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考研数学三 经济ch2 各章复习题目及答案

第二章
一. 填空题 1 . 设 lim

导数与微分

f ( x0 + kx ) f ( x0 ) 1 = f ' ( x0 ) , 则 k = ________. x →0 x 3 f ( x0 + kx ) f ( x0 ) 1 1 = f ' ( x0 ) , 所以 kf ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) 解. k lim x →0 kx 3 3 1 所以 k = 3 dy 2. 设函数 y = y(x)由方程 e x + y + cos( xy ) = 0 确定, 则 = ______. dx
解. e x + y (1 + y ' ) ( y + xy ' ) sin xy = 0 , 所以

y' =

y sin xy e x + y e x + y x sin xy

3. 已知 f(-x) =-f(x), 且 f ' ( x 0 ) = k , 则 f ' ( x 0 ) = ______. 解. 由 f(-x) =-f(x)得 f ' ( x ) = f ' ( x ) , 所以 f ' ( x ) = f ' ( x ) 所以

f ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) = k

f ( x 0 + m x ) f ( x 0 n x ) = _______. x → 0 x f ( x0 + mx ) f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( x0 nx ) 解. lim x → 0 x f ( x 0 + m x ) f ( x 0 ) f ( x0 nx ) f ( x0 ) = m lim + n lim = ( m + n ) f ' ( x0 ) x →0 x → 0 mx nx 1 x 5. f ( x ) = , 则 f ( n ) ( x ) = _______. 1+ x
4. 设 f(x)可导, 则 lim 解. f ' ( x ) =

1 x 1 + x ( 1)1 2 1! ( 1) k 2 k! (k ) = , 假设 f = , 则 (1 + x ) 2 (1 + x )1+1 (1 + x ) k +1 ( 1) k +1 2 ( k + 1)! ( 1) n 2 n! (n) , 所以 f = (1 + x ) k +1+1 (1 + x ) n +1

f ( k +1) =

6. 已知

d 1 1 1 f x 2 = x , 则 f ' 2 = _______. dx

解. f '

x2 1 2 1 1 1 3 = , 所以 f ' 2 = . 令 x2 = 2, 所以 f ' 2 = 1 2 x 2 x x x x
dy = _______. dx

7. 设 f 为可导函数, y = sin{ f [sin f ( x )]} , 则

1

解.

dy = f ' ( x ) cos f ( x ) f ' [sin f ( x )] cos{ f [sin f ( x )]} dx

8. 设 y = f(x)由方程 e 2 x + y cos( xy ) = e 1 所确定, 则曲线 y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程 为_______. 解. 上式二边求导 e 2 x + y ( 2 + y ' ) ( y + xy ' ) sin( xy ) = 0 . 所以切线斜率

1 k = y ' (0) = 2 . 法线斜率为 , 法线方程为 2 1 y 1 = x , 即 x-2y + 2 = 0. 2
二. 选择题 1. 已知函数 f(x)具有任意阶导数, 且 f ' ( x ) = [ f ( x )]2 , 则当 n 为大于 2 的正整数时, f(x)的 n 阶导数是
n +1 (a) n![ f ( x )]

(b) n[ f ( x )]n +1

(c) [ f ( x )]2 n
(k )

(d) n![ f ( x )]2 n

解. f ' ' ( x ) = 2 f ( x ) f ' ( x ) = 2! [ f ( x )]3 , 假设 f

( x ) = k![ f ( x )]k +1 , 所以

f ( k +1) ( x ) = ( k + 1)k![ f ( x )]k f ' ( x ) = (k + 1)![ f ( x )]k + 2 , 按数学归纳法 f ( n ) ( x ) = n![ f ( x )]n +1 对一切正整数成立. (a)是答案.
2. 设函数对任意 x 均满足 f(1 + x) = af(x), 且 f ' (0) = b, 其中 a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在 x = 1 处不可导 (b) f(x)在 x = 1 处可导, 且 f ' (1) = a

(c) f(x)在 x = 1 处可导, 且 f ' (1) = b (d) f(x)在 x = 1 处可导, 且 f ' (1) = ab

1 1 f (1 + x ) f (1) f ( x ) f ( 0) 1 a 解. b = f ' (0) = lim = lim a = f ' (1) , 所以 f ' (1) = ab. (d) x →0 x →0 x0 x a
是答案 注: 因为没有假设 f (x ) 可导, 不能对于 f (1 + x ) = af ( x ) 二边求导. 3. 设 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 | x | , 则使 f (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 .
(n )

(0) 存在的最高阶导数 n 为

解. f ( x ) =

4 x 3 2 x
3

x≥0 x<0

24 x f ' ' ( x) = 12 x

x≥0 x<0

f ' ' ' (0 + ) = lim +
x →0

24 x 0 f ' ' ( x ) f ' ' ( 0) = lim = 24 + x →0 x0 x
2

f ' ' ' (0 ) = lim
x →0

12 x 0 f ' ' ( x ) f ' ' ( 0) = lim = 12 x →0 x0 x

所以 n = 2, (c)是答案. 4. 设函数 y = f(x)在点 x0 处可导, 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 + x 时, 记y 为 f(x)的增量, dy 为 f(x)的微分, lim (a) -1 (b) 0

y dy 等于 x → 0 x
(c) 1 (d) ∞
x →0

解. 由微分定义y = dy + o(x), 所以 lim

y dy o(x) = lim = 0 . (b)是答案. x →0 x x

1 2 x sin 5. 设 f ( x ) = x ax + b

x>0 x≤0

在 x = 0 处可导, 则

(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 解. 在 x = 0 处可导一定在 x = 0 处连续, 所以

(d) a = 1, b 为任意常数

1 = lim ( ax + b) , 所以 b = 0. x →0 x x →0 1 x 2 sin x = lim ax , 所以 0 = a. (c)是答案. f ' (0 + ) = f ' (0 ) , lim + x →0 x →0 x x lim x 2 sin +
三. 计算题 1. y = ln[cos(10 + 3 x 2 )],求y ' 解. y ' =

sin(10 + 3x 2 ) 6 x = 6 x tan(10 + 3x 2 ) cos(10 + 3x 2 )
a + x 2 )],求y '

2. 已知 f(u)可导, y = f [ln( x + 解. y ' = f ' [ln( x +

a + x 2 )]

2x 1 + x + a + x2 2 a + x2 1



=

f ' [ln( x + a + x 2 )] a + x2
y 0 x2

3. 已知
y2



e t dt = ∫ cos tdt + sin y 2 , 求 y ' .
2

0

解. e y ' = 2 x cos x + 2 yy ' cos y
2

2

y' =

2 x cos x 2 e y 2 y cos y 2
2

4. 设 y 为 x 的函数是由方程 ln

x 2 + y 2 = arctan

y 确定的, 求 y ' . x

3

解.

y' x y 2 2 x + 2 yy ' = x 2 y x2 + y2 2 x2 + y2 1+ 2 x
x + yy ' = y ' x y , 所以 y ' =

x+ y x y

四. 已知当 x ≤ 0 时, f(x)有定义且二阶可导, 问 a, b, c 为何值时

f ( x) F ( x) = 2 ax + bx + c
二阶可导.

x≤0 x>0

解. F(x)连续, 所以 lim F ( x ) = lim F ( x ) , 所以 c = f(-0) = f(0); +
x →0 x →0

因为 F(x)二阶可导, 所以 F ' ( x ) 连续, 所以 b = f ' (0) = f ' (0) , 且

f ' ( x) x≤0 F ' ( x) = 2ax + f ' (0) x > 0
F ' ' (0) 存在, 所以 F ' ' (0) = F+ ' ' (0) , 所以

2ax + f ' (0) f ' (0) f ' ( x ) f ' ( 0) = lim = 2a , 所以 + x →0 x →0 x x 1 a = f ' ' ( 0) 2 lim
五. 已知 f ( x ) = 解. f ( x ) = 1 +

x2 ,求f ( n ) (0) . 1 x2 1 1 1 1 + 2 1 x 2 1+ x

f (n) ( x) =

1 n! 1 ( 1) n + 2 (1 x ) n +1 2 (1 + x ) n +1
k = 0, 1, 2, … k = 0, 1, 2, …
(n )

f ( 2 k +1) (0) = 0 , f 2 k (0) = n! ,

六. 设 y = x ln x , 求 f

(1) . (n 1)! ( n 2)! + n ( 1) n 2 n x x n 1

解. 使用莱布尼兹高阶导数公式

f ( n ) ( x ) = x (ln x ) ( n ) + n (ln x ) ( n 1) = x ( 1) n 1
= ( 1)
n2

n 1 ( n 1) ( n 2)! + n 1 = ( 1) n 2 (n 2)! n 1 n 1 x x x
4

所以

f ( n ) (1) = ( 1) n 2 (n 2)!

5


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