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《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章
一. 填空题

随机变量及其分布
5 , 则 P(Y ? 1) = _________. 9

1. 设随机变量 X~B(2, p), Y~B(3, p), 若 P(X ? 1) = 解. P ( X ? 0) ? 1 ? P ( X ? 1) ? 1 ?

5 4 ? 9 9

(1 ? p ) 2 ?

4 , 9

p?

1 3
3

19 ?2? P(Y ? 1) ? 1 ? P(Y ? 0) ? 1 ? ? ? ? 27 ? 3?
2. 已知随机变量 X 只能取-1, 0, 1, 2 四个数值, 其相应的概率依次为 c = ______. 解. 1 ?

1 3 5 2 , , , , 则 2c 4c 8c 16c

1 3 5 2 32 ? ? ? ? , c?2 2c 4c 8c 16c 16c

3. 用随机变量 X 的分布函数 F(x)表示下述概率: P(X ? a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x1 < X ? x2) = ________. 解. P(X ? a) = F(a) P(X = a) = P(X ? a)-P(X < a) = F(a)-F(a-0) P(X > a) = 1-F(a) P(x1 < X ? x2) = F(x2)-F(x1) 4. 设 k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则 4 x ? 4kx ? k ? 2 ? 0 有实根的概率为_____.
2

?1 ? 解. k 的分布密度为 f ( k ) ? ? 5 ? ?0
2

0?k ?5 其它
2

P{ 4 x ? 4kx ? k ? 2 ? 0 有实根} = P{ 16k ? 16k ? 32 ? 0 } = P{k ?-1 或 k ? 2} = 5. 已知 P{ X ? k } ?

?

1 3 dk ? 25 5
5

a b , P{Y ? ?k } ? 2 (k = 1, 2, 3), X 与 Y 独立, 则 a = ____, b = ____, 联 k k b? b b 36 ? ? 1, b ? 4 9 49

合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解.

a?

a a 6 ? ? 1, a ? . 2 3 11

1 / 14

(X, Y)的联合分布为 Y X

-1 ab
ab 2 ab 3
-2 24?

-2
ab 4 ab 8 ab 12
-1 66? 0

-3
ab 9 ab 18 ab 27
1 2

1 2 3
Z=X+Y P ab = 216?,

251? 126? 72?

1 ?? 539 ab ? 24? 9

P( Z ? ?2) ? P( X ? 1, Y ? ?3) ? P( X ? 1) P(Y ? ?3) ?

P( Z ? ?1) ? P( X ? 2, Y ? ?3) ? P( X ? 1, Y ? ?2) ? 66? P( Z ? 0) ? P( X ? 3, Y ? ?3) ? P( X ? 2, Y ? ?2) ? P( X ? 1, Y ? ?1) ? 251 ? P( Z ? 1) ? P( X ? 2, Y ? ?1) ? P( X ? 3, Y ? ?2) ? 1 2 ? 6
P( Z ? 2) ? P( X ? 3, Y ? ?1) ? P( X ? 3) P(Y ? ?1) ? ab ? 72? 3

?c sin(x ? y ) 6. 已知(X, Y)联合密度为 ? ( x, y ) ? ? ?0
缘概率密度 ?Y ( y ) ? ______.
? /4 ? /4

0 ? x, y ? 其它

?
4 , 则 c = ______, Y 的边

解.

? ? c sin(x ? y )dxdy ? 1,
0 0

c ? 2 ?1

?( 2 ? 1) sin( x ? y ) 所以 ? ( x, y ) ? ? ?0
当 0? y?

0 ? x, y ? 其它

?
4

?
4


??

? Y ( y ) ? ? ? ( x, y )dx ? ?
??

?
0

4

( 2 ? 1) sin(x ? y )dx ? ( 2 ? 1)(cos y ? cos( ? y )) 4
2 / 14

?

所以

? ? ?( 2 ? 1)(cos y ? cos( ? y )) ?Y ( y ) ? ? 4 ? ?0

0? y? 其它

?
4

7. 设平面区域 D 由曲线 y ?

1 及直线 y ? 0, x ? 1, x ? e 2 围成, 二维随机变量(X, Y)在 D 上 x

服从均匀分布, 则(X, Y)关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为_______. 解. D 的面积 =

?

e2 1

1 dx ? 2 . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: x

?1 ? ? ( x, y ) ? ? 2 ? ?0
下面求 X 的边沿密度: 当 x < 1 或 x > e2 时

( x, y ) ? D 其它

? X ( x) ? 0
当 1 ? x ? e2 时
1 x 0

? X ( x ) ? ? ? ( x, y )dy ? ?
??

??

1 1 1 dy ? , 所以 ? X ( 2 ) ? . 4 2 2x

8. 若 X1, X2, … , Xn 是 正 态 总 体 N(?, ?2) 的 一 组 简 单 随 机 样 本 , 则

X ?

1 ( X 1 ? X 2 ? ? ? X n ) 服从______. n

解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.

?1 n ? 1 n E? ? X i ? ? ? E( X i ) ? ? , ? n i ?1 ? n i ?1
所以

?1 n ? 1 D? ? X i ? ? 2 ? n i ?1 ? n

? D( X ) ?
i i ?1

n

?2
n

X ~ N (?,

?2
n

)

9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出, (X, Y) P (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3)

1 6

1 9

1 18

1 3

?

?

且 X 与 Y 相互独立, 则? = ______, ? = _______. 解. Y 1 2 X

3 1/18
?

1 2

1/6 1/3

1/9
?

3 / 14

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , P(Y ? 2) ? ? ? , P(Y ? 3) ? ? ? , P(Y ? 1) ? ? ? 3 9 18 6 3 2 2 P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) ? P(Y ? 3) ? ? ? ? ? ? 1 3 P ( X ? 2) ?

1 1 ? ? ? P( X ? 2, Y ? 2) ? P( X ? 2) P(Y ? 2) ? ( ? ? ? ? )( ? ? ) ? ? 3 9 ? ? ? ? P( X ? 2, Y ? 3) ? P( X ? 2) P(Y ? 3) ? ( 1 ? ? ? ? )( 1 ? ? ) ? 3 18 ?

1 ?? 1 2 ? 两式相除得 9 ? , 解得 ? ? 2? , ? ? , ? ? . 1 9 9 ?? ? 18
10. 设(X, Y)的联合分布律为 Y X

-2
1 12 2 12 2 12

-1
1 12 1 12

0
3 12

-1
1 2

0
2 12

3

0

则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X-Y 的分布律______. iii. U= X2 + Y-2 的分布律_______. 解. X+Y -3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 3 P X-Y P X2 + Y-2 P 1/12 -1 3/12 -15/4 2/12 1/12 3/12 0 1 2/12 3/2 1/12 1/12 5/2 2/12 -2 1/12 -1 2/12 2/12 3 5

1/12 1/12 -3 1/12 -11/4 1/12

2/12 2/12 5 7 2/12

3/12 2/12

二. 单项选择题 1. 如下四个函数哪个是随机变量 X 的分布函数

?0 ? ?1 (A) F ( x ) ? ? ?2 ? ?2

x ? ?2 ? 2 ? x ? 0, x?0

?0 ? (B) F ( x ) ? ?sin x ?1 ?

x?0 0? x ?? x ??

4 / 14

?0 ? (C) F ( x ) ? ?sin x ?1 ?

?0 ? 1 ? 0 ? x ? ? / 2 , (D) F ( x ) ? ? x ? 3 ? x ?? /2 ? ?1
x?0

x?0 0? x? x? 1 2 1 2

解. (A)不满足 F(+?) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足 F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. P( X ? k ) ? c?k e ?? / k! (k ? 0,2,4, ?) 是随机变量 X 的概率分布, 则?, c 一定满足 (A) ? > 0 (B) c > 0 (C) c ? > 0 (D) c > 0, 且 ? > 0

解. 因为 P( X ? k ) ? c?k e ?? / k! (k ? 0,2,4, ?) , 所以 c > 0. 而 k 为偶数, 所以?可以为负. 所以(B)是答案. 3. X~N(1, 1), 概率密度为?(x), 则 (A) p( X ? 0) ? P( X ? 0) ? 0.5 (C) p( X ? 1) ? P( X ? 1) ? 0.5 (B) ? ( x ) ? ? ( ? x ), x ? ( ??,??) (D) F ( x ) ? 1 ? F ( ? x ), x ? ( ??,??)

解. 因为 E(X) = ? = 1, 所以 p( X ? 1) ? P( X ? 1) ? 0.5 . (C)是答案. 4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随 机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X2 (D) X-Y 解. X~ ? ( x ) ? ?

?1 ?0

0 ? x ?1 其它

, Y~ ? ( y ) ? ?

?1 ?0

0 ? y ?1 其它

. 所以

(X, Y)~ ? ( x, y ) ? ?

?1 ?0

0 ? x, y ? 1 其它

.所以(A)是答案.

?0 ? ?x 5. 设函数 F ( x ) ? ? ?2 ? ?1

x?0 0 ? x ? 1则 x ?1

(A) F(x)是随机变量 X 的分布函数. (B) 不是分布函数. (C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数. 解. 因为不满足 F(1 + 0) = F(1), 所以 F(x)不是分布函数, (B)是答案. 6. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为 FX ( x), FY ( y ) , 则 Z = max(X, Y) 的分布函数是 (A) FZ ( z ) = max{ FX ( z ), FY ( z ) } (C) FZ ( z ) = FX ( z ) FY ( z ) (B) FZ ( z ) = max{ | FX ( z ) |, | FY ( z ) | } (D) 都不是 5 / 14

解. FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P{max(X , Y ) ? z} ? P{X ? z且Y ? z}

因为独立 P( X ? z)P(Y ? z) ? FX ( z)FY ( z) .
(C)是答案. 7. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为 FX ( x), FY ( y ) , 则 Z = min(X, Y) 的分布函数是 (A) FZ ( z ) = FX ( z ) (C) FZ ( z ) = min{ FX ( z ), FY ( z ) } (B) FZ ( z ) = FY ( z ) (D) FZ ( z ) = 1-[1- FX ( z ) ][1- FY ( z ) ]

解. FZ ( z) ? P( Z ? z) ? 1 ? P( Z ? z) ? 1 ? P{min(X , Y ) ? z} ? 1 ? P{X ? z且Y ? z}

因为独立 1 ? [1 ?P( X ? z)][1 ? P(Y ? z)] ? 1 ? [1 ? FX ( z)][1 ? FY ( z)]
(D)是答案. 8. 设 X 的密度函数为 ? ( x ) , 而 ? ( x ) ?

1 , 则 Y = 2X 的概率密度是 ? (1 ? x 2 )
(C)

(A)

1 ? (1 ? 4 y 2 )

(B)

2 ? (4 ? y 2 )

1 ? (1 ? y 2 )
y y ) ? FX ( ) 2 2

(D)

1

?

arctan y

解. FY ( y ) ? P(Y ? y ) ? P{2 X ? y} ? P( X ?
' '

y ? y 1 1 1 2 ? ?Y ( y ) ? [ FY ( y )] ? ? FX ( ) ? ? ? X ( ) ? ? ? ? y ? ? (4 ? y 2 ) 2 ? 2 2 2 ? ? ? ?1 ? ( ) 2 ? 2 ? ?
(B)是答案. 9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为 ? ( x, y ) ? ? 的分布密度是

?e ? ( x ? y ) ?0

x ? 0, y ? 0 其它

, 则Z ?

X ?Y 2

? 1 ?( x ? y ) ? e (A) ? Z ( Z ) ? ? 2 ? ?0

x ? 0, y ? 0 其它

x? y ? ? ?e 2 (B) ? Z ( z ) ? ? ? ?0

x ? 0, y ? 0 其它

?4 ze ?2 z (C) ? Z ( Z ) ? ? ?0
解. Z ?

z?0 z?0

? 1 ?z ? e (D) ? Z ( Z ) ? ? 2 ? ?0

z?0 z?0

X ?Y 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 2
6 / 14

?

?? 0

1 ?z 1 e dz ? , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 2 2

注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算 Z 的密度: 当z<0时

FZ ( z ) ? 0
当z?0时

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P(
=

X ?Y ? z ) ? P( X ? Y ? 2 z ) ? ?? ? ( x, y )dxdy 2 x ? y ?2 z

?

2z 0

e ? x ?? ? ? 0

2 z? x

e ? y dy ? dx ? ?2 ze ?2 z ? e ?2 z ? 1 ? ?

?4 ze ?2 z ? Z ( z) ? FZ' ( z) ? ? ?0

z?0 , (C)是答案. z?0

10. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 则下列结论正 确的是 (A) P{X + Y ? 0} = 1/2 (B) P{X + Y ? 1} = 1/2 (C) P{X-Y ? 0} = 1/2 (D) P{X-Y ? 1} = 1/2 解. 因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 且 X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ~ N(1, 2), X-Y ~ N(-1, 2) 于是 P{X + Y ? 1} = 1/2, (B)是答案. 11. 设随机变量 X 服从指数分布, 则 Y = min{X, 2}的分布函数是 (A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:

FY ( y ) ? P(Y ? y ) ? P( m i n X( ,2) ? y ) ? 1 ? P( m i n X( ,2) ? y )
当y?2时

FY ( y ) ? 1 ? P( m i n X( ,2) ? y ) ? 1 ? 0 ? 1
当0?y<2时

FY ( y ) ? 1 ? P( m i n X( ,2) ? y ) ? 1 ? ( X ? y,2 ? y )

? 1 ? P( X ? y) ? P( X ? y) ? 1 ? e??y
当y<0时

FY ( y ) ? 1 ? P( m i n X( ,2) ? y ) ? 1 ? ( X ? y,2 ? y )
? 1 ? P( X ? y ) ? P( X ? y ) ? 0

于是

?1 ? FY ( y ) ? ?1 ? e ??y ?0 ?

y?2 0? y?2 y?0

只有 y = 2 一个间断点, (D)是答案.

7 / 14

三. 计算题 1. 某射手有 5 发子弹, 射击一次的命中率为 0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一 直到用完 5 发子弹, 求所用子弹数 X 的分布密度. 解. 假设 X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前 i-1 次不中, 第 i 次命中) = (0.1)i ?1 ? 0.9 , i = 1, 2, 3, 4. 当 i = 5 时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所 以 P(X = 5) = (0.1) 4 . 于是分布律为

X

1

2

3

4

5

p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001 2. 设一批产品中有 10 件正品, 3 件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中 直到取得正品为止所需次数 X 的分布密度. i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产 品后总以一件正品放回, 再抽取. 解. 假设 Ai 表示第 i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i. 每次取出的产品不放回 X 1 2 3 4

10 3 ? 12 13 10 P( X ? 1) ? P( A1 ) ? 13
p

10 13

10 2 3 ? ? 11 12 13

1 2 3 ? ? 11 12 13

P( X ? 2) ? P( A2 A1 ) ? P( A2 | A1 ) P( A1 ) ?

10 3 ? 12 13

P( X ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A3 | A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) ?

10 2 3 ? ? 11 12 13 1 2 3 P( X ? 4) ? P( A4 | A3 ) P( A3 | A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) ? 1 ? ? ? 11 12 13

ii. 每次抽取后将原产品放回 X p 1 2 … k …

10 13

3 10 ? 13 13

?3? ? ? ? 13?

k ?1

?

3 13



P( X ? k ) ? p( A1 ? Ak ?1

?3? Ak ) ? P( A1 ) ? P( Ak ?1 ) P( Ak ) ? ? ? ? 13?

k ?1

10 , (k = 1, 2, …) 13

iii. 每次抽取后总以一个正品放回 X 1 2

3 8 / 14

4

3 11 ? 13 13 10 P( X ? 1) ? P( A1 ) ? 13
p

10 13

3 2 12 ? ? 13 13 13

1?

1 2 3 ? ? 13 13 13

P( X ? 2) ? P( A2 A1 ) ? P( A2 | A1 ) P( A1 ) ?

11 3 ? 13 13

P( X ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A3 | A2 A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) ?

12 2 3 ? ? 13 13 13 1 2 3 P( X ? 4) ? P( A4 | A3 A2 A1 ) P( A3 | A2 A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) ? 1 ? ? ? 13 13 13

? c ? 3. 随机变量 X 的密度为 ? ( x ) ? ? 1 ? x 2 ?0 ?
的概率. 解. 1 ?
?? ?? 1 ?1

| x |? 1 其它

, 求: i. 常数 c; ii. X 落在 ( ?

1 1 , )内 2 2

?

? ( x )dx ? ?

c 1 ? x2
1/ 2 ?1 / 2

dx ? 2c arcsin x |1 0 ? 2c 1 dx 2

?
2

? c? ,

c?

1

?

P( X ? ( ?1 / 2, 1 / 2)) ? ?
4. 随机变量 X 分布密度为

? 1 ? x2

?

?

/2 arcsi xn |1 0 ?

2 ? 1 ? ? ? 6 3

?2 ? i. ? ( x ) ? ?? 1 ? x 2 ? ?0
求 i., ii 的分布函数 F(x). 解. i. 当 x ? 1 时

| x |? 1 其它

,

?x ? ii. ? ( x ) ? ?2 ? x ?0 ?

0 ? x ?1 1? x ? 2 其它

F ( x) ? ? ? (t )dt ? ? 0dt ? 0
?? ??

x

x

当-1< x < 1 时

F ( x ) ? ? ? (t )dt ? ?
??

x

x ?1

2

?
2

1 ? t 2 dt ?

x

?

1 ? x2 ?

1

?

arcsin x ?

1 2

当x?1时

F ( x ) ? ? ? (t )dt ? ?
??

x

1 ?1

?

1 ? t 2 dt ? 1

所以

?0 ? 1 1 ?x F ( x) ? ? 1 ? x 2 ? arcsin x ? ? 2 ?? ? ?1

x ? ?1 ?1 ? x ? 1 x ?1

ii. 当 x < 0 时

F ( x) ? ? ? (t )dt ? ? 0dt ? 0
?? ??

x

x

9 / 14

当0?x<1时

F ( x ) ? ? ? (t )dt ? ? t d t ?
?? 0

x

x

x2 2

当1?x<2时

F ( x ) ? ? ? (t )dt ? ? tdt ? ? (2 ? t )dt ? ?
?? 0 1

x

1

x

x2 ? 2x ? 1 2

当2?x时

F ( x) ? ? ? (t )dt ? ? tdt ? ? (2 ? t )dt ?1
?? 0 1

x

1

2

所以

?0 ? 2 ?x ?2 F ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x ? 1 ? 2 ?1 ?

x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 x?2

5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 X 具有分布密度函数

? ( x) ?

? ( x ? 20) 2 ? 1 exp? ?? 3 2 0 0? ?, 40 2? ? ?

-? < x < +?

试求: i. 测量误差的绝对值不超过 30 的概率; ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率.

? ( x ? 20) 2 ? 1 解. 因为 ? ( x ) ? exp? ? ? 3200 ? ?, 40 2? ? ?
? ?

-? < x < +?, 所以 X~N(20, 402).

i. P(| X |? 30) ? P?? 30 ? X ? 30? ? P ?? 1.25 ?

X ? 20 ? ? 0.25? 40 ?

? ?(0.25) ? ?( ?1.25) ? ?(0.25) ? (1 ? ?(1.25) ? ?(0.25) ? ?(1.25) ? 1
? 0.5987 ? 0.8944 ? 1 = 0.4931.
(其中?(x)为 N(0, 1)的分布函数) ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过 30) = 1-P(三次误差的绝对值都超过 30) = 1 ? (0.4931 ) ? 1 ? 0.12 ? 0.88
3

6. 设电子元件的寿命 X 具有密度为

?100 ? ? ( x) ? ? x 2 ? ?0

100 ?x x ?1 0 0

问在 150 小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率 10 / 14

是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?

?100 ? 解. X 的密度 ? ( x ) ? ? x 2 ? ?0
P( X ? 150 ) ? ?
150 100

100 ?x . 所以 x ?1 0 0

100 1 dx ? . 2 3 x 1 2 令 p = P(X ? 150) = 1- = . 3 3
8 27 1 3 ii. P(150 小时内三只元件全部损坏) = (1 ? p ) ? 27
i. P(150 小时内三只元件没有一只损坏) = p ?
3

1 iii. P(150 小时内三只元件只有一只损坏) = c3 ? ?? ? ?

? 1 ?? 2 ? ? 3 ?? 3 ?

2

4 9

7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径 D 的分布密度为 ? ( d ) ? ?

?1 ?0

5?d ?6 其它

假设

X ?

?D 2
4

, X 的分布函数为 F(x).

F ( x) ? P( X ? x) ? P(?D 2 ? x)
当 x ? 0 时, F(x) = 0 当x>0时

? 4x F ( x ) ? P( X ? x ) ? P(?D 2 ? x ) ? P ?? ?D? ? ?


4x ? ? ? ?

4x

?

? 5, 即x ?

25? 时 4

F(x) = 0 当5 ?

4x

?

? 6, 即

25

?

? x ? 9?时
4x ? ? ? ?

? 4x F ( x ) ? P( X ? x ) ? P(?D 2 ? x ) ? P ?? ?D? ? ?
=

?

4x

?
5

1dt ?

4x

?

?5

当 x > 9?时 11 / 14

F ( x) ? ? ? (t )dt ? ? dt ? 1
?? 5

x

6

所以

?0 ? ? 4x F ( x) ? ? ?5 ? ? ? ?1

x?

25? ? x ? 9? 4 x ? 9?
25? ? x ? 9? 4 其它

25? 4

? 1 ? 密度 ? ( x ) ? F ' ( x ) ? ? ?x ?0 ?

8. 已知 X 服从参数 p = 0.6 的 0-1 分布在 X = 0, X = 1 下, 关于 Y 的条件分布分别为表 1、 表 2 所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)

1 4

1 2

1 4

P(Y|X = 1)

1 2

1 6

1 3

求(X, Y)的联合概率分布, 以及在 Y ? 1 时, 关于 X 的条件分布. 解. X 的分布律为 X 0 1 p (X, Y)的联合分布为 Y X 0 1 0.4 0.6

1
0.1 0.3

2
0.2 0.1

3
0.1 0.2

1 3 ? ? 0.3 2 5 1 3 P( X ? 1, Y ? 2) ? P(Y ? 2 | X ? 1) P( X ? 1) ? ? ? 0.1 6 5 1 3 P( X ? 1, Y ? 3) ? P(Y ? 3 | X ? 1) P( X ? 1) ? ? ? 0.2 3 5 1 2 P( X ? 0, Y ? 1) ? P(Y ? 1 | X ? 0) P( X ? 0) ? ? ? 0.1 4 5 1 2 P( X ? 0, Y ? 2) ? P(Y ? 2 | X ? 0) P( X ? 0) ? ? ? 0.2 2 5 1 2 P( X ? 0, Y ? 3) ? P(Y ? 3 | X ? 0) P( X ? 0) ? ? ? 0.1 4 5 P( X ? 1, Y ? 1) ? P(Y ? 1 | X ? 1) P( X ? 1) ?
所以 Y 的分布律为 Y p 1 0.4 2 0.3 3 0.3

P( X ? 0 | Y ? 1) ?

P( X ? 0, Y ? 1) 0.3 ? ? 0.5 P(Y ? 1) 0.6
12 / 14

P( X ? 1 | Y ? 1) ?
所以

P( X ? 1, Y ? 1) 0.3 ? ? 0.5 P(Y ? 1) 0.6
0 0.5 1 0.5

X|Y? 1 p

9. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量 Z ? 密度.

X 的分布 Y

?1 ? 解. X~ ? X ( x ) ? ? 9 ? ?0

0? x?9 其它

,

?1 ? Y~ ? Y ( x ) ? ? 9 ? ?0

0? y?9 其它

因为 X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为

?1 ? (X, Y)~ ? ( x, y ) ? ? 81 ? ?0
当 z?0时

0 ? x, y ? 9 其它

,

FZ ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P (

Y ? z) X

FZ ( z ) ? 0 当 0 < z < 1 时
D1

y = xz (z < 1)

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P(
当z?1时

Y 1 1 1 1 ? z ) ? P(Y ? Xz) ? ?? dxdy ? ? 9 ? 9 z ? z X 81 81 2 2 D1 Y 1 ? z ) ? P(Y ? Xz) ? ?? dxdy X 81 D2
y = zx (z > 1)

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P(
?

所以

1 1 1 ? (81 ? 9 ? 9 z ) ? 1 ? 81 2 2z ? z?0 ?0 ? 0? z ?1 ? Z ( z ) ? FZ' ( z ) ? ? 1 2 ? z ?1 ?1 2 ? 2z

D2

10. 设(X, Y)的密度为

? ( x, y ) ? ?

?24 y(1 ? x ? y ) ?0

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 其它

求: i. ? X ( x ), ? ( y | x ), ? ( y | x ? 解.

1 1 ) , ii. ? Y ( y ), ? ( x | y ), ? ( x | y ? ) 2 2

13 / 14

i.

? X ( x) ? ? ? ( x, y)dy
??

??

当x?0 或 x?1时

? X ( x) ? ? ? ( x, y )dy ? 0
??

??

当0<x<1时

? X ( x) ? ? ? ( x, y)dy ? ?
??

??

1? x 0

24 y(1 ? x ? y )dy ? 4(1 ? x)3

所以

? X ( x) ? ?

?4(1 ? x ) 3 ?0

0 ? x ?1 其它

所以

? ( x, y ) ? ? ( y | x) ? ?? ? X ( x) ?

? 6 y (1 ? x ? y ) (1 ? x ) 3 ?0
0? y? 其它

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 其它

?24 y (1 ? 2 y ) 1 所以 ? ( y | x ? ) ? ? 2 ?0
ii.

1 2

?Y ( y ) ? ? ? ( x, y)dx
??

??

当y?0 或 y?1时

?Y ( y ) ? ? ? ( x, y )dx ? 0
??

??

当0<y<1时

?Y ( y ) ? ? ? ( x, y )dx ? ?
??

??

1? y 0

24 y(1 ? x ? y )dx ? 12 y(1 ? y ) 2

所以

?Y ( y ) ? ?

?12 y (1 ? y ) 2 ?0

0? y ?1 其它

所以

? ( x, y ) ? ? ( x | y) ? ? ? (1 ? y ) 2 ?Y ( y ) ?
?0

? 2(1 ? x ? y )

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 其它

1 ?4(1 ? 2 x ) 所以 ? ( x | y ? ) ? ? 2 ?0

0? x? 其它

1 2

14 / 14


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