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版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ222第1课时对数函数的图象及性质学业分层测评新人教A版必修10801158

2.2.2 第 1 课时 对数函数的图象及性质 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知下列函数:①y=log1(-x)(x<0);②y=2log4(x-1)(x>1);③y=ln x(x>0); 2 ④y=log(a2+a)x(x>0,a 是常数). 其中为对数函数的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 【解析】 对于①,自变量是-x,故①不是对数函数;对于②,2log4(x-1)的系数为 2,而不是 1,且自变量是 x-1,不是 x,故②不是对数函数;对于③,ln x 的系数为 1, 1 ? 1?2 1 2 自变量是 x,故③是对数函数;对于④,底数 a +a=?a+ ? - ,当 a=- 时,底数小于 0, 2 ? 2? 4 故④不是对数函数.故选 A. 【答案】 A 2.函数 y=1+log1(x-1)的图象一定经过点( 2 ) A.(1,1) C.(2,1) B.(1,0) D.(2,0) 1 1 【解析】 ∵函数 y=log x 恒过定点(1,0),而 y=1+log1(x-1)的图象是由 y=log 2 2 2 x 的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,故函数 y=1+log1(x-1)恒过的定点 2 为(2,1).故选 C. 【答案】 C 3.函数 y= 1 log2?x-2? 的定义域为( ) B.(2,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) 【解析】 要使函数有意义,则? ? ?x-2>0 ? log2?x-2?≠0, ? 解得 x>2 且 x≠3, 所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选 C. 【答案】 C 4.已知 0<a<1,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象可能是( x ) 1 【解析】 函数 y=a 与 y=logax 互为反函数, 其图象关于直线 y=x 对称, y=loga(- x x)与 y=logax 的图象关于 y 轴对称,又 0<a<1,根据函数的单调性即可得 D 正确.故选 D. 【答案】 D 5.函数 f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象必不过( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 【解析】 ∵f(x)=loga(x+2)(0<a<1),∴其图象如下图所示,故选 A. 【答案】 A 二、填空题 6.函数 f(x)= log ?3x-2?的定义域是________. ? ?3x-2>0 即? ?3x-2≤1, ? 1 2 3x-2>0 ? ? 【解析】 要使函数 f(x)有意义,则? 1 log ?3x-2?≥0, ? 2 ? 2 ?2 ? 得 <x≤1,故函数的定义域的? ,1?. 3 ?3 ? 解 ?2 ? 【答案】 ? ,1? ?3 ? 7.已知对数函数 f(x)的图象过点(8,-3),则 f(2 2)=________. 【解析】 设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1), 1 则-3=loga8,∴a= , 2 1 1 3 ∴f(x)=log x,f(2 2)=log (2 2)=-log2(2 2)=- . 2 2 2 2 3 【答案】 - 2 2-x 8.已知函数 y=log2 ,下列说法: 2+x ①关于原点对称;②关于 y 轴对称;③过原点.其中正确的是________. 【解析】 由于函数的定义域为 (-2,2),关于原点对称,又 f(-x)=log2 2+x =- 2-x 2-x log2 =-f(x),故函数为奇函数,故其图象关于原点对称,①正确;因为当 x=0 时,y 2+x =0,所以③正确. 【答案】 ①③ 三、解答题 9.已知函数 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性. 【解】 (1)要使函数有意义,则有 ? ?x+1>0 x+1 >0,即? x-1 ? ?x-1>0 x+1 (a>0,且 a≠1). x-1 或? ? ?x+1<0 ? ?x-1<0, 解得 x>1 或 x<-1, 此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). -x+1 x+1 x+1 (2)由于 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)=loga =loga =-loga = -x-1 x-1 x-1 -f(x). ∴f(x)为奇函数. 10. 若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 且 x∈(0, +∞)时, f(x)=lg(x+1), 求 f(x) 的表达式,并画出大致图象. 【解】 ∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∴f(-x)=lg(1-x). 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-lg(1-x), lg?x+1?,x>0 ? ? ∴f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0 ? ?-lg?1-x?,x<0, ∴f(x)的大致图象如图所示. 3 [能力提升] 1.满足“对定义域内任意实数 x,y,f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数可以是( A.f(x)=x 2 ) B.f(x)=2 D.f(x)=e x C.f(x)=log2x ln x 【解析】 ∵对数运算律中有 logaM+logaN=logaMN,∴f(x)=log2x,满足“对定义域 内任意实数 x,y,f(x·y)=f(x)+f(y)”.故选 C. 【答案】 C 2.已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是( x ) 1 【解析】 由 lg a+lg b=0,得 lg(ab)=0,所以 ab=1,故 a= ,所以当 0<b<1 b 时,a>1;当 b>1 时,0<a<1. 又因为函数 y=-logbx 与函数 y=logbx 的图象关于 x 轴对称.利用这些信息可知选项 B 符合 0<

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