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福建省师大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题


福建师大附中 2012—2013 学年度上学期期中考试

高二数学理试题
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案 命题人:周裕燕 卷. 审核人:江 泽

第I卷
只有一项符合题目要求.

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,
? 1.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 A ? 45 , a ? 6 , b ? 3 2 ,则 B

的大小为 A. 30
?

B. 60

?

C. 30 或 150

?

?

D. 60

?

或 120

?

2.已知 c ? d , a ? b ? 0 , 则下列不等式中一定成立的是 A. a ? c ? b ? d B. a ? c ? b ? d C. ad ? bc D.

a b ? c d

3.已知等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 8 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 等于 A . 22 B. 33 C . 44 D.55

4.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

S S4 1 ? ,那么 8 的值为 S16 S8 3
C.

A.

3 10

B.

1 3

1 4

D.

1 5

5. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 等于 A.6 B.7 6.下列命题是真命题的是
2 2

7 1 .若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? , n 则 15 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
C.8 D.9

①“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 不全为零”的否命题; ②“正六边形都相似”的逆命题; ③“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④“若 x ? 32 是有理数,则 x 是无理数”. A.①④ B.③④ C.①③④ D.①②③④ 7.在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .若 a ? c cos B ,则△ABC 是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

1

8.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 0 , S5 ? S12 ,则当 Sn 取得最大值时, n 的值 为 A.7 B.8 C.9 D.8 或 9

9.某人从 2008 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期),若年利率为 r 保持不变, 且每年到期存款和利息自动转为新的一年定期,到 2011 年底将所有存款及利息全部取 回,则可取回的钱数(元)为 A.

a [(1 ? r )5 ? (1 ? r )] r

B.

a [(1 ? r )4 ? (1 ? r )] r

C. a(1 ? r )6
2

D. a(1 ? r )5

10.已知关于 x 的不等式 ax ? x ? 1 ? 0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 A. 0 ? a ?

1 4

B. 0 ? a ?

1 4

C. a ?

1 4

D. a ?

1 4

11.已知 a, b 为正实数,且 取值范围为 A. (??,

1 2 ? ? 2 ,若 a ? b ?c ? 0 对于满足条件的 a, b 恒成立,则 c 的 a b
C. (??,6]
2

3 ? 2] 2

B. (??,3]
2

D. (??,3 ? 2 2 ]

12. 关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 的两个根均在区间 (?2,4) 内的必要不充分 条件是 A. a ? ?1 B. ? 1 ? a ? 3 C. 0 ? a ? 3 D. a ? 3

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n , 则 a10 ? ***** ; 14.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ? 1 ,则 an ? ***** ; 15 . 在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 已 知 B ? 60? , 不 等 式
x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ***** ;

? y?x ? 16.在约束条件 ? x ? y ? 2 下,过点 ?1,1? 目标函数 z 取得最大值 10,则目标函数 z ? ***** ? y ? ?1 ?
(写出一个适合题意的目标函数即可) ; 17.已知 an ? 2n ,把数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形状,记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则结论 ① A(3, 2) ? 64 ; ② A(i,3) ? 2 A(i, 2),(i ? 2) ; ③ [ A(i, i)] ? A(i,1) ? A(i, 2i ?1),(i ? 1) ;
2

a1 a2 a5 a10 a11 a6 a12 a3 a7 a13
……

a4 a8 a14 a9 a15 a16

④ A(i ? 1,1) ? A(i,1) ? 2

2i ?1

,(i ? 1) .

其中正确的是***** (写出所有正确结论的序号). 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足 A ? 45 , cos B ?
o

3 . 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 a ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

19.(本小题满分 12 分)
已知关于 x 的不等式

(a ? 1) x ? 3 ? 1. x ?1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,解该不等式; (Ⅱ)当 a ? 0 时,解该不等式.

20. (本小题满分 10 分)
福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即 将出售的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表: 每台空调或冰箱所需资金(百元) 月资金最多供应量 资金 (百元) 空调 冰箱 30 20 300 进货成本 5 10 110 工人工资 6 8 每台利润 问:如果根据调查得到的数据,该商场应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使 商场获得的总利润最大?总利润的最大值为多少元?

21.(本小题满分 12 分)
攀岩运动是一项刺激而危险的运动,如图(1)在某次攀岩活动中,两名运动员在如图 所在位置,为确保运动员的安全,地面救援者应时刻注意两人离地面的距离,以备发生 危险时进行及时救援. 为了方便测量和计算,画出示意图,如图(2)所示,点 A, C 分 别为两名攀岩者所在位置,点 B 为山的拐角处,且斜坡 AB 的坡角为 ? ,点 D 为山脚, 某人在地面上的点 E 处测得 A, B, C 的仰角分别为 ? , ? , ? , ED ? a ,求: (Ⅰ)点 B, D 间的距离及点 C , D 间的距离; (Ⅱ)在点 A 处攀岩者距地面的距离 h .

A θ B

C

E
图(1) 图(2)

D

22.(本小题满分 12 分)
? x ? 2 y ? 2n ? x ? 0 ,( n ? N * )内的点,目标函数 z ? x ? y , z 的最大值 已知点 ( x, y ) 是区域 ? ? y?0 ?
记作 z n .若数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且点( S n , an )在直线 z n ? x ? y 上. (Ⅰ)证明:数列 {an ? 2} 为等比数列; (Ⅱ)求数列 {Sn } 的前 n 项和 Tn .

23. (本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ?

4x . 4x ? 2

(Ⅰ)求 f ( x) ? f (1 ? x), x ? R 的值; (Ⅱ)若数列 {a n }满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n?1 ? an , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,是否存在正实数 k ,

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) (n ? N *) , n

使不等式 knSn ? 4bn 对于一切的 n ? N ? 恒成立?若存在,请求出 k 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题:1-12:ABCDBC CDADAD 二、填空题: 2 , ? 3, n ? 1 13. 91 14. an ? ? 15. 134 ?2n, n ? 2 , 6 a 16. z ? x ? 9 y(若为线性目标函数 z ? ax ? by , 只要满足 a ? b ? 10 且 b ? 0, ?1 ? ? ? 1 ;

b

若为非线性目标函数,能满足条件也可以) 17. ①②③④ 三、解答题: 18.解: (Ⅰ)∵ cos B ?

3 , 5

∴ sin B ?

4 5

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin(45 ? B) ?
o

2 2 7 2 cos B ? sin B ? 2 2 10

(或: sin C ? sin(135 ? B) ?
o

2 2 7 2 ) cos B ? sin B ? 2 2 10

a sin B (Ⅱ)法一:由正弦定理得, b ? ? sin A

5?

4 5 ?4 2, 2 2

∴ S?ABC ?

1 1 7 2 ab sin C ? ? 5 ? 4 2 ? ? 14 2 2 10
5? 7 2 10 ? 7 , 2 2

法二:由正弦定理得, c ?

a sin C ? sin A

∴ S ?ABC ?

1 1 4 ac sin B ? ? 5 ? 7 ? ? 14 . 2 2 5 (a ? 1) x ? 3 ax ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ? 0 ,等价于 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 x ?1 x ?1
∴1 ? x ? 2

19.解:原不等式可化为

(Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 , ∴原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 2} . (Ⅱ)∵原不等式等价于 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 , ∵a ? 0, 当 ∴ ( x ? )( x ? 1) ? 0

∴ a( x ? )( x ? 1) ? 0

2 a

2 a

2 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,解集为 {x |1 ? x ? } a a 2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 ? a 2 2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 {x | ? x ? 1} a a 20.解:设每月调进空调和冰箱分别为 x, y 台,总利润为 z (百元)则由题意,得

?30 x ? 20 y ? 300 ? 3x ? 2 y ? 30 ? ? ? 5 x ? 10 y ? 110 , 即 ? x ? 2 y ? 22 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
目标函数是 z ? 6 x ? 8 y , 11

y

3x ? 2 y ? 30
15

x ? 2 y ? 22
10 x

0

22

3x ? 4 y ? 0

画图,得 ?

?3x ? 2 y ? 30 的交点是 P(4,9) ? x ? 2 y ? 22

(百元) zm a x? 6 ? 4 ? 8 ? 9 ? 9 6 所以,每月调进空调和冰箱分别为 4 台和 9 台,总利润最大,最大值为 9600 元. 21.解: (Ⅰ)根据题意得 ?CED ? ? , ?ABE ? ? , ?AED ? ?

CD , CD ? a tan ? DE BD 在直角三角形 BED 中, tan ? ? , BD ? a tan ? DE a h (Ⅱ)易得 AE ? , BE ? cos ? sin ? 在 ?ABE 中, ?AEB ? ? ? ? , ?EAB ? ? ? (? ? ? )
在直角三角形 CED 中, tan ? ? 正弦定理

BE sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) BE AE ? 得 AE ? ? sin ?EAB sin ?AEB sin(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )

∴h?

a sin ? sin(? ? ? ) cos ? sin(? ? ? )

22. 解: (Ⅰ)由已知当直线过点 (2n, 0) 时,目标函数取得最大值,故 z n ? 2n ∴方程为 x ? y ? 2n ∵( S n , an )在直线 z n ? x ? y 上, ∴ Sn ? an ? 2n ① ∴ Sn?1 ? an?1 ? 2(n ?1), n ? 2 ② ∴ 2an ? an?1 ? 2, n ? 2 ,

由①-②得, 2an ? an?1 ? 2, n ? 2 ∴ 2(an ? 2) ? an?1 ? 2, n ? 2 ∵ a1 ? 2 ? ?1,

∴数列 {an ? 2} 以 ?1 为首项,

1 为公比的等比数列 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2 ? ? ( ) ∵ Sn ? an ? 2n ,

1 n ?1 2 1 n ?1 ∴ Sn ? 2n ? an ? 2n ? 2 ? ( ) 2
n ?1

1 2

,∴ an ? 2 ? ( )

∴ Tn ? [0 ? ( ) ] ? [2 ? ( )] ? ??? ? [2n ? 2 ? ( )
0

1 2

1 2

1 2

n ?1

]

1 1 1 ? [0 ? 2 ? ??? ? (2n ? 2)] ? [( ) 0 ? ( ) ? ??? ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 1 1 ? ( )n n(2n ? 2) 2 ? n 2 ? n ? 2 ? ( 1 ) n ?1 ? ? 1 2 2 1? 2
4 4x 41? x 4x 23.解: (1) f ( x) ? f (1 ? x) = x + 1? x = x + =1 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 ? 4x
1 2 n ?1 ) ? f (1) ① n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ② ∴ a n ? f (1) ? f ( n n n

(2)∵ a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

由(Ⅰ) ,知 f ( x) ? f (1 ? x) =1 ∴①+②,得 2an ? (n ? 1).? an ?

n ?1 . 2

(3)∵ bn ? 2n?1 ? an ,∴ bn ? (n ? 1) ? 2n ∴ Sn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? (n ? 1) ? 2n , ①

2Sn ?

2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n ? (n ?1) ? 2n?1 , ②

①-②得 ?Sn ? 4 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 即 Sn ? n ? 2n?1 恒成立,
2 ? 要使得不等式 knSn ? 4bn 恒成立,即 kn ? 2n ? 2 ? 0 对于一切的 n ? N

2n ? 2 ? 对一切的 n ? N 恒成立, 2 n 2n ? 2 2(n ? 1) 2 令 f (n) ? , ? ? 2 2 n (n ? 1) ? 2(n ? 1) ? 1 (n ? 1) ? 1 ? 2 n ?1 1 1 1 5 * ∵ (n ? 1) ? 在 n ? N 是单调递增的, ∴ (n ? 1) ? 的最小值为 2 ? ? n ?1 n ?1 2 2 2 ∴ f (n)min = ? 4, ∴k ? 4 . 5 ?2 2
法一: k ?

时,k ? 2 ? 2 ? 0成立,即k ? 4 . 法二: n ? 1
当 k ? 4 时,由于对称轴直线 n ?

设 g (n) ? kn2 ? 2n ? 2

1 ? 1 ,且 g (1) ? k ? 2 ? 2 ? 0 ,而函数 f ( x) 在 k

?1, ???

是增函数,

∴不等式 knSn ? bn 恒成立

即当 k ? 4 时,不等式 knSn ? bn 对于一切的 n ? N ? 恒成立.


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