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2014届高三数学冲刺高考真题训练1(文)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 1( 文 )
一.填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分.

1 的解是 9 1 2.函数 f ( x ) ? 的反函数 f x ?1
1.方程 3
x ?1

?


?1

( x) ?




3.直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ?
π? ? 4.函数 y ? sec x cos ? x ? ? 的最小正周期 T ? 2? ?



5.以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 4 5


6.若向量 a, b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a a ? b ?
?

?

?

C1

?

B1

A1
C

7.如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ACB ? 90 ,

AA1 ? 2 , AC ? BC ? 1 ,则异面直线 A1 B 与 AC 所成角的
大小是 (结果用反三角函数值表示) .

B

A

5 x 4 天.四道工 8.某工程由 A,B,C,D 四道工序组成,完成它们需用时间依次为 2,,,

序的先后顺序及相互关系是: A, B 可以同时开工; A 完成后, C 可以开工; B, C 完成后, D 可以开工.若该工程总时数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大是
2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 9.在五个数字 1,,,,



(结果用数值表示) . 10.对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: ① a?

1 ? 0; a

② (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2
2 ④ 若 a ? ab ,则 a ? b .

③ 若 | a | ? | b | ,则 a ? ?b ;

那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是



11.如图, A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相切于
A, B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与

C

线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是



l

A

B
1

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零 分. 12.已知 a,b ? R ,且 2 ? a i,

b ? 3 i ( i 是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两
) B. a ? 3, b ? ?2 D. a ? 3, b ? 2 )

个根,那么 a,b 的值分别是( A. a ? ?3, b ? 2 C. a ? ?3, b ? ?2

13.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( A. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 2

B. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

?1 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? ? n2 14.数列 ? an ?中, an ? ? 则数列 ? an ?的极限值( 2 ? n , n ≥ 1001 , ? n 2 ? 2n ?



A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

15.设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推
2 出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 成立” . 那么,下列命题总成立的是(



A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100成立

B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立

C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 三.解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16. (本题满分 12 分)
? 在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 2 ,直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求

正四棱锥 P ? ABCD 的体积 V .

P

D

C
2

A

B

17. (本题满分 14 分)
, c 分 别 是 三 个 内 角 A, B,C 的 对 边 . 若 a ? 2, 在 △ ABC 中 , a, b

C?

π , 4

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S . ? 2 5

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%. 以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 2%(如,2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦) ; (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际安 装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年 ,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) ,这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 f ( x ) ? x ?
2

a x

( x ? 0 ,常数 a ?R) .

(1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ; (2)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

3

20. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.
a2, a3, , am 如果有穷数列 a1, ( m 为正整数) 满足条件 a1 ? am , ?, a2 ? am?1 , am ? a1 ,
2 , m) 即 ai ? am?i ?1 ( i ? 1,, ,我们称其为“对称数列” .

2 5 2 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列” 例如,数列 1,,,, . b2, b3, b4 是等差数列, (1) 设 ?bn ?是 7 项的 “对称数列” , 其中 b1, 且 b1 ? 2 ,b4 ? 11. 依

次写出 ?bn ?的每一项;
c26, , c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比 (2)设 ? cn ?是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,

数列,求 ? cn ?各项的和 S ;
d52, , d100 是首项为 2 ,公差为 3 的等 (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列” ,其中 d51, 2 , 100 ) . 差数列.求 ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,,

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 我们把由半椭圆

x2 y2 y2 x2 ( x ≥ 0 ) ? ? 1 ? ? 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称 与半椭圆 a2 b2 b2 c2

2 2 2 作“果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0 , b ? c ? 0 .

如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y y 轴的交点, M 是线段 A1 A2 的中点. (1)若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该 “果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆

B2

y x ? 2 ?1 2 b c

2

2

A1

.F . . O M . F
2

0

A2

x

F1 B

( x ≤ 0 ) 上任意一点.求证:当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 1A1 处;

(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标.

4

2007 年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷) 数学试卷(文史类)答案要点
一、填空题(第 1 题至第 11 题) 1. x ? ?1 5. y 2 ? 12x 9. 0.3 2. 1 ? 6.

1 ( x ? 0) x

3. π ? arctan 4 7. arccos

4. π 8. 3

1 2

6 6

10. ② ④

π? ? 2? ? 11. ? 0, 2? ?

二、选择题(第 12 题至第 15 题)

题 答

号 案

12 A

13 C

14 B

15 D

三、解答题(第 16 题至第 21 题) 16.解:作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O .连接 AO , O 是 正方形 ABCD 的中心, ?PAO 是直线 PA 与平面

P

ABCD 所成的角.
?PAO = 60? , PA ? 2 .? PO ? 3 . AO ? 1, AB ? 2 ,
1 1 2 3 ? V ? PO S ABCD ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3

D

C

O
A B

4 3 17.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ? B? ? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 , 7
1 2 10 4 8 ? ? . 7 5 7

? S ? ac sin B ? ? 2 ?

1 2

18.解: (1) 由已知得 2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为

5

36% , 38% , 40% , 42% . 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670 ? 1.36 ? 1.38 ? 1.40 ? 1.42 ? 2499.8 (兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ,则 解得 x ≥ 0.615 . 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% . 19.解: (1) x ?
2

1420(1 ? x) 4 ≥ 95% . 2499.8(1 ? 42%) 4

2 2 ? ( x ? 1) 2 ? ? 2x ? 1 , x x ?1 2 2 ? ?0, x x ?1

x( x ? 1) ? 0 .

? 原不等式的解为 0 ? x ? 1 .
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,
0) 对任意 x ? ( ? ?, (0, ? ? ) , f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) ,
2 2

?

f ( x) 为偶函数.
a ( a ? 0, x ? 0) , x

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 ,
? f ( ?1 ) ? ? f (, 1) f ? ( 1? )f , ( 1 )

? 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
20.解: (1)设数列 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2. 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S ? c1 ? c2 ? ? ? c49 ? 2(c25 ? c26 ? ? ? c49 ) ? c25

? 2 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 24 ? 1 ? 2 2 25 ? 1 ? 1 ? 2 26 ? 3 ? 67108861.
(3) d51 ? 2, d100 ? 2 ? 3 ? (50 ? 1) ? 149 .
d 2, , d50 是首项为 149 ,公差为 ? 3 的等差数列. 由题意得 d1,

?

?

?

?

当 n ≤ 50 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? 149 n ?

n(n ? 1) 3 301 (?3) ? ? n 2 ? n. 2 2 2

6

当 51 ≤ n ≤ 100 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? S50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ?
? 3775 ? 2 (n ? 50) ? (n ? 50)(n ? 51) ?3 2

?

3 2 299 n ? n ? 7500 . 2 2

? 3 2 301 ? n ? n, 1 ≤ n ≤ 50, ? ? 2 综上所述, Sn ? ? 2 ? 3 n 2 ? 299 n ? 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ? ?2 2

0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c 2 , 21.解: (1)? F0 ( c,
? F0 F2 ?

?

?

?

?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,

3 7 于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? , 4 4 4 4 所求“果圆”方程为 x2 ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3 y ) ,则 (2)设 P ( x,

a?c? ? 2 | PM | 2 ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
? b2 ? ( a ? c )2 ? ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x ? ? b2, ? c ≤ x ≤ 0 , c ? 4 ?

2

? 1?

b2 ? 0 ,? | PM | 2 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到. 2 c

即当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处. (3)? | A1 M |?| MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 ( x ≤ 0) 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 b2 c 2

x2 y 2 ? ? 1( x ≥ 0) 上的情形即可. a 2 b2

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
2

2

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 2 ? 2 ?x? ? b ? ? . ? 4 a ? 2c 2 ? 4c 2

2

7

当x?

a (a ? c) a 2 ( a ? c) 2 时取到, ≤ a ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 x ? 2 2c 2c 2
2

此时 P 的横坐标是

a 2 (a ? c) . 2c 2

当x ?

a 2 (a ? c) ? a ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 2 在 x ? a 时是递减的,| PM | 2 的最小 2c 2

值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a . 综上所述, 若 a ≤ 2c , 当 | PM | 取得最小值时, 点 P 的横坐标是 当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .

a 2 (a ? c) ; 若 a ? 2c , 2c 2

8


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