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2007年广州高二数学水平测试试题(附答案)


2007 学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测
第一部分
一、选择题: 1. (2007 广州市水平测试)函数 y ? sin x 的最小正周期是 A.

选择题(共 50 分)

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

2. (2007 广州市水平测试)直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率是 A. 3 B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

3. (2007 广州市水平测试) 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中 任意取出一球, 则取 出的是红球的概率是 A.

1 6

B.

1 4

C.

2 4. (2007 广州市水平测试)已知集合 A ? x x ? x ? 0 , B ? x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B ?

? ? C. ?x 1 ? x ?2?
A. x ? 2 ? x ? 1

?

1 3

D.

? ? D. ? x ?2 ? x ? 0 或 1 ? x ? 2?
B. x 0 ? x ? 1

?

1 2

?

?

5. (2007 广州市水平测试)已知等比数列 ?an ? 的公比是 2, a3 ? 1 ,则 a5 的值是 A.

1 16

B.

1 4

C.4

D.16

6. (2007 广州市水平测试) 如图 1 所示的算法流程图中(注: “x = x + 2” 也可写成“x:= x + 2” ,均表示赋值语句), 若输入的 x 值为 ? 3 , 则输出的 y 值是 A.

1 8

B.

1 2

C. 2

D. 8

1

7. (2007 广 州 市 水 平 测 试 ) 在 ?ABC 中 , A D ?

1 AB , 4

E 为 BC 边 的 中 点 , 设

AB ? a , AC ? b , 则 DE ?
A.

1 1 a? b 4 2

B.

3 1 a? b 4 2

C.

1 1 a? b 4 2

D.

3 1 a? b 4 2

8. (2007 广州市水平测试)已知 a ? b ? 0 , 则下列不等式一定成立的是 A. a ? ab
2

1 1 B. ? a b

C. a ? b

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a

b

9. (2007 广州市水平测试) 一个空间几何体的正视图是长为 4,宽为 3 的长方形,侧视图 是边长为 2 的等边三角形,俯视图如图 2 所示,则这个几何体的体积为 A.

2 3 3

B. 2 3

C.

4 3 3

D. 4 3 图2

10. (2007 广州市水平测试)定义: 对于函数 f ?x ? , 在使 f ? x ? ≤ M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值叫做函数 f ?x ? 的上确界. 例如函数 f ?x ? ? ? x ? 4 x 的上确界是4, 则
2

函数 g ?x ? ? log 1
2

A. ? 2

x2 ? 2 ?x ? 0? 的上确界是 x 3 B. ? C. 2 2

D. 2 2

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (2007 广州市水平测试)经过点 A ?1, 0 ? 和点 B ? 0, 2? 的直线方程是 . 12. (2007 广州市水平测试)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 已知 a ? 2, b ? 3 ,

?ABC 的面积为 1,则 sin C ?

.
2

? ≥ ?x , 13. (2007 广 州 市 水 平 测 试 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? ? x

?3 , ?

? x 0? ?x ? 0 ?

, 若 f ?a ? ? 3 , 则 .

a=

.

14. (2007 广州市水平测试)某体育场一角的看台的座位是这样排列的: 从第二排起每一排都比 前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第 6 排有 25 个座位, 则该看台前 11 排的座位总数 是 .

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 12 分)
2

已知 cos ? ?

? ?? 3 ?? ? , ? ? ? 0, ? , 求 sin ? 及 sin?? ? ? 的值. 4? 5 ? ? 2?

16. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 12 分) 下面是某地 100 位居民月均用水量的频率分布表: 分 组 [ 0, 0.5 ) [ 0.5, 1 ) [ 1, 1.5 ) [ 1.5, 2 ) [ 2, 2.5 ) [ 2.5, 3 ) [ 3, 3.5 ) [ 3.5, 4 ) [ 4, 4.5 ) 合计 频 数 5 10 15 20 25 10 8 5 2 100 1.00 频 率 0.05

(1)请同学们完成上面的频率分布表(请把答案填在答卷所提供的表格上); (2)根据频率分布表, 画出频率分布直方图(请把答案画在答卷所提供的坐标系上); (3)根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围 内的概率大约是多少? 17. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 ? 2, S5 ? 0 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最大值.

18. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 14 分) 如图 3,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中,

?BAD ? 60? , PA ? PD , E 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 EBD ; (2)求证: ?PBC 是直角三角形. 图

3

19. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 14 分) 已知圆 C 经过坐标原点, 且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,切点为 A? 2, 4? . (1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为 ? 1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M、N , 求 AM ? AN 的取值范围. 20. (2007 广州市水平测试)(本小题满分 14 分) 定义在 R 上的函数 f ? x ? ?

x?b ( a, b ? R , a ? 0) 是奇函数 , 当且仅当 x ? 1 时, ax 2 ? 1

f ?x ? 取得最大值.
(1)求 a, b 的值; (2)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

mx 在区间 ? ?1, 1? 上有且仅有两个不同的零点,求实数 1? x

m 的取值范围.

2007 学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考解答及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 11. 2 x ? y ? 2 ? 0 12.

1 3

13.

3

14. 275

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能,考查运算求解能力)

4

解:

cos ? ?

? ?? 3 , ? ? ? 0, ? , 5 ? 2?
2

4 ?3? ?s i n ? ? 1? c o 2 s? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?

?? ? ? ? ?s i n ? c o s ?c o? ssin ?? ? ? ? s i n 4? 4 4 ?
? 4 2 3 2 7 2 . ? ? ? ? 5 2 5 2 10

16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和概率等基础知识,以及数据处理能 力、运算求解能力、应用意识) 解: (1) 某地 100 位居民月均用水量的频率分布表: 分 组 [ 0, 0.5 ) [ 0.5, 1 ) [ 1, 1.5 ) [ 1.5, 2 ) [ 2, 2.5 ) [ 2.5, 3 ) [ 3, 3.5 ) [ 3.5, 4 ) [ 4, 4.5 ) 合 计 (2)频率分布直方图如下: 频 数 5 10 15 20 25 10 8 5 2 100 频 率 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.10 0.08 0.05 0.02 1.00

(3)根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的 概率大约是

60 ? 0 .6 . 100
5

17. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等差数列、等差数列前 n 项和公式等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)? a2 ? 2, S5 ? 0 ,

? a1 ? d ? 2, ? ?? 5 ? 4d 5a1 ? ? 0. ? ? 2
解得 a1 ? 4, d ? ?2 .

? an ? 4 ? ?n ? 1? ? ?? 2? ? 6 ? 2n .
(2) S n ? na1 ?

n?n ? 1?d ? 4n ? n?n ? 1? 2

? ?n 2 ? 5n

5 ? 25 ? ? ?? n ? ? ? . 2? 4 ?

2

? n ?N * ,
? 当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最大值 6.
18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系等基础知识,考查空间想像能力和推理论证能力) 证明:(1)连接 AC, AC 与 BD 相交于点 O , 连接 OE , 则 O 为 AC 的中点.

? E 为 PC 的中点,

? EO // PA . ? EO ? 平面 EBD , PA ? 平面 EBD ,

? PA // 平面 EBD .
(2)设 F 为 AD 的中点, 连接 PF , BF .

? PA ? PD , ? PF ? AD . ? ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? , ? ?ABD 是等边三角形. ? BF ? AD .

? PF ? BF ? F , ? AD ? 平面 PBF . ? BC // AD, ? BC ? 平面 PBF . ? PB ? 平面 PBF , ? PB ? BC . ? ?PBC 是直角三角形.
6

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识,考查数形结合、函数与方程的数 学思想方法,以及运算求解能力、创新意识) (1)解法一:设圆 C 的圆心为 C , 依题意得直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 ,

? 直线 AC 的方程为 y ? 4 ? ??x ? 2? , 即 x ? y ? 6 ? 0 . 4 ? 直线 OA 的斜率 k OA ? ? 2 , 2 1 ? 直线 OA 的垂直平分线为 y ? 2 ? ? ? x ? 1? , 即 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2
解方程组 ?

? x ? y ? 6 ? 0, 得圆心 C 的坐标为 (7, ? 1) . ? x ? 2 y ? 5 ? 0.
2 2

? 7 ? 2? ? ? ?1 ? 4? 2 2 ? 圆 C 的方程为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
? 圆 C 的半径为 r ? AC ?
2

?5 2 ,

解法二: 设圆 C 的方程为 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,
2

??2 ? a ?2 ? ?4 ? b ?2 ? r 2 , ? a?b?2 ? 依题意得 ? ? r, ? 2 22 2 ? ?a ? b ? r .
? a ? 7, ? 解得 ?b ? ?1, ?r ? 5 2 . ?

? 圆 C 的方程为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
2 2

解法三: 设圆心 C 的坐标为 ?a, b ? .

?b ? 4 ? 1 ? ?1, ? 依题意得 ? a ? 2 ? a 2 ? b 2 ? ?a ? 2?2 ? ?b ? 4?2 . ?
解得 ?

?a ? 7, ?b ? ?1.
2

? 圆心 C 的坐标为 ? 7, ? 1? . ? 圆 C 的半径为 r ? OC ? 72 ? ? ?1? ? 5 2 . ? 圆 C 的方程为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
2 2

(2)解:设直线 l 的方程为 y ? ? x ? m, M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? . 由?

? y ? ? x ? m, 2 2 ??x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
7

消去 y 得 2x2 ? ? 2m ?16? x ? m2 ? 2m ? 0 .

? x1 ? x2 ? m ? 8, x1 x2 ?

m 2 ? 2m . 2

? AM ? AN ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4)
? 2x1 x2 ? ?m ? 2??x1 ? x2 ? ? ?m ? 4? ? 4
2 2

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (? x1 ? m ? 4)(? x2 ? m ? 4)

? m2 ? 2m ? ?m ? 2??m ? 8? ? ?m ? 4? ? 4
2

? m2 ? 12m ? 36 ? ? m ? 6 ? . ? 直线 l 与圆 C 相交于不同两点,

?

7 ?1? m 2

?5 2.

? ?4 ? m ? 16.

? AM ? AN 的取值范围是 ?0,100? .

…………14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数的性质、函数的应用、基本不等式等基础知识,考查数形结合、 函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力、创新意识) 解: (1)? 函数 f ? x ? ?

x?b 是奇函数, ax 2 ? 1

? f ?? x ? ? ? f ?x ? .
? ? x?b x?b ?? 2 , 得b ? 0. 2 ax ? 1 ax ? 1 x ? f ?x ? ? 2 . ax ? 1 x 若 a ? 0, 则函数 f ? x ? ? 的定义域不可能是 R, 又 a ? 0 , 故 a ? 0 . 2 ax ? 1
当 x ≤ 0 时, f ( x ) ≤ 0 ; 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ax ? 1
2



x 2 ax 2 ?1

?

1 2 a

.

当且仅当 ax ? 1 , 即 x ?
2

1 时, f ?x ? 取得最大值. a

依题意可知

1 ?1, 得 a ? 1. a
x x mx ? ? 0. ,令 g ?x ? ? 0 ,即 2 x ?1 x ?1 1? x
2

(2)由(1)得 f ? x ? ?

8

2 化简得 x mx ? x ? m ? 1 ? 0 .

?

?

? x ? 0 或 m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 .
2 2 若 0 是方程 m x ? x ? m ? 1 ? 0 的根, 则 m ? ?1 , 此时方程 m x ? x ? m ? 1 ? 0 的另一

根为 1, 不符合题意.

? 函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

mx 在区间 ? ?1,1? 上有且仅有两个不同的零点等价于方程 1 ? x m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 (※)在区间 ? ?1,1? 上有且仅有一个非零的实根.

(1)当 m ? 0 时, 得方程(※)的根为 x ? ?1 , 不符合题意. (2)当 m ? 0 时, 则 ①当 ? ? 12 ? 4m ? m ? 1? ? 0 时, 得 m ?

?1? 2 . 2

若m ? 题意; 若m ?

1 1 ?1? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ?1, 1? , 符合 , 则方程 ( ※ ) 的根为 x ? ? 2m 2 ?1 ? 2

1 1 ?1? 2 ?? ? ? 2 ? 1? ? ?1, 1? ,不符 , 则方程(※)的根为 x ? ? 2m 2 ?1 ? 2

合题意.

?m ?

?1? 2 . 2
2

② 当 ? ? 0 时, 令 ? ?x? ? mx ? x ? m ? 1 , 由?

?? ?? 1? ? ? ?1? ? 0, 得 ?1 ? m ? 0 . ? ? ? 0 ? 0 . ?
x1 ? 0 , x2 ? 1 , 不符合题意.

? ? ?? 1? ? 2m ? 0 . 若 ? ?1? ? 0 , 得 m ? ?1 , 此时方程 m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 的根是
? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?. ? 2 ? ? ?

综上所述, 所求实数 m 的取值范围是 ? ?1, 0 ?

9


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