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高中数学人教a版选修2-3课时检测(四) 组合与组合数公式 含解析

课时跟踪检测(四) 组合与组合数公式 一、选择题 1.某乡镇共包括 8 个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在 一条直线上,现要在该乡镇内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( A.4 C.28 B .8 D.64 ) 2=28 解析:选 C 由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建 C8 条公路. 2.已知 C7 n+1-C7 n=C8 n,则 n 等于( A.14 C.13 解析:选 A ) B.12 D.15 ∵C7 n+1=C8 n+1,∴7+8=n+1,∴n=14. 3.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那 么互不相同的分配方案共有( A.252 种 C.20 种 解析:选 B ) B.112 种 D.56 种 每个宿舍至少 2 名学生,故甲宿舍安排的人数可以为 2 人,3 2+C3 人,4 人,5 人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以有 C7 7+C4 7+C5 7= 112 种分配方案. 4.某单位有 15 名成员,其中男性 10 人,女性 5 人,现需要从中选出 6 名 成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则 此考察团的组成方法种数是( ) A.C3 10C3 5 5 C.C15 B.C4 10C2 5 D.A4 10A2 5 按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从 10 名男性中 解析:选 B 2种抽法. 抽取 4 人,5 名女性中抽取 2 人,共有 C4 10C5 5.异面直线 a,b 上分别有 4 个点和 5 个点,由这 9 个点可以确定的平面 个数是( A.20 3 C.C9 ) B .9 2C1 D.C4 5+C2 5C1 4 解析: 选B 分两类: 第 1 类, 在直线 a 上任取一点, 与直线 b 可确定 C1 4个 平面;第 2 类,在直线 b 上任取一点,与直线 a 可确定 C1 5个平面.故可确定 C1 4 +C1 5=9 个不同的平面. 二、填空题 π 6.从 0,1, 2, , 3,2 这六个数字中,任取两个数字作为直线 y=xtan 2 α+b 的倾斜角和截距,可组成________条平行于 x 轴的直线. 解析:要使得直线与 x 轴平行,则倾斜角为 0,截距在 0 以外的五个数字均 可,故有 C1 5=5 条满足条件. 答案:5 7.不等式 C2 n-n<5 的解集为________. 解析:由 C2 n-n<5,得 ∴n2-3n-10<0. 解得-2<n<5.由题设条件知 n≥2,且 n∈N*, n?n-1? -n<5, 2 ∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}. 答案:{2,3,4} 8.设集合 A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合 A 中含有 3 个元素的子集共有 ________个. 解析:从 5 个元素中取出 3 个元素组成一组就是集合 A 的子集,则共有 C3 5 =10 个子集. 答案:10 三、解答题 9.计算:(1)C4 C9 7+C48 50· 9; 0+C1 (2)C5 5+C2 5+C3 5+C4 5+C5 5; n+1· (3)Cn Cn n-1. 3+C2 解:(1)原式=C7 50×1= 7×6×5 50×49 + =35+1 225=1 260. 3×2×1 2×1 1+C2 (2)原式=2(C0 5+C1 5+C2 5)=2(C6 5) ? 5×4? ? ? =2?6+ =32. 2×1? ? ? n+1· (3)法一:原式=Cn C1 n= ?n+1?! n! · n= ?n+1?· n! n! · n=(n+1)· n=n2+n. 法二:原式=(Cn Cn C1 n=n2+n. n+Cn n-1)· n-1=(1+C1 n)· n=(1+n)· 10.要从 6 男 4 女中选出 5 人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不 同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至少有 1 女且至多有 3 男当选. 解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的 8 人中任选 4 人,有 C4 8=70 种选 法. (2)至少有 1 女且至多有 3 男时,应分三类: 第 1 类是 3 男 2 女,有 C3 6C2 4种选法; 第 2 类是 2 男 3 女,有 C2 6C3 4种选法; 第 3 类是 1 男 4 女,有 C1 6C4 4种选法. 由分类加法计数原理知,共有 C3 6C2 4+C2 6C3 4+C1 6C4 4=186 种选法. 11.判断下列问题是组合问题还是排列问题,然后再算出问题的结果. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少? (2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段?如果连成有向线 段,共有多少条? (3)某小组有 9 位同学, 从中选出正、 副班长各一个, 有多少种不同的选法? 若从中选出 2 名代表参加一个会议,有多少种不同的选法? 解:(1)由于集合中的元素是不讲次序的,一个含三个元素的集合就是一个 从集合{0,1,2,3,4}中取出 3 个数的组合.这是一个组合问题,组合的个数是 C3 5= 5×4×3 =10,所以子集的个数是 10. 3×2×1 (2)由 5 个点中取两个点恰好连成一条线段,不用考虑这两个点的次序,所 5×4 以是组合问题,组合数是 C2 =10,连成的线段共有 10 条.再考虑有向 5= 2×1 线段问题, 这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段,所以是排 列问题,排列数是 A2 5=5×4=20,所以有向线段共有 20 条. (3)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题.排列数是 A2 9=9×8=72,所 以选正、副班长共有 72 种选法.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组 9×8 合问题.组合数是 C2 = =36,所以不同的选法有 36 种. 9 2×1

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