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天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学(文)试题+Word版含解析


天津市第一中学 2017—2018 学年度高三年级二月考试卷 数 学(文史类)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A. {0,1,2} 【答案】D 【解析】集合 A={0,1,2},B={x|x2﹣5x+4<0}={x|1<x<4}, B. {1,2} C. {0} ,则 D. {0,1} ( )

故选:B. 点睛:本题考查集合的运算,主要是交集、补集的求法,考查真子集的求法,属于 基础题.
2. 是 的( )

A. 充分不必要条件
条件 【答案】A 【解析】因为

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要

,所以 是

,两边同乘以 得:

,当

时,可得

,推不



,综上

的充分不必要条件,故选 A.


3. 执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 2,则输出的 值为(

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】C 【解析】模拟执行程序,可得 A=2,S=0,n=1 不满足条件 S>2,执行循环体,S=1,n=2 不满足条件 S>2,执行循环体,S=32,n=3 不满足条件 S>2,执行循环体,S=116,n=4 不满足条件 S>2,执行循环体,S=2512,n=5 满足条件 S>2,退出循环,输出 n 的值为 5. 故选:C 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念,包括顺序结构、条件结构、循环结构,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终 止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 4. 设 ①若 ③若 为空间两条不同的直线, ,则 ,则 ; ; ②若 ④若 ) D. ①③ 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ,则 ; .

,则

其中所有正确命题的序号是( A. ②④ 【答案】B B. ③④ C. ①②

【解析】对于①,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交;故①错误;

对于②,若 m∥α,m∥n 则 n 可能在 α 内;故②错误;

对于③,若 m⊥α,m∥β,根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判 定定理得到 α⊥β;故③正确; 对于④,若 m⊥α,α∥β,则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到 m⊥β;故④正确;故选 B. 点睛:本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用; 熟练掌握定理是关键.
5. 已知奇函数 的大小关系为( 在 上是增函数, ) .若 , ,则

A.
【答案】C 【解析】因为

B.

C.

D.

是奇函数且在 上是增函数,所以在 是 上的偶函数,且在 ,

时,



从而

上是增函数,

,又

,则 ,

,所以即



所以

,故选 C.

【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函 数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大 小, 特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解 不等式.
6. 已知函数 当 时, ,则的取值范围是( )

A.
【答案】A

B.

C.

D.

【解析】∵当 x1≠x2 时,

<0,∴f(x)是 R 上的单调减函数,

∵f(x)=

,∴



∴0<a≤ ,故选:A.
7. 设函数 小正周期为( ) ,若 在区间 上单调,且 ,则 的最

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】∵函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,A>0,ω>0,若 f(x)在区间[ , ]上单调,

∴ ﹣ ≤ =

= ,即 ≤ ,∴0<ω≤3. = ,为 f(x)=sin(ωx+φ)的一条对称轴,

∵f( )=f( )=﹣f( ) ,∴x=

且(

,0)即( ,0)为 f(x)=sin(ωx+φ)的一个对称中心,

∴ = ? = ﹣ = ,解得 ω=2∈(0,3],∴T= =π,故选:D. 点睛:本题考查三角函数的周期性及其求法,确定 x= 与( ,0)为同一周期里面 相邻的对称轴与对称中心是关键,也是难点,属于难题.
8. 已知 均为正数,且 ,则 的最小值为( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】B 【解析】∵a,b 均为正数,且 ab﹣a﹣2b=0,∴

=1.



= +b2﹣1.

∴( +b2) (1+1)≥

≥16,当且仅当 a=4,b=2 时取等号.

∴ +b2≥8, ∴ = +b2﹣1≥7.故选 B.

点睛:本题考查“乘 1 法”、基本不等式的性质、柯西不等式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
9. 已知是实数, 【答案】 【解析】设 是纯虚数,则

___________.

=bi(b≠0) ,则 a﹣i=(2+i)?bi=﹣b+2bi,∴

,解得 a= .

故填: .
10. 曲线 【答案】 【解析】 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.



∴在点 P(1,0)处的切线斜率为 k=1, ∴在点 P(1,0)处的切线 l 为 y﹣0=x﹣1,即 y=x﹣1, ∵y=x﹣1 与坐标轴交于(0,﹣1) , (1,0) . ∴切线 y=x﹣1 与坐标轴围成的三角形面积为 S= × 1× 1= .故答案为: . 点睛:本题考查了导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,以及三角形 的面积计算,属于基础题.
11. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为_________.

【答案】 【解析】根据三视图知几何体是组合体,中间是长宽高分别为 1,2,2 的长方体、两

边是两个半圆锥,半径为 1,高为 2, ∴该几何体的体积 V=1× 2× 2+ π?12?2=4+ ,故答案为 4+ .

点睛:本题考查由三视图求几何体的体积,以及几何体的体积公式,考查空间想象 能力,三视图正确复原几何体是解题的关键.
12. 圆心在直线 ,且与直线 相切于点 的圆的标准方程为

__________.
【答案】 【解析】∵圆心在直线 y=﹣4x 上,

设圆心 C 为(a,﹣4a) ,圆与直线 x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2) , 则 kPC= r=|CP|= =1,∴a=1.即圆心为(1,﹣4) . =2 ,∴圆的标准方程为(x﹣1)2+(y+4)=8.

故答案为: (x﹣1)2+(y+4)=8. 点睛:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆 的标准方程,以及直线的点斜式方程,当直线与圆相切时,圆心到切线的距离等于 圆的半径.属于基础题.
13. 在 中,已知 ,若点 满足 ,且 ,则实

数的值为__________. 【答案】1 或 【解析】 ∴ ,又 中, ,点 满足 , 整理得 ,解得 或 ,故答案为 或 . ,∴ ,

14. 已知函数 __________.

若函数

有三个零点, 则实数 的取值范围为

【答案】

【解析】函数 就是 与

,若函数 有 3 个交点,

有三个零点,

,画出两个函数的图象如图:

,

当 x<0 时, 当 综上, 给答案为: 时,

,当且仅当 x=?1 时取等号,此时?b>6,可得 b<?6; 当 . . 时取得最大值,满足条件的 .

点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后 数形结合求解.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)
15. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,已知 , , .

(I)求和的值 (II)求 【答案】(1) 的值 (2) 及三角形余弦定理可求得 a,c 的关系 的

【解析】试题分析: (1)由向量的数量积运算

式,解方程可求得其值;由正弦定理可求得角 B,C 的正余弦值,代入公式可求得 值 试题解析: (1)由 由余弦定理,得 解 (2)在 ,得 中, 或 ,得: .又 ,又 ,所以 .因为 . ,又因为 ,所以 为锐角, ,∴ . ,所以 . .

由正弦定理,得

因此

.

于是 考点:正余弦定理解三角形及三角函数基本公式

.

16. 某公司计划在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告, 能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元. 设该公司在 甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟. (Ⅰ)用 列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(Ⅱ)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,并求出最大收 益是多少? 【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告 使公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 【解析】试题分析: (I)根据广告费用和收益列出约束条件,作出可行域;

(II)列出目标函数 z=3000x+2000y,根据可行域判断最优解的位置,列方程组解出 最优解得出最大收益.
试题解析: (I)设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟,则 , 满 足的数学关系式为

该二次元不等式组等价于 做出二元一次不等式组所表示的平面区域 (II)设公司的收益为元,则目标函数为: 考虑 这是斜率为 又因为 当直线 解方程组 代入目标函数得 ,将它变形为 ,随变化的一族平行直线,当截距 . 最大,即最大.

满足约束条件,所以由图可知, 经过可行域上的点 时,截距 得 , . 最大,即最大.

答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大,最 大收益是 70 万元.

17. 如图, 边长为 的正方形

与梯形 的中点.

所在的平面互相垂直, 其中

(Ⅰ)证明: (Ⅱ)求二面角 (Ⅲ)求

平面 的正切值 所成角的余弦值

与平面

【答案】 (1)

(2)

【解析】试题分析: (Ⅰ)推导出 OM∥AC,由此能证明 OM||平面 ABCD.

(Ⅱ)取 AB 中点 H,连接 DH,则∠EHD 为二面角 D﹣AB﹣E 的平面角,由此能 求出二面角 D﹣AB﹣E 的正切值. (Ⅲ)推导出 BD⊥DA,从而 BD⊥平面 ADEF,由此得到∠BFD 的余弦值即为所 求.
试题解析: (I) 分别为 的中点 平面 平面 (II)取 中点 ,连接 , 为二面角 又 又 的平面角 平面

∵平面 平面 在 中, 与平面

平面

,平面

平面

平面

的余弦值即为所求

所成角的余弦值为

点睛:本题考查线面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,考查线面角的余弦

值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
18. 已知数列 (Ⅰ)求数列 的前 项和为 , 的通项公式

(II)设

, 为

的前 项和,求

【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】试题分析: (1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;

(2)当 n 为奇数时,bn=

=

;当 n 为偶数时,bn= =



分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出.
试题解析: (1) 又 ∴数列 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列

由(1)知

所以

设 则 两式相减得 整理得

, , , ,所以 .

点睛:本题考查了递推关系、等比数列的通项公式前 n 项和公式、“裂项求和”方法、 “错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19. 已知数列

中, 是等比数列 的通项公式 ,若 ,使 成立,求实数

(I)求证:数列 (II)求数列 (III)设 的取值范围.

【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】 试题分析: (I) 由

(3)

, 变形为

利用等比数列的定义即可证明. (II)由(I)可得: 得出. (III) ,可得 .利用“裂项求和” ,利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可

方法可得 Sn,再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出.
试题解析: (I)证明: . , ∴数列 (II)解: 故 ,当 ∴数列 的通项公式为 , 时, 符合上式, , 是首项、公比均为 2 的等比数列 是等比数列,首项为 2,通项 , . ,

(III)解:

故 若 围为 ,使 成立,由已知,有 ,解得 ,所以 的取值范

点睛:本题考查了递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累 加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.
20. 已知函数 (I)若 ①求函数 ②若函数 (II)若存在实数 ,函数 的单调区间 的值域为 ,求实数 的取值范围 ,使得 ,且 ,求证: ; (2) ; ,其中为自然对数的底数,

【答案】 (1)①详见解析②实数 的取值范围是

【解析】试题分析: (1)①求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间 即可; ②求出函数的导数,通过讨论 m 的范围得到函数的值域,从而确定 m 的具体范围即可; (2)求出函数 f(x)的导数,得到 a>0 且 f(x)在(﹣∞, 设 即可. 试题解析: (1)当 ① 由 所以函数 ② 当 当 时, 时, ,所以 ,所以 在区间 在区间 上单调递减; 上单调递增. 得 ,由 的单调增区间为 得 时, . . . ,单调减区间为 . ,则有 ]递减,在[ ,+∞)递增,

,根据函数的单调性得到关于 m 的不等式组,解出

在 因为 即 由①可知当 因为 所以当 当 所以函数 在 因为 时, 在

上单调递减,值域为 ,

,

的值域为 ,所以 . 时, 上单调递减,在 时, 在 在

,故 上单调递增,且 .

不成立.

恒成立,因此 上单调递减,在 上的值域为

上单调递增, ,即 . . . .

上单调递减,值域为 ,即

的值域为 ,所以

综合 1°,2°可知,实数 的取值范围是 (2) 若 由 同样不能有 不妨设 因为 所以当 由 故 又 所以 即 所以 . 在 在 ,则有 上单调递减,在 时, ,且 . 单调递减,且 ,同理 解得 . , ,所以 ,可得 . 时, 可得 . ,此时 ,与 . . 在 上单调递增.

相矛盾,

上单调递增,且





点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性 强, 难度大, 属于难题.处理导数大题时, 注意分层得分的原则, 力争第一二问答对, 第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意

分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或 最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决, 但涉及技巧比较多,需要多加体会.


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