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[人教A版数学选修2-3]1.1.3分类加法计数原理与分步乘法计数原理ppt课件_图文

第1章 计数原理 1.1.3 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理(三) zxxk 第1章 计数原理 方法与技巧 1.分类计数原理和分步计数原理,都是关于做一件事的不同 方法的种数的问题,区别在于:分类计数原理针对 “分类” 问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以 做完这件事;分步计数原理针对“分步”问题,各个步骤相 互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 2.混合问题一般是先分类再分步. 3.分类时标准要明确,做到不重复不遗漏. 4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚, 便于探索规律. 第1章 计数原理 练习: 4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛 , (1)若每人限报一科,则有多少种不同 的报名方法? (2)若每人最多参加一科,且每项竞赛 只允许一人参加,有多少种不同的报名方 法? (3)若4人争夺这三科的一等奖,每科一 等奖只有一人,则有多少种不同的结果? (1)81种 (2)24种 (3)64种 第1章 计数原理 两个原理的综合应用 对于较复杂的问题,可以在分类方法中分步 进行,或者在每步中分类. 某外语组有9人,每人至少会英语和 日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语, 从中选出会英语和日语的各一人,有多少种 不同的选法? 例 第1章 计数原理 【思路点拨】 分清只会英语、只会日语和会两种 外语的人数,再分类选人. 【解】 依题意得既会英语又会日语的有7+3-9 =1(人)(记为A),6人只会英语,2人只会日语. 第一类:不选A有6×2=12(种). 第二类:选A为会英语的有1×2=2(种). 第一类:选A为会日语的有6×1=6(种). 综上,不同选法共有N=12+2 + 6=20(种) 【思维总结】 这种“多面手”的题型,关键分清“多 面手”可以“干什么”活. 第1章 计数原理 变式训练2 7名学生中有3名会下象棋但不 会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象 棋,另2名既会下象棋又会下围棋,现从中 各选1人同时参加象棋比赛和围棋比赛,共 有多少种不同的选法? 解:第一类:从3名只会下象棋的学生中选1 名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的 学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计 数原理N1=3×2=6(种) 第1章 计数原理 第二类:从3名只会下象棋的学生中选1名参 加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下 围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步 乘法计数原理N2=3×2=6(种). 第三类:从2名只会下围棋的学生中选1名参 加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下 围棋的学生中选1名参加象棋比赛,由分步 乘法计数原理N3=2×2=4(种). 第1章 计数原理 第四类:从2名既会下象棋又会下围棋的学 生中各选1名参加围棋比赛和象棋比赛,有 N4=2(种). 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法 共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2= 18(种). 一、排数字问题 第1章 计数原理 例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (3×4 × 4) (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (6+5 ×5+ 5×5 ×4) (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?(175) 二、映射个数问题: 第1章 计数原理 例2.设 A={a, b, c, d, e }, B={x, y, z}, 从A到B共有多少 种不同的映射? 形成一个映射,就是让A中所有元素都找到对应元素. 解:第一步,给a找对应元素,有3种方法; 第二步,给b找对应元素,有3种方法; 第三步,给c找对应元素,有3种方法; 第四步,给d找对应元素,有3种方法; 第五步,给e找对应元素,有3种方法. 则共有方法种数N=35. 【结论】集合A中有m个元素,集合B中有n个元素, 那么从A到B可以构造nm个映射. 第1章 计数原理 【1】设A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6},从A到B满 足1的象是4的映射有多少种? 9 【2】设集合A ={x, y, z}, B ={-1, 0, 1}, 映射 f:A→B满足f (x)+f (y) + f (z)=0的映射有多少种? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 7. 三、子集问题 第1章 计数原理 例3.集合A={a, b, c, d, e},它的子集个数为___, 25 5 5 真子集个数为______, 2 ? 1 非空子集个数为_____, 2 ?1 非空真子集个数为_______. 25 ? 2 【1】集合M满足{1, 2}?M?{0, 1, 2, 3, 4, 5}, 则这样的集合M有多少个? 2 6? 2 ? 16 三、子集问题 第1章 计数原理 【规律】n元集合{a1, a2, · · · , an},的不同子 集有个_____ 2n 个 . 学科网 真子集有______ 2 ? 1 个, n 2 ?1 , 非空子集个数为_________ n 2 ?2 非空真子集个数有__________. n 四、染色问题 第1章 计数原理 例4:如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种? 第1章 计数原理 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 第1章 计数原理 变式:如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂 色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜 色, 不

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