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1.1.1正弦定理(一)A


第一章 解三角形

1.1.1 正弦定理(一)

一、新课引入
A c b 一般地,把三角形的三个角 A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 三角形的元素 C

B

a

三角形中的边角关系 1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:

A ? B ? C ? 180 ?

a?b ? c , a?b ? c
大边对大角,小边对小角

一、新课引入
小强师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如下 图所示的部分,测量出∠A=47°, ∠C=80°, AC长为 1m,想修好这个模型,但他不知道AB和BC的长度是多 少好去截料,你能帮师傅这个忙吗? C
E 80?

b
47 ?

a
53?

A

c D

B

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (2)直角三角形: (1)锐角三角形:
C

B

作CD垂直于AB于D,则可得
E
a b

B

c

D

A

CD ? a sin B ? b sin A a b c ? ? sin A sin B 作AE垂直于BC于E,
A b 则 AE ? c sin B ? b sin C

a

C

a b c ? ? sin A sin B sinC

c aa cb ? ? ?? sin sin B sinC sin AA sin C

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (3)钝角三角形:(∠C为钝角)
a b ? ? sin A sin B 作BE垂直于AC的延长线于E,则 B BE ? c sin A ? a sin ?BCE ? ?BCE ? ? ? ?C
作CD垂直于AB于D,则可得 CD ? a sin B ? b sin A
E C b

a c
D

A

?c sin A ? a sin(? ? C ) ? a sin C a c a b c ? ? ? ? sin A sin C sin A sin B sinC

二、新课讲解
正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

即:

a b c ? ? sin A sin B sin C

C a b

(1)从结构看: B A 各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学的和谐美。 (2)从方程的观点看:

c

三个方程,每个含有四个量,知其三求其一。
应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 题型二:已知两边及其中一边对角,求出其他一边和两角

三、例题讲解
应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 例1 在△ABC中,A=32.0? ,B=81.5? ,a=42.9,解此三 角形.(精确到0.1cm) 解:根据三角形的内角和定理: C=180? -(A+B)=66.2?

由正弦定理可得

a sin B 42.9 sin 81.8o b? ? ? 80.1( cm ) o sin A sin 32.0
由正弦定理可得

a sinC 42.9 sin 66.2 c? ? ? 74.1( cm ) o sin A sin 32.0

o

四、练习
1.在△ABC中,已知c=10,A=45o,C=30o,则a=_____; 10 2

4 6 2.在△ABC中,已知a=8,B=60o,C=75o,则b=_____;
3.在△ABC中,C=2B,则 sin 3 B ? ( B )

sin B

b A. a

a B. b

c C. a

D. a
c

BD AB ? 4.已知△ABC,AD为角A的平分线,求证: DC AC

四、练习

角平分线定理
A

BD AB ? 4.已知△ABC,AD为角A的平分线,求证: DC AC

证明:在△ABD和△CAD中,

BD AB 由正弦定理,得 ? sin b sin a DC AC AC ? ? sin b sin(180? ? a ) sin a BD AB 两式相除得 ? DC AC

b b
B
o a 180 -a

D

C

五、小结

a b c 一、正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
其中,R是△ABC的外接圆的半径

二、可以用正弦定理解决的三角问题:
※题型一:知两角及一边,求其它的边和角

题型二:知两边及其中一边对角,求其他边和角


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