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2.2.2双曲线的简单几何性质(1)


2.2.2双曲线的简单几何性质
(第一课时)

自主检测
A.y= ? 3x B.y= ?

1.双曲线3x 2 -y 2 =3的渐近线方程是(

C

)

1 3 x C.y= ? 3x D.y= ? x 3 3 2. 已知双曲线的离心率为2,焦点是 ? ?4, 0 ?、 ?4,0 ?, 则双曲线的方程是( x2 y 2 A. =1 4 12 x2 y 2 C. =1 10 6 x2 y 2 B. =1 12 4 x2 y 2 D. =1 6 10 x2 y2 3.双曲线的 2 =1的焦距是 2 m ? 12 4 ? m x2 y 2 2 4.已知双曲线 =1的一条渐近线方程为y= x, m 4 2 则实数m=

A

)

8

8

精讲精析
1、范围

双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的几何性质 2 a b

将x当作已知数,从方程中解出 b x2 ? a2 y?? a
y

要求出实数值y,则实数x的取值范围 是 x ? a,即x ? ? ??, ?a ? U ? a, ?? ? .双 直线x=a右侧,向左右两方无限延伸.

(-a,0)

o

(a,0)

x

曲线的两支分别位于直线x=-a左侧和

双曲线 1、范围
a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

的几何性质

将y当作已知数,从方程中解 y 2 ? b2 出x ? ? . y的取值 b 范围是全体实数
y
(-x,y) (-a,0) (-x,-y) (x,y)

o

(a,0) (x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的.。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

2、对称性

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
y

B2

A1

o

A2

x

B1

思考1

y x 对于双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b

2

2

其范围、对称性、顶点分别是什么?
y F2

|y|≥a,x∈R 关于x轴、y轴、原点对称.
x

o F1

顶点(0,±a)

由刚才的研究产生了如图的矩形,作出 矩形的两条对角线,它们与双曲线有何 关系? 你有何感觉? y 从演示你发现了什么?
B2

F1 A1 O

A2

M的横坐标愈大,点就 愈接近对角线,但永远 x F2 不会达到对角线 即双曲线的各支向外延 伸时,会与这两条直线 无限接近,但永不相交.

B1

2 b b 2 2 b a PM= x ? x ? a = ? a a a x ? x2 ? a2 b (1)两条直线y ? ? x叫做 a 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1的渐近线 A1 a b

4、渐近线

y

P M

B2

o

A2
a
N

x

(2)实轴和虚轴等长的双曲 线叫做等轴双曲线.

B1

x ?y ?a
2 2

2

b y? x a

b y?? x a

思考2?

y 2 x2 双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐 a b

近线方程是什么?

a y= ? x b

5.离心率

与椭圆类似,把双曲线的焦距与 c 实轴长的比 称为双曲线的离心率, a c 用e表示,即 e ? ,那么双曲线的离 a 心率e的取值范围是什么? e∈(1, +∞)

c 扁平程度的量,双曲线中的 又可以刻 a
画双曲线的何种几何特征呢?
刻画双曲线的张口的大小

c 椭圆中e ? 是用来刻画椭圆的 a

e越大张口越大!

特殊的:a=b时,方程为x2–y2=a2.
实轴=虚轴=2a 称为等轴双曲线

一般式:x2-y2=λ (λ ≠0) 渐近线:y=±x

探究新知

等轴双曲线的离心率为多少?反之
成立吗?
y B2 A1 o B1 A2 x

a ?b?e? 2

y x 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的几何性质 a b
y

2

2

(1)范围: y ? a, y ? ?a, x ? R

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
(3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y ? ? a x
b
-b

a
o b x

-a

c (5)离心率: e ? a

例1 :求双曲线 x ? y ? 1的实半轴长、虚轴长
4 3

2

2

焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。
x y 问:若双曲线的方程为 ? ? ?1呢 ? 4 3 解:由题意可得
实半轴长: 虚轴长: 焦点坐标: 顶点坐标: 离心率: 渐近线方程: a=2
2 2

2b ? 2 3
(-2,0),(2,0)

a? 3 2b ? 4
(0, ? 3), (0, 3)
c e? ? a 21 3

(? 7,0),( 7,0) (0, ? 7), (0, 7)
c 7 e? ? a 2

3 y?? x 2

3 y?? x 2

例2 已知双曲线的两焦点坐标F1(0,-2) F2(0,2),以及双曲线上一点P的坐标为 ( 3,-2 ).求双曲线的方程、顶点坐标和渐 近线方程.

例3 以下方程的图象是不是双曲线?如 果是,求出它的焦点坐标、顶点坐标和渐近 线方程. (1)4x2-5y2=-20
(2)4x2-5y2=1 (3)4x2-5y2=0

例4.已知双曲线的中心在原点,焦点 4 在y轴上,焦距为16,离心率为 , 3 求双曲线的方程.
问:若将题目中“焦点在y轴上” 改为“焦点在坐标轴上”呢? 先定型,再定量

随堂练习 1、求双曲线9y2-16x2=144的半实轴 长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程. 半虚轴长b=3. 半实轴长a=4. 5 焦点坐标(0, ±5). 离心率 e ? . 4 4 渐近线方程 y = ? x 3

2、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在 x轴上; (2)离心率 e ? 2 ,经过点M(-5,3).
2 2

x y (1) = 1, 25 16

x y (2) = 1. 16 16

2

2

3、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴长与虚轴长之和等于焦距的
2 倍,一个顶点为(0,2);
9 (2)经过两点 A(3, - 4 2), B ( , 5) ; 4

课堂小结:
通过本节课的学习,你有哪些收获?
b y?? x a
y

b y? x a

(1)由双曲线的图象得其几何性质; (2)求双曲线标准方程应先定型, 再 定量.
A1

B2
b ? a o

A2
x

B1

课后作业
P55 练习 P56 习题2 1 1

思考题: x y 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率 a b ? ,令双曲线两条渐近线构成的角 e? ? 2 , 2 ? ? 中,以实轴为角平分线的夹角为? , 试求?的 取值范围.
2 2


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