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3.1.3空间向量的数量积运算ppt_图文

3.1.3空间向量的数量积运算 一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a ? ?b 已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量a叫做直线的 方向向量. P a 推论:如果 l 为经过已知点A且平行 若P为A,B中点, 则 1 OP ? OA ? OB 2 ? ? O B A 2.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要 条件是存在实数对x, y 使P ? xa ? yb b B p A? P M a A O 推论:空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对x,y使 MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点O,有OP ? OM ? xMA ? yMB 注意: 空间四点P、M、A、B共面 ? 存在唯一实数对 (x , y ) , 使得MP ? xMA ? yMB ? OP ? xOM ? yOA ? zOB(其中,x ? y ? z ? 1) 复习: 平面向量数量积的相关知识 平面向量的夹角: 已知两个非零向量 a 和 b,在平面上取一点O, 作OA= a,OB= b,则 ?AOB 叫做向量 a与 b的夹角。 B B A O A 平面向量的数量积 平面向量的数量积的定义: ? 已知两个非零向量a, b,则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积,记作 a ? b 即 并规定 a ? b ?| a || b | cos? a?0 ? 0 一、几个概念 1) 两个向量的夹角的定义 教学过程 a b O A a B b 范围: 0 ? ? a, b? ? ? 在这个规定下,两个向 量的夹角就 如果? a, b? ? 被唯一确定了,并且 ? a, b?=?b, a? ? 2 , 则称 a与b互相垂直,并记作: a?b 2)两个向量的数量积 设OA ? a, 则有向线段OA 的长度叫做向量 a的长度或模, 记作: a 已知空间两个向量 a, b,则 a b cos? a, b?叫做向量a, b的数量积, 记作: a ? b,即 a ? b ? a b cos? a, b? 注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。 3)射影 已知向量AB =a和轴l, e是l上与l同方向的单位向量。作 点A在 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1,则A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影,简称 射影。 A1 B1 ? AB cos? a, e? ? a ? e A B e A1 B1 l 注意: AB 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数, 它的符号代表向量 与 l的方向的相对关系,大小代 AB 表在l上射影的长度。 4)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ,有: 1) a ? e ? a cos? a, e? 2) a ? b ? a ? b ? 0 3) a ? a ? a 2 注意: ①性质2)是证明两向量垂直的依据; ②性质3)是求向量的长度(模)的依据; 5)空间向量的数量积满足的运算律 1) (? a) ? b ? ? (a ? b) 2) a ? b ? b ? a (交换律) 3) a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) 注意: 数量积不满足结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 二、 课堂练习 2 1. 已知 a ? 2 2 , b ? , a ?b ? ? 2 2 则a , b所夹的角为________ . 2.判断真假: 1 ) 若a ? b ? 0, 则a ? 0, b ? 0 2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 3) p 2 ? q 2 ? ( p ? q ) 2 4) p ? q ? p ? q ? p 2 ? q 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 三、典型例题 例1:已知m,n是平面?内的两条相交直线,直线l 与?的交点为B,且l⊥m,l⊥n,求证:l⊥? l l g g n n m m 证明:在?内作不与m、n重合的任 一条直线g,在l、m、n、g上取非 零向量l、m、n、g,因m与n相交, 得向量m、n不平行,由共面向量 定理可知,存在唯一的有序实数 对(x,y),使 g=xm+yn, l· g=xl· m+yl· n ∵ l· m=0,l· n=0 ∴ l· g=0 ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面 ?内的任一条直线,所以l⊥? 例2:已知:在空间四边形OABC中,OA⊥BC, OB⊥AC,求证:OC⊥AB 证明:由已知 OA ? B C , OB ? AC O 所以 OA ? BC ? 0 , OB ? AC ? 0 OA ? (OC ? OB) ? 0 OB ? (OC ? OA) ? 0 C B A 所以 OA ? OC ? OA ? OB OB ? OC ? OB ? OA 所以 OA ? OC ? OB ? OC ? 0 (OA ? OB) ? OC ? 0 BA ? OC ? 0 所以 OC ? AB 巩固练习:利用向量知识证明三垂线定理 已知:PO, PA分别是平面?的垂线,斜线, OA是PA 在?内的射影,a ? ? , 且a ? OA 求证: a ? PA P 证明:在a上取非零向量a 又OA ? a,? OA ? a ? 0 而PO ? ? ,? PO ? a ? PO ? a ?

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