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2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三(上)期末数学试卷(理科)


2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学 校高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题提供的四个 选项中,只有一项符合题目的要求) 1. (5 分)已知集合 A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|logx4=2},则 A∪B=( A.{﹣2,1,2} B.{1,2} C.{﹣2,2} D.{2} )

2. (5 分)若复数 z=(a2+2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是( )

A.﹣3 B.﹣3 或 1 C.3 或﹣1 D.1 3. (5 分)已知向量 =(1,3) , =(﹣2,m) ,若 与 ( ) C. D. ) , )∪ 垂直,则 m 的值为

A.﹣1 B.1

4. (5 分)直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( A.[0, [ ,π) ] B.[ ,π) C.[0, ]∪( ,π) D.[

n 5. (5 分) 若数列{an}的通项公式是 an= (﹣1) (3n﹣2) , 则 a1+a2+…+a10= (



A.15 B.12 C.﹣12

D.﹣15

6. (5 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的四个 侧面中面积最大的是( )

A.6

B.8

C.

D.3
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7. (5 分)如图是某算法的程序框图,若程序运行后输出的结果是 27,则判断框

①处应填入的条件是( A.n>2 B.n>3

) C.n>4 D.n>5

8. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个 集合中取出两个集合, 再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元 素的集合,则一共可以组成多少个集合( A.24 个 B.36 个 C.26 个 D.27 个 )

9. (5 分)如图,已知点 P(2,0) ,正方形 ABCD 内接于⊙O:x2+y2=2,M、N 分别为边 AB、BC 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, 是( ) ? 的取值范围

A.[﹣1,1]

B.[﹣



] ﹣

C.[﹣2,2]

D.[﹣



]

10. (5 分)已知双曲线:

=1,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交 |+| |的最小值为( )

双曲线左支于 A,B 两点,则|

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A.

B.11 C.12 D.16 , 设 S、 A、 B、 C 是球面上四个点, 其中∠ABC=120°, )

11. (5 分) 已知球 O 半径为

AB=BC=2,平面 SAC⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为( A. B. C. D.3

12. (5 分)已知函数 f(x)=x3﹣3x2+1,g(x)=

,则方程 g[f

(x)]﹣a=0(a 为正实数)的根的个数不可能为( A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) 设 a>0, b>0, 若 是 3a 与 3b 的等比中项, 则 + 的最小值是 .

14. (5 分)在(x2﹣ )5 的二项展开式中,x 的一次项系数是﹣10,则实数 a 的值为 .

15. (5 分)设[m]表示不超过实数 m 的最大整数,则在直角坐标平面 xOy 上, 则满足[x]2+[y]2=50 的点 P(x,y)所成的图形面积为 .

16. (5 分)定义区间(c,d) 、 (c,d]、[c,d) 、[c,d]的长度均为 d﹣c(d>c) , 已知实数 p>0,则满足不等式 + ≥1 的 x 构成的区间长度之和为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分) 17. (12 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ , sin2x﹣cos2x﹣ , (x∈R)

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= 若向量 =(1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值.

18. (12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生 如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习, 不用参加其余的测 试, 而每个学生最多也只能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
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,每次测试通过与否互相独立.规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不 能参加测试. (Ⅰ)求该学生考上大学的概率. (Ⅱ)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 ξ,求 变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 19. (12 分)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 DC 的中点,现将△ DAE 沿 AE 折起,使平面 DAE⊥平面 ABCE,连接 DB,DC,BE. (1)求证:BE⊥平面 ADE; (2)求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

20. (12 分)已知 F1、F2 分别为椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的上、下焦点,

其中 F1 也是抛物线 C2: x2=4y 的焦点, 点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点, 且|MF1|= . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)当过点 P(1,3)的动直线 l 与椭圆 C1 相交于两不同点 A,B 时,在线段 AB 上取点 Q,满足| |=| |,证明:点 Q 总在某定直线上.

21. (12 分)设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.其中 a∈R. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程; (2)若存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求整数 M 的最 大值; (3)若对任意的 s,t∈[ ,2]都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分)
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22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极 坐标方程为 ρsin (θ+ r>0) (Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. ) = , 圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数,

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)≤5; (2)若 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

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2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八 中等学校高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题提供的四个 选项中,只有一项符合题目的要求) 1. (5 分)已知集合 A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|logx4=2},则 A∪B=( A.{﹣2,1,2} B.{1,2} C.{﹣2,2} D.{2} )

【解答】解:∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|(x﹣1) (x﹣2)=0}={1,2} B={x|logx4=2}={2} ∴A∪B={1,2} 故选 B.

2. (5 分)若复数 z=(a2+2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是( )

A.﹣3 B.﹣3 或 1 C.3 或﹣1 D.1 【解答】解:∵复数 z=(a2+2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数, ∴ 解得 a=1, 故选 D. ,

3. (5 分)已知向量 =(1,3) , =(﹣2,m) ,若 与 ( ) C. D.

垂直,则 m 的值为

A.﹣1 B.1

【解答】解:因为向量 =(1,3) , =(﹣2,m) ,所以 因为 与 垂直,所以 ?( )=0,
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=(﹣3,3+2m) ,

即(1,3)?(﹣3,3+2m)=0,即﹣3+9+6m=0, 所以 m=﹣1. 故选 A.

4. (5 分)直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( A.[0, [ ,π) , ] B.[ ,π) C.[0, ]∪( ,π) D.[ ,

) )∪

【解答】解:直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的 斜率等于 由于 0>﹣ ≥﹣1,设倾斜角为 α, ≤α<π,

则 0≤α<π,﹣1≤tanα<0,∴ 故选 B.

n 5. (5 分) 若数列{an}的通项公式是 an= (﹣1) (3n﹣2) , 则 a1+a2+…+a10= (



A.15 B.12 C.﹣12

D.﹣15

【解答】解:依题意可知 a1+a2=3,a3+a4=3…a9+a10=3 ∴a1+a2+…+a10=5×3=15 故选 A.

6. (5 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的四个 侧面中面积最大的是( )

A.6

B.8

C.

D.3
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【解答】解:因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形 的长边的中点,底面边长分别为 4,2, 后面是等腰三角形,腰为 3,所以后面的三角形的高为: 所以后面三角形的面积为: 两个侧面面积为: =2 . =6, = ,

=3,前面三角形的面积为:

四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积:6. 故选 A.

7. (5 分)如图是某算法的程序框图,若程序运行后输出的结果是 27,则判断框

①处应填入的条件是( A.n>2 B.n>3

) C.n>4 D.n>5

【解答】解:由框图的顺序,S=0,n=1,S=(S+n)n=(0+1)×1=1; n=2,依次循环 S=(1+2)×2=6,n=3; n=3,依次循环 S=(6+3)×3=27,n=4, 此刻输出 S=27. 故判断框①处应填入的条件是 n>3, 故选 B.

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8. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个 集合中取出两个集合, 再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元 素的集合,则一共可以组成多少个集合( A.24 个 B.36 个 C.26 个 D.27 个 =3 种取法, )

【解答】解:从三个集合中取出两个集合,有 分别是集合 A、B;集合 A、C;集合 B、C.

当取出集合 A、B 时,从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素 的集合有 =12 个;

当取出集合 A、C 时,从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素 的集合有 × =8 个;

当取出集合 B、C 时,从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素 的集合有 × =6 个;

∵集合 A、B、C 的元素各不相同,∴一共可以组成 12+8+6=26 个集合. 故选 C.

9. (5 分)如图,已知点 P(2,0) ,正方形 ABCD 内接于⊙O:x2+y2=2,M、N 分别为边 AB、BC 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, 是( )
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?

的取值范围

A.[﹣1,1]

B.[﹣



]

C.[﹣2,2]

D.[﹣



]

【解答】解:设 M(cosα,sinα) , ∵ ∴ , ,

∴N(﹣sinα,cosα) , ∴ ∴ ∴ =2sinα, ∵sinα∈[﹣1,1], ∴2sinα∈[﹣2,2], ∴ ? 的取值范围是[﹣2,2]. =(﹣sinα,cosα) , =(cosα﹣2,sinα) , =﹣sinα(cosα﹣2)+sinαcosα =(cosα,sinα) ,

故选:C.

10. (5 分)已知双曲线:



=1,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交 |+| |的最小值为( )

双曲线左支于 A,B 两点,则| A. B.11 C.12 D.16

【解答】解:根据双曲线的标准方程



=1 可得:a=2,

由双曲线的定义可得:|AF2|﹣|AF1|=2a=4…①,|BF2|﹣|BF1|=2a=4…②,
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所以①+②可得:|AF2|+|BF2|﹣(|AF1|+|BF1|)=8, 因为过双曲线的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 A,B 两点, 所以|AF1|+|BF1|=|AB|,当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小. 所以|AF2|+|BF2|﹣(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|﹣|AB|=8. |BF2|+|AF2|=|AB|+8 故选 B. =11.

11. (5 分) 已知球 O 半径为

, 设 S、 A、 B、 C 是球面上四个点, 其中∠ABC=120°, )

AB=BC=2,平面 SAC⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为( A. B. C. D.3

【解答】解:三棱锥 O﹣ABC,A、B、C 三点均在球心 O 的表面上,且 AB=BC=2, ∠ABC=120°, ∴BC=2 ,

∴△ABC 外接圆半径 2r=4,即 r=2 ∴S△ABC= ×2×2×sin120°= ,OG= =1

由平面 SAC⊥平面 ABC, 可将已知中的三棱锥 S﹣ABC 补成一个同底等高的棱柱, ∴棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为 故选:A = .

12. (5 分)已知函数 f(x)=x3﹣3x2+1,g(x)=

,则方程 g[f

(x)]﹣a=0(a 为正实数)的根的个数不可能为( A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
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【解答】解:∵函数 f(x)=x3﹣3x2+1,g(x)=



∴当 a=1 时,若方程 g[f(x)]﹣a=0,则: f(x)=﹣3,此时方程有 2 个根 或 f(x)= ,此时方程有 3 个根 故方程 g[f(x)]﹣a=0 可能共有 5 个根; 当 0<a<1 时,方程 g[f(x)]﹣a=0,则: f(x)∈(﹣4,﹣3) ,此时方程有 1 个根 或 f(x)∈(﹣3,﹣2) ,此时方程有 3 个根 故方程 g[f(x)]﹣a=0 可能共有 4 个根; 当 a>1 时,方程 g[f(x)]﹣a=0,则: 可能有 4 个、5 个或 6 个根. 故选 A.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) 设 a>0, b>0, 若 【解答】解:∵ ∴3a?3b=3a+b=3 ∴a+b=1 ∴ab≤ ∴ + = = = (当 a=b 时等号成立) ≥4. 是 3a 与 3b 的等比中项, 则 + 的最小值是 4 .

是 3a 与 3b 的等比中项

故答案为:4

14. (5 分)在(x2﹣ )5 的二项展开式中,x 的一次项系数是﹣10,则实数 a 的值为 1 . ?(﹣a)r?x10﹣3r,

【解答】解:在(x2﹣ )5 的二项展开式的通项公式为 Tr+1= 令 10﹣3r=1,求得 r=3,可得 x 的一次项系数是
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?(﹣a)3=﹣10,

求得 a=1, 故答案为:1.

15. (5 分)设[m]表示不超过实数 m 的最大整数,则在直角坐标平面 xOy 上, 则满足[x]2+[y]2=50 的点 P(x,y)所成的图形面积为 【解答】解:由题意可得:方程:[x]2+[y]2=50 当 x,y≥0 时,[x],[y]的整解有三组, (7,1) , (5,5) , (1,7)所以此时|[x]| 可能取的数值为:7,5,1. 当|[x]|=7 时,7≤x<8,或﹣7≤x<﹣6,|[y]|=1,﹣1≤y<0,或 1≤y<2, 围成的区域是 4 个单位正方形; 当|[x]|=5 时,5≤x<6,或﹣5≤x<﹣4;|[y]|=5,﹣5≤y<﹣4,5≤y<6,围 成的区域是 4 个单位正方形; 当|[x]|=1 时,﹣1≤x<0,或 1<x≤2,|[y]|=7,﹣7≤y<﹣6,或 7≤y<8, 围成的区域是 4 个单位正方形. 所以总面积是:12 故答案是 12. 12 .

16. (5 分)定义区间(c,d) 、 (c,d]、[c,d) 、[c,d]的长度均为 d﹣c(d>c) ,
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已知实数 p>0,则满足不等式 【解答】解:∵

+ ≥1 的 x 构成的区间长度之和为 ≥1,即

2

. ≤0,

+ ≥1,实数 p>0,∴

设 x2﹣(p+2)x+p=0 的根为 x1 和 x2,则由求根公式可得, x1= ,x2= ,

把不等式的根排在数轴上, 由穿根得不等式的解集为(0,x1)∪(p,x2 ) ,故解集构成的区间的长度之和 为 (x1﹣0)+(x2﹣p ) =(x1+x2 )﹣p=(p+2)﹣p=2, 故答案为:2.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分) 17. (12 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ , sin2x﹣cos2x﹣ , (x∈R)

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= 若向量 =(1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)= ﹣ )﹣1, , ∈[﹣ ] , ]则 sin(2x﹣ )∈[﹣ ,1] sin2x﹣cos2x﹣ =

sin2x﹣ cos2x﹣1=sin(2x

∵x∈[﹣ ∴2x﹣

∴函数 f(x)的最小值为﹣

﹣1 和最大值 0;

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(2)∵f(C)=sin(2C﹣ 又∵0<C<π,﹣ <2C﹣

)﹣1=0,即 <

sin(2C﹣ =

)=1, ,∴C= .

,∴2C﹣

∵向量 =(1,sinA)与 =(2,sinB)共线,∴sinB﹣2sinA=0. 由正弦定理 ∵c= ,得 b=2a,① ,②

,由余弦定理得 3=a2+b2﹣2abcos

解方程组①②,得 a=1,b=2.

18. (12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生 如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习, 不用参加其余的测 试, 而每个学生最多也只能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 ,每次测试通过与否互相独立.规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不 能参加测试. (Ⅰ)求该学生考上大学的概率. (Ⅱ)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 ξ,求 变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 【解答】解: (Ⅰ)记 “ 该生考上大学 ” 的事件为事件 A ,其对立事件为 ,则 . ∴ (Ⅱ)该生参加测试次数 , + = + = , . . 的可能取值为 2,3,4,5.

由于规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试, 当 ξ=5 时的情况,说明前 4 次只通过了 1 次,但不必考虑第 5 次是否通过. ∴ 故 ξ 的分布列为:
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=



ξ Eξ Eξ=2× +3× +4×

2

3

4

5

+5×

=



19. (12 分)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 DC 的中点,现将△ DAE 沿 AE 折起,使平面 DAE⊥平面 ABCE,连接 DB,DC,BE. (1)求证:BE⊥平面 ADE; (2)求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

【解答】 (1)证明:∵在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 DC 的中点, ∴AE=EB= = ,

∵AB=2,∴AB2=AE2+BE2,∴AE⊥BE, 取 AE 的中点 M,连接 MD,则 AD=DE,∴MD⊥AE, ∵平面 DAE⊥平面 ABCE,∴MD⊥平面 ABCE,∴MD⊥BE, ∵MD∩AE=M,∴BE⊥平面 ADE. (2)解:以 M 为原点,在平面 ABCE 内,过 M 作 CB 的平行线为 x 轴,过 M 作 EC 的平行线为 y 轴, 以 MP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 由已知得 B( , ,0) ,C(﹣ , ,0) ,D(0,0, =( ,﹣ ) , =( ,﹣ ) , =(﹣ ) ,E(﹣ , ,0) , ,﹣ ) ,

设平面 DBC 的法向量 =(x,y,z) ,



,取 y=

,得 =(0,

,3) ,

设平面 BDE 的法向量 =(a,b,c) ,
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,取 b=1,得 =(﹣1,1,

) ,

设二面角 E﹣BD﹣C 的平面角为 θ, cosθ=|cos< >|=| |=| . |= .

∴二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值为

20. (12 分)已知 F1、F2 分别为椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的上、下焦点,

其中 F1 也是抛物线 C2: x2=4y 的焦点, 点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点, 且|MF1|= . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)当过点 P(1,3)的动直线 l 与椭圆 C1 相交于两不同点 A,B 时,在线段 AB 上取点 Q,满足| |=| |,证明:点 Q 总在某定直线上.

【解答】解: (1)∵F1、F2 分别为椭圆 C1: 其中 F1 也是抛物线 C2:x2=4y 的焦点,

+

=1(a>b>0)的上、下焦点,

∴F1(0,1) ,抛物线 C2:x2=4y 准线 y=﹣1,
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∵点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= , ∴由抛物线方程得到 M(﹣ 得到 b2=3 或 ∴C1: =1. (舍) , , ) ,将 M(﹣ , )代入 =1,

(Ⅱ)设点 Q(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由题设,| |、| |、| |、| |均不为 0,且满足 =﹣ , = ,

又 P、A、Q、B 四点共线,设 ∴ , , ,① ,②

, (λ>0,λ≠1) ,

∵A(x1,y1) ,B(x2,y2)在椭圆上, ∴ ,



,∴







∴12﹣12λ2=4(1﹣λ2)x+9(1﹣λ2)y, ∴点 Q 总在某定直线 4x+9y﹣12=0 上.

21. (12 分)设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.其中 a∈R. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程; (2)若存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求整数 M 的最
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大值; (3)若对任意的 s,t∈[ ,2]都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)a=2 时,f(x)= +xlnx,定义域是(0,+∞) , ∴f′(x)=﹣ +lnx+1,f(1)=2,f′(1)=﹣1,

∴切线方程是 y﹣2=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣3=0; (Ⅱ)存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立, 等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M 在[0,2]成立, 令 g′(x)>0,解得:x> ,令 g′(x)<0,解得:x< , ∴g(x)在[0, ]递减,在[ ,2]递增, ∴g(x)min=g( )=﹣ ∴g(x)max=g(1)=1, ∴[g(x1)﹣g(x2)]max=g(x)max﹣g(x)min= 故满足条件的最大整数 M=4; (Ⅲ)若对任意 s、t∈[ ,2]都有 f(s)≥g(t) , 只需若对任意 s、t∈[ ,2]都有 f(s)min≥g(t)max, 由(Ⅱ)得:g(t)在[ , )递减,在( ,2]递增, g(t)max=g(2)=1, f(s)= +slns,f′(s)=﹣ +lns+1, , ,而 g(0)=﹣3,g(2)=1,

①a≤ 时,f′(s)>0,f(s)在[ ,2]递增, ∴f(s)min=f( )=2a+ln ≥1,解得:a≥ (1+ln2) ,无解; ② <a<2 时,令 f′(s)>0,解得:s>a,令 f′(s)<0,解得:s<a ∴f(s)在[ ,a)递减,在(a,2]递增, ∴f(s)min=f(a)=1+lna≥1,解得:a≥1, ∴1≤a<2;
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③a≥2 时,f′(s)<0,f(s)在[ ,2]递减, ∴f(s)min=f(2)= +ln2≥1,解得:a≥2﹣2ln2, ∴a≥2, 综上,a≥1.

[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

【解答】 (Ⅰ)证明:∵AB 为直径, ∴ ∵ ∴PA⊥AB, ∵AB 为直径,∴PA 为圆的切线.…(4 分) (Ⅱ)解:CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE?EB=CE?ED,∴m= ∵△AEC∽△DEB △CEB∽△AED ∴AB=10, .
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, ,

k,



在直角三角形 ADB 中, ∵∠BCE=∠BAD,∴ .…(10 分)



[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极 坐标方程为 ρsin (θ+ r>0) (Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. 【解答】解: (1)由 ρsin(θ+ ﹣1=0. 由 得 C:圆心(﹣ ,﹣ ) . )= ,得 ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线 l:x+y ) = , 圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数,

∴圆心 C 的极坐标(1,

) .

(2)在圆 C:

的圆心到直线 l 的距离为:

∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3, ∴ r=2﹣ ∴当 r=2﹣ 时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. .

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[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)≤5; (2)若 【解答】解: (1) 不等式的解集为 (2)若 R 上无解 又 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2,f(x)的最小值为 2, 所以 m>﹣2. 的定义域为 R,则 f(x)+m≠0 恒成立,即 f(x)+m=0 在 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 或 或

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