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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第1讲 变化率与导数、导数的运算(含解析)新人教A版


第三章 导数及其应用 第 1 讲 变化率与导数、导数的运算
一、选择题 1. 设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 ( ) B.0 1 C. 5 D.5

1 A.- 5

解析 因为 f(x)是 R 上的可导偶函数,所以 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以 f(x)在 x =0 处取得极值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5)=0,即曲线 y=f(x) 在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 答案 B 2.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′(x)+f(x)<0,则对任意正 数 a,b,若 a>b,则必有 A.af(b)<bf(a) C.af(a)<f(b) B.bf(a)<af(b) D.bf(b)<f(a) ( ).

xf′?x?-f?x? f?x? 解析 构造函数 F(x)= (x>0),F′(x)= ,由条件知 F′(x)<0,∴函数 F(x) x x2 f?x? f?a? f?b? = 在(0,+∞)上单调递减,又 a>b>0,∴ < ,即 bf(a)<af(b). x a b 答案 B 1 3.已知函数 f(x)=x3+2ax2+ x(a>0),则 f(2)的最小值为 a ( 3 A.12 2 2 C.8+8a+ a 解析 1 B.12+8a+ a D.16 ).

2 2 2 1 f(2)=8+8a+ ,令 g(a)=8+8a+ ,则 g′(a)=8- 2,由 g′(a)>0 得 a> ,由 a a a 2

1 1 1 2 g′(a)<0 得 0<a< ,∴a= 时 f(2)有最小值.f(2)的最小值为 8+8× + =16.故选 D. 2 2 2 1 2 答案 D 4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e ).

1

1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 B 5. 等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), 则 f′(0)=( A.2
6

).

B.2

9

C.2

12

D.2

15

解析 函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·a2·…·a8=(a1·a8) =8 =2 , 而 f′(0) =a1·a2·…·a8=2 ,故选 C. 答案 C
12

4

4

12

6.已知函数 f′(x),g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数,它们在同一坐标 系下的图象如图所示,设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 A.h(1)<h(0)<h(-1) B.h(1)<h(-1)<h(0) C.h(0)<h(-1)<h(1) D.h(0)<h(1)<h(-1) 1 1 解析 由图象可知 f′(x)=x,g′(x)=x2,则 f(x)= x2+m,其中 m 为常数,g(x)= x3+ 2 3 1 1 n,其中 n 为常数,则 h(x)= x2- x3+m-n,得 h(0)<h(1)<h(-1). 2 3 答案 D 二、填空题 7.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 3 解析 ∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x·=3ln x+4,∴k=y′|x=1=4,∴所求切线 x 的方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 答案 y=4x-3 8.若过原点作曲线 y=e 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________.
x

(

).

y0 ex0 x 解析 y′=e ,设切点的坐标为(x0,y0)则 =ex0,即 =ex0,∴x0=1.因此切点的坐 x0 x0
标为(1,e),切线的斜率为 e. 答案 (1,e) e

2

9.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的导 数 f′(1)=________. 解析 ∵f(x)=2f(2-x)-x +8x-8, ∴x=1 时,f(1)=2f(1)-1+8-8, ∴f(1)=1,即点(1,1),在曲线 y=f(x)上. 又∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8,
2

2

x=1 时,f′(1)=-2f′(1)-2+8,
∴f′(1)=2. 答案 2 10.同学们经过市场调查,得出了某种商品在 2011 年的价格 y(单位:元)与时间 t(单位:月) t2 的函数关系为:y=2+ (1≤t≤12),则 10 月份该商品价格上涨的速度是______元/ 20-t 月. t2 解析 ∵y=2+ (1≤t≤12), 20-t t2 t2 ∴y′=?2+20-t?′=2′+?20-t?′

?

?

?

?

?t2?′?20-t?-t2?20-t?′ 40t-t2 = = . ?20-t?2 ?20-t?2 由导数的几何意义可知 10 月份该商品的价格的上涨速度应为 y′|t=10= 因此 10 月份该商品价格上涨的速度为 3 元/月. 答案 3 三、解答题 11.求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n,(n∈N*); ex+1 (3)y= x ; e -1 (2)y=ln (x+ 1+x2); 40×10-102 =3. ?20-10?2

(4)y=2xsin(2x+5).
- -

解 (1)y′=n(2x+1)n 1· (2x+1)′=2n(2x+1)n 1. 1 ?1+ 2x ?= 1 . (2)y′= ? 2 1+x2? 2· ? x+ 1+x ? 1+x2 ex+1 -2ex 2 (3)∵y= x =1+ x ∴y′= x . e -1 e -1 ?e -1?2 (4)y′=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 12.设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x -3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,已知曲线
3 2 2

y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l.

3

(1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x ∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)f′(x)=3x +4ax+b, g′(x)=2x-3, 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0) 处有相同的切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解得 a=-2,b=5; 切线 l 的方程为:x-y-2=0. (2)由(1)得 f(x)+g(x)=x -3x +2x,依题意得:方程 x(x -3x+2-m)=0 有三个互 不相等的根 0,x1,x2,故 x1,x2 是方程 x -3x+2-m=0 的两个相异实根,所以 Δ =9 1 -4(2-m)>0? m>- ; 4 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,特别地,取 x=x1 时,
2 3 2 2 2

f(x1)+g(x1)-mx1<-m 成立, 即 0<-m? m<0, 由韦达定理知: x1+x2=3>0, x1x2=2-m>0,
故 0<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,则 f(x)+g(x)-mx=

x(x-x1)(x-x2)≤0;
又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数在 x∈[x1,x2]上的最大值为 0,于是当 m<0 时对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+

? ? g(x)<m(x-1)恒成立.综上:m 的取值范围是?- ,0? 4
1

?

?

b 13.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 定值,并求此定值. (1)解 7 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,

b 1

?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ? ?b=3.

3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f′(x)=1+ 2知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线 x 3 ? 3? ? 3 ? 方程为 y-y0=? (x-x0),即 y-? ?1+x 2 ?· ?x0-x ?=?1+x 2 ?(x-x0).
0 0 0

6? 6 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为? ?0,-x0?. x0 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).
4

6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 此定值为 6. 3 14.设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a,b∈R,a,b,为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 2 在(0,0)点相切. (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< 9x . x+6

(1)解 由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1. 3 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 , 2 1 3 ? 1 ? +a? 又 y′|x=0= ?x+1+ ?? = = +a, 2 x+1 ??x 0 2 ? 得 a=0. (2)证明 当 x>0 时,2 ?x+1?· 1<x+1+1=x+2, x 9x 故 x+1< +1.记 h(x)=f(x)- ,则 2 x+6 2+ x+1 1 1 54 54 h′(x)= + - - 2= x+1 2 x+1 ?x+6? 2?x+1? ?x+6?2 x+6 ?x+6?3-216?x+1? 54 < - = . 4?x+1? ?x+6?2 4?x+1??x+6?2 令 g(x)=(x+6)3-216(x+1), 则当 0<x<2 时,g′(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数, 又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0. 9x 于是当 0<x<2 时,f(x)< . x+6

5


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