层层深入, 使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教 学,借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣,又直观的引导了学生建模的过程. 2.学法分析 通过推导圆的标准方程,加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程,理解 必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程,熟悉用待定系数法求的过程. 下面我就对具体的教学过程和设计加以说明: 【三】教学过程与设计 整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的,共分为五个环节:创设情境 启迪思维 深入探究 获 得新知 应用举例 巩固提高 反馈训练 形成方法 小结反思 拓展引申

下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图. 首先:纵向叙述教学过程

(一)创设情境——启迪思维

问题一 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行

驶,一辆宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?通过对这个实际问题的探究,把学生的思维由用 勾股定理求线段 CD 的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般 方法,另一方面,在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点,半径为 4 的圆的标准 方程,从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境,让学生感受到问题来源于实际,应用于 实际,激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移. 通过对问题一的探究,抓住了学生的注意力,把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来,此时再 把问题深入,进入第二环节. (二)深入探究——获得新知 问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程? 2.如果圆心在,半径为时又如何呢? 这一环节我首先让学生对问题一进行归纳,得到圆心在原点,半径为 4 的圆的标准方程后,引导学生 归纳出圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三 种方法等待着学生的探究结果,分别是:坐标法、图形变换法、向量平移法. 得到圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台,进入第三环节. (三)应用举例——巩固提高 I.直接应用 内化新知 问题三 1.写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径为 3; (2)经过点,圆心在点. 2.写出圆的圆心坐标和半径. 我设计了两个小问题,第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程,第二题是给出圆 的标准方程求圆心坐标和半径,这两题比较简单,可以安排学生口答完成,目的是先让学生熟练掌握圆心 坐标、半径与圆的标准方程之间的关系,为后面探究圆的切线问题作准备. II.灵活应用 提升能力 问题四 1.求以点为圆心,并且和直线相切的圆的方程. 2.求过点,圆心在直线上且与轴相切的圆的方程. 3.已知圆的方程为,求过圆上一点的切线方程.

你能归纳出具有一般性的结论吗? 已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是什么? 我设计了三个小问题,第一个小题有了刚刚解决问题三的基础,学生会很快求出半径,根据圆心坐标 写出圆的标准方程.第二个小题有些困难,需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解,从而 理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多, 我预设了四种方法再一次为学 生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想,在论证经过圆上一点圆的切线 方程的过程中,又一次模拟了真理发现的过程,使探究气氛达到高潮. III.实际应用 回归自然 问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时每隔 4m 需 用一个支柱支撑,求支柱的长度(精确到 0.01m). 我选用了教材的例 3,它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用,同时也与引例相呼应,使学 生形成解决实际问题的一般方法,培养了学生建模的习惯和用数学的意识. (四)反馈训练——形成方法 问题六 1.求过原点和点,且圆心在直线上的圆的标准方程. 2.求圆过点的切线方程. 3.求圆过点的切线方程. 接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中,我设计三个小题作为巩固性训练,给学生一块“用武” 之地,让每一位同学体验学习数学的乐趣,成功的喜悦,找到自信,增强学习数学的愿望与信心.另外第 3 题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程,由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程,因 此很容易产生思维的负迁移,另外这道题目有两解,学生容易漏掉斜率不存在的情况,这时引导学生用数 形结合的思想,结合初中已有的圆的知识进行判断,这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果. (五)小结反思——拓展引申 1.课堂小结 把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结,提炼数形结合的思想和待定系数的方法 ①圆心为,半径为 r 的圆的标准方程为: 圆心在原点时,半径为 r 的圆的标准方程为:. ②已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:. 2.分层作业

(A)巩固型作业:教材 P81-82:(习题 7.6)1,2,4.(B)思维拓展型作业:试推导过圆上一点的切线方 程. 3.激发新疑 问题七 1.把圆的标准方程展开后是什么形式? 2.方程表示什么图形? 在本课的结尾设计这两个问题,作为对这节课内容的巩固与延伸,让学生体会知识的起点与终点都蕴 涵着问题,旧的问题解决了,新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节 课研究圆的一般方程作了重要的准备. 以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图,接下来,我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计: 横向阐述教学设计 (一)突出重点 抓住关键 突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉 圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路, 在突出重点的同时突破了难点. 第二个教学难点就是解决实际应用问题,这是学生固有的难题,主要是因为应用问题的题目冗长,学 生很难根据问题情境构建数学模型,缺乏解决实际问题的信心,为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的 实例进行引入,激发学生的求知欲,同时我借助多媒体课件的演示,引导学生真正走入问题的情境之中, 并从中抽象出数学模型,从而消除畏难情绪,增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一 般模式, 并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计, 使学生在解决问题的同时, 形成了方法,难点自然突破. (二)学生主体 教师主导 探究主线 本节课的设计用问题做链,环环相扣,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是 在问题的指引、我的指导下,由学生探究完成的.另外,我重点设计了两次思维发散点,分别是问题二和问 题四的第三问,要求学生分组讨论,合作交流,为学生设立充分的探究空间,学生在交流成果的过程中, 既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛,又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究 活动并走向成功,在一个个问题的驱动下,高效的完成本节的学习任务. (三)培养思维 提升能力 激励创新 为了培养学生的理性思维,我分别在问题一和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养 学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我利用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联 系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,使能 力与知识的形成相伴而行.

以上是我对这节课的教学预设,具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当调整,向生成 性课堂进行转变.最后我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性,力争“使教育过程成为 一种艺术的事业”.

高中数学说课稿: 《点到直线的距离》说课稿范文说课:点到直线的距离
1. 教材分析 1?-1 教学内容及包含的知识点 (1) 本课内容是高中数学第二册第七章第三节《两条直线的位置关系》的最后一个内容 (2) 包含知识点:点到直线的距离公式和两平行线的距离公式 1-2 教材所处地位、作用和前后联系 本节课是两条直线位置关系的最后一个内容,在此之前,有对两线位置关系的定性刻画:平行、垂直, 以及对相交两线的定量刻画:夹角、交点。在此之后,有圆锥曲线方程,因而本节既是对前面两线垂直、 两线交点的复习,又是为后面计算点线距离(在直线和圆锥曲线构成的组合图形中)提供一套工具。 可见,本课有承前启后的作用。 1-3 教学大纲要求 掌握点到直线的距离公式 1-4 高考大纲要求及在高考中的显示形式 掌握点到直线的距离公式。在近年的高考中,通常以直线和圆锥曲线构成的组合图形为背景,判断直 线和圆锥曲线的位置或构成三角形求高,涉及绝对值,直线垂直,最小值等。 1-5 教学目标及确定依据 教学目标 (1) 掌握点到直线的距离的概念、公式及公式的推导过程,能用公式来求点线距离和线线距离。 (2) 培养学生探究性思维方法和由特殊到一般的研究能力。 (3) 认识事物之间相互联系、互相转化的辩证法思想,培养学生转化知识的能力。 (4) 渗透人文精神,既注重学生的智慧获得,又注重学生的情感发展。 确定依据: 中华人民共和国教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(2002 年 4 月第一版),《基础 教育课程改革纲要(试行)》,《高考考试说明》(2004 年) 1-6 教学重点、难点、关键 (1) 重点:点到直线的距离公式 确定依据:由本节在教材中的地位确定 (2) 难点:点到直线的距离公式的推导 确定依据:根据定义进行推导,思路自然,但运算繁琐;用等积法推导,运算较简单,但思路不自然, 学生易被动,主体性得不到体现。 分析“尝试性题组”解题思路可突破难点 (3)关键:实现两个转化。一是将点线距离转化为定点到垂足的距离;二是利用等积法将其转化为直 角三角形中三顶点的距离。 2.教法 2-1 发现法:本节课为了培养学生探究性思维目标,在教学过程中,使老师的主导性和学生的主体性 有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己练习“尝试性题组”,引导、启发学生分析、发现、 比较、论证等,从而形成完整的数学模型。

确定依据: (1)美国教育学家波利亚的教与学三原则:主动学习原则,最佳动机原则,阶段渐进性原则。 (2)事物之间相互联系,相互转化的辩证法思想。 2-2 教具:多媒体和黑板等传统教具 3. 学法 3-1 发现法:丰富学生的数学活动,学生经过练习、观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的 方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。 一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 3-2 学情: (1)知识能力状况,本节为两线位置关系的最后一个内容,在这之前学生已经系统的学习了直线方程 的各种形式,有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识,为本节推证公式涉及到直线方程、 两线垂直、两线交点作好了知识储备。同时学生对解析几何的实质中,用坐标系沟通直线与方程的研究办 法,有了初步认识,数形结合的思想正逐渐趋于成熟。 (2)心理特点:又见“点到直线的距离”(初中已学习定义),学生既熟悉又陌生,既困惑又好奇, 探询动机由此而生。 (3)生活经验:数学源于生活,生活中的点线距随处可见,怎样将实际问题数学化,是每个追求成长、 追求发展的学生所渴求的一种研究能力。丰富的课堂数学活动能够让他们真正参与,体验过程,锤炼意志, 培养能力。 3-3 学具:直尺、三角板 3. 教学程序 教学环节 教学过程 设计意图

师:“距离产生美”。昨天我与**同学相隔遥远,彼 提问一:还原学生的数学现实,诱发 此毫无感觉,今天的零距离荡漾着亲切,却少了想象 动机,乐于参与。 的空间,看来把握恰当的距离才能感知美好。 提问二:既可点燃数形结合的思想, (1) 你有什么办法能得到我(A 点)和**同学(B 点)之 又可唤醒两点间距离公式。 间的距离? 根据认识发展理论,学生认知结构的 唤 醒 创 设 情旧 景 ( 三知 分 钟 ) 生: 思考,回答。 发展是在其认识的过程中伴随同化和 顺应的认知结构不断再建构的过程, (2) “形缺数时难入微”。(1)中的各种办法中哪个较 达到以旧悟新的目的。 (1)(2)两问的 好?还有没有更好的办法。 生: 比较,回答。 教学机智: 针对学生的回答,老师进行引导。老师进 行铺垫、递进,或深入、拓展。 师: 由此看来, 两点间距离公式成为解决该问题的首 选。让我们一鼓作气,继续努力。 提 出 问 创设“不愤不启,不悱不发”的学习 师: “点动成线”。当点 B 运动形成一直线 点明课题,使学生明确学习目标。 解决为后继知识作好了铺垫。

题 时,此时又怎样求点 A 到直线

情景。

的距离呢? 生: 定性回答

教学环节

教学过程 多媒体,出示材料 生: 练习: “尝试性题组” A到 练习

设计意图 尝试性题组告诉学生下手不难,还负 责特例检验,从而增强学生参与的信 心。

的距离为 d (1) A(2,4),

比较 :x = 3, d=_____ 探 究 问 题 ( 十 二 分 钟 ) 发现 :y = 3,d=_____ (3) A(2,4), (2) A(2,4),

:x – y = 0,d=_____ 归纳 请三个同学上黑板板演 师: 请这三位同学分别说说自己的解题思路。 生: 回答 教学机智:应沉淀为三种思路:一,根据定义转化为 讨论 定点到垂足的距离;二,利用等积法转化为直角三角 说解题思路,一是让学生清晰有条理 的表达自己的思考过程,二是其求解 过程提示了证明的途径 ( 根据定义或 画坐标线时正好交出一个直角三角 形)

形中三个顶点之间的距离;三,利用直角三角形中的 验证 边角关系。 视回答的情况, 老师进行肯定、 修正或补充提问: “还 有其他不同的思路吗”。 师:很好,刚才我们解决了定点到特殊直线的距离问 设置此问,一是使学生的认知由特殊 题,那么,点 P(x0,y0)到一般直线 向一般转化,发现可能的方法,二是 让学生体验数学活动充满着探索和创 造,感受数学的生机和乐趣。 :Ax+By+C=0(A,B≠0)的距离又怎样求? 教学机智:如学生反应不大,则补充提问:上面三个 题的解题思路对这个问题有启示吗? 生:方案一:根据定义 方案二:根据等积法 方案三: ...... “师生共作”体现新型师生观 设计意图 培养学生严谨, 周密的逻辑推理能力, 得到一般性结论,形成完整的数学模 问题解决 由学生推证点到直线的距离公式 ( 十 分 钟 ) 型,感受数学的严谨性和数学结论的 确定性,形成科学的态度。 在推证的过程中,通过克服困难的经 历,以及获得成功的体验,锻炼意志, 增强信心。 师: 当点 A 也运动形成直线

师生一起进行比较,锁定方案二进行推证。 教学环节 教学过程

',且

问题延伸 (八 分 钟) '//

“没有新知识,新知识均是旧知识的 组合”,创设此问可发挥学生的创造 性,增加学生的成就感。

时,又怎样求这两线的距离? 生:计算得线线距离公式

师:板书点到直线的距离公式,两平行线间距离公式 反思小结 经验共享 (六 分 钟) 练习 P53 练习 1, 2,3 (五 分 钟) 再度延伸 探索其他推导方法 (一 分 钟) 4. 教学评价 学生完成反思性学习报告,书写要求: (1) 整理知识结构 (2) 总结所学到的基本知识,技能和数学思想方法 (3) 总结在学习过程中的经验,发明发现,学习障碍等,说明产生障碍的原因 (4) 谈谈你对老师教法的建议和要求。 作用: (1) 通过反思使学生对所学知识系统化。反思的过程实际上是学生思维内化,知识深化和认知牢固化的一 个心理活动过程。 (2) 报告的写作本身就是一种创造性活动。 (3) 及时了解学生学习过程中的知识缺陷,思维障碍,有利于教师了解学生对自己的教法的满意度和效果, 以便作出及时调整,及时进行补偿性教学。 5. 板书设计 (略) 6. 教学的反思总结 心理历练,得意之处,困惑之处,知识的传承发展,如何修正完善等。 “带着问题进课堂,带着更多的问题 出课堂”,让学生真正学会学习。 对本节课用到的技能,数学思维方法 师: 通过以上的学习,你有哪些收获?(知识,能力, 等进行小结,使学生对本节知识有一 情感)。有哪些疑问?谁能答这些疑问? 个整体的认识 生: 讨论,回答 共同进步,各取所长 熟练的用公式来求点线距离和线线距 离。

说课题目:等比数列的前 n 项和(第一课时)
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广 泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化 归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.

2.从学生认知角度看
从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、 特点等方 面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊 情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错.

3. 学情分析
教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力, 逻辑思维 能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、 不严谨.

4. 重点、难点
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用. 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴 含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点.

二、目标分析
知识与技能目标:
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题.

过程与方法目标:
通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转 化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的 能力.

情感与态度价值观:
通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.

三、过程分析
学生是认知的主体, 设计教学过程必须遵循学生的认知规律, 尽可能地让学生去经历知 识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:

1.创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说: 我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二 格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格.国王令宫廷数学 家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢?

设计意图: 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学

习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.
此 时 我 问 : 同 学 们 , 你们 知 道 西 萨 要 的 是 多 少粒 小 麦 吗 ? 引 导 学 生 写出 麦 粒 总 数 .带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的这种思路给予肯定.

设计意图:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生 去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认 知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马 上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来, 因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学 生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动,探究问题
在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,2 ,?,2 是什么数列?有何特征? 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 应归结为什么数学问题呢? 2 3 263 探讨 1: 设s64 =1+ 2 + 2 + 2 + ??? + ,记为( 1)式,注意观察每一项的特征,有何联 系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以 2 则 64 有 1)(2)两式,你有什么发现? 2s64 = 2 + 22 + 23 +,记为( ??? + 263 +2 2)式.比较(
2 63

设计意图:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键 是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不 可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能 力的良好契机.
经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同 s64 ? 264 ? 1 的项就消去了, 得到: .老师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程, 反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢?

设计意图:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太 简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学 的兴趣和学好数学的信心. 3.类比联想,解决问题
公比为q, 如何求前n项和sn?

首项为a1, 这时我再顺势引导学生将结论一般化, 设等比数列?an?, 这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学 生进行指导.

设计意图:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深 入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感.
a1 - a1q n 1- q 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 在学生推导完成后, 我再问:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得sn =
sn=?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础.) n-1 再次追问:结合等比数列的通项公式 an=a1q ,如何把 sn 用 a1、an、q 表示出来?(引导 学生得出公式的另一形式)

设计意图: 通过反问精讲, 一方面使学生加深对知识的认识, 完善知识结构, 另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高 分析、类比和综合的能力.这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅 几句话,然而却有画龙点睛之妙用. 4.讨论交流,延伸拓展

在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗?我们知道, n-1 那 么 我 们s 能 否 这1 个 系 而1q 求 出 根 据? 等+a 比 1数 列 a1 利 +a用 q2 关 +? +a = a1s+q(a qn-2 )的定义又有 n 呢 ? n= 1q+a 1 +a 1q+
a2 a3 a4 = = = ? a1 a2 a3 = an ,能否联想到等比定理从而求出 sn 呢? = q an - 1

设计意图:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思 考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 sn ? a1 ? qsn?1 , 这其实就是关于 递推数列有非常重要的研究价值, 是研究性学习和课外拓展的 sn 的一个递推式, 极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用. 例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前8项和; 5.变式训练,深化认识 2 4 8 16

2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ???, 求第5项到第10项的和. 2 4 8 16 3、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ???求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16 首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同学进行 评价,然后师生共同进行总结.

63 1、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ???前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64

设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直 接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新 的数学认知结构的形成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生 的参与意识和竞争意识. 6.例题讲解,形成技能
例2:求和 1+a+a2 +a3 +?+an-1 .

设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养 学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想. 7.总结归纳,加深理解
以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再 从知识点及数学思想方法两方面总结.

设计意图:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力. 8.故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×10 粒,大 约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世 界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺.
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设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积 极思维. 9.课后作业,分层练习
必做: P129 练习 1、2、3、4 选作: 思考题(1):求和 x+2x2 +3x3 +?+nxn . (2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?” 这首中国古诗的答案是多少?

设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学 生有思考的空间.

四、教法分析
对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式

的成立条件,充分体现公式之间的联系.在教学中,我采用“问题――探究”的教学模式, 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段. 利用多媒体辅助教学,直观地反映了教学内容,使学生思维活动得以充分展开,从而优 化了教学过程,大大提高了课堂教学效率.

五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究, 使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公 式.错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质;等比定理:回归定 义,自然朴实.学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维的深 刻性、敏锐性、广阔性、批判性.同时通过精讲一题,发散一串的变式教学,使学生既巩固 了知识,又形成了技能.在此基础上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、合 作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质.


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