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配套K12高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值基础达

小学+初中+高中+努力=大学

4.3.2 函数的极大值和极小值

基础达标 限时20分钟

1.函数 f(x)=x+1x在 x>0 时有

( ).

A.极小值

B.极大值

C.既有极大值又有极小值

D.极值不存在

解析 ∵f′(x)=1-x12,由 f′(x)>0,

得 x>1 或 x<-1,又∵x>0,∴x>1.

由?????fx>0. x

, 得 0<x<1,即在(0,1)内 f′(x)<0,

在(1,+∞)内 f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)有极小值 f(1),但无极大值.

答案 A 2.函数 y=1+3x-x3 有

( ).

A.极小值-1,极大值 1

B.极小值-2,极大值 3

C.极小值-2,极大值 2

D.极小值-1,极大值 3

解析 y′=3-3x2,令 y′=0,解得 x=±1.x<-1 或 x>1 时,y′<0;-1<x<1 时,

y′>0.可得 f(1)=3 是极大值,f(-1)=-1 是极小值.

答案 D

3.函数 f(x)的定义域为(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,

则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点

( ).

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析 f(x)的极小值点左边有 f′(x)<0,极小值点右边有 f′(x)>0,因此 f′(x)的

图象在原点 O 左侧第一个与 x 轴的交点符合条件,且只有 1 个极小值点,故选 A.

答案 A

4.已知函数 y=aln x+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处有极值,则 a=________,b

=________.

解析 ∵f′(x)=ax+2bx+1,由于 f′(1)=0,f′(2)=0.

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??a+2b+1=0, ∴???12a+4b+1=0.

解得 a=-23,b=-16.

答案 -23 -16

5.函数 y=cos 2x 在(0,π )内的极______值是______.

解析 y′=(cos 2x)′=-2sin 2x,令 y′=0,得 x=π2 ,又当 x∈???0,π2 ???时,f′(x)

<0;当 x∈???π2 ,π ???时,f′(x)>0.故 y=cos 2x 在(0,π )内的极小值是-1.
答案 小 -1

6.(2011·四川)已知 f(x)=23x+12,h(x)= x,设 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的

单调区间与极值. 解 F(x)=f(x)-h(x)=23x+12- x(x≥0).

F′(x)=23-12x-12=4

6

x-3. x

令 F′(x)=0 得 x=196.

当 x∈???0,196???时,F′(x)<0;x∈???196,+∞???时,F′(x)>0.

故当 x∈???0,196???时,F(x)是减函数;x∈???196,+∞???时,F(x)是增函数.

F(x)在 x=196时,有极小值,F???196???=18.

综合提高 限时25分钟

7.下列函数中,x=0 是其极值点的是 ( ).

A.y=-x3

B.y=cos2x

C.y=tan x-x

D.y=x+1 1

解析 显然 x=0 不是 y=-x3,y=x+1 1的极值点. 又 y′=(cos2x)′=2cos x(-sin x)=-sin 2x. 显然 x=0 时,y′=0,在 x0 的左右附近 y′正、负变化. ∴x0=0 是 y=cos2x 的极大值点. 答案 B

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8.(2011·浙江)函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的

一个极值点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是

( ).

解析 设 h(x)=f(x)ex,则 h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b +c)ex,由 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,得 h′(-1)=0.

即 a-2a-b+b+c=0,∴c=a.

f(x)=ax2+bx+a.若方程 ax2+bx+a=0 有两个根 x1,x2,则 x1x2=1.D 图中一定不满 足该条件.

答案 D 9.(2011·广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值.
解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),

当 x∈(0,2)时,f′(x)<0;

当 x∈(2,+∞)∪(-∞,0)时,f′(x)>0,

∴f(x)在(-∞,0)上是增函数,(0,2)上是减函数,(2,+∞)上是增函数.

所以 x=2 时,f(x)取得极小值.

答案 2 10.已知函数 f(x)=x·2x 取得极小值时,x=________.
解析 f′(x)=2x+x·2xln 2=2x(1+xln 2),

令 f′(x)=0 得 x=-log2e, 当 x>-log2e 时,f′(x)>0; 当 x<-log2e 时,f′(x)<0. ∴x=-log2e 时,f(x)取得极小值. 答案 -log2e 11.(2011·安徽)设 f(x)=1+exax2,其中 a 为正实数.

①当 a=43时,求 f(x)的极值点;②若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

解 f′(x)=ex

+ax2 -2axex ex ax2-2ax+

+ax2 2



+ax2 2

①当 a=43时,f′(x)=ex???43???1x+2-3483xx2???+2 1???.由 f′(x)=0 得 x=12或 x=32.

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当 x<12时,f′(x)>0;当12<x<32时,f′(x)<0;当 x>32时,f′(x)>0. ∴f(x)在???-∞,12???上是增函数,???12,32???上是减函数,???32,+∞???上是增函数. ∴x=12是极大值点,x=32是极小值点. ②若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号.由于 a>0,又 ex>0,(1+ax2)2>0. ∴ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立.即 Δ =4a2-4a≤0. ∴0<a≤1. 所以 a 的范围为(0,1]. 12.(创新拓展)(2011·重庆)设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)= 2a,f′(2)=-b,其中 a,b∈R. ①求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②设 g(x)=f′(x)e-x,求 g(x)的极 值. 解 ①f′(x)=3x2+2ax+b. ∵f′(1)=2a,f′(2)=-b, ∴3+2a+b=2a,12+4a+b=-b. ∴a=-32,b=-3. ∴f(x)=x3-32x2-3x+1. 从而 f(1)=-52. 又 f′(1)=2a=-3, ∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+52=-3(x-1),即 6x+2y-1=0. ②g(x)=(3x2-3x-3)e-x, ∴g′(x)=(6x-3)e-x- e-x(3x2-3x-3)=(-3x2+9x)e-x. 令 g′(x)=0 得 x=0 或 x=3. 当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0; 当 x∈(0,3)时,g′(x)>0; 当 x∈(3,+∞)时,g′(x)<0. ∴g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,3)上是增函数,在(3,+∞)上是减函数. ∴当 x=0 时,g(x)取得极小值 g(0)=-3;当 x=3 时,g(x)取得极大值 g(3)=15e- 3.
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