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2015年高一数学精品优秀教案:2.1.1《指数与指数幂的运算》(新人教A版必修一)


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三维目标定向 〖知识与技能〗 (1)了解根式的概念,方根的概念及二者的关系; (2)理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质,并能运用性质进行计算 和化简。 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程,感知应用数学解决问题的方法,理解分类讨论思想、化归 与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究, 感受现实生活对数学的需求, 体验数学知识与现实的密切联系。 教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 教学过程设计 一、问题情境设疑 问题 1、 根据国务院发展研究中心 2000 年发表的 《未来 20 年我国发展前景分析》 判断, 未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%,那么,在 2001 ~ 2020 年,各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍?

问题 2、当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” ,根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 P ? ( ) 5730 ,考古学家根据这个式子可以知道,生物死亡 t 年后,体内碳 14 含量 P 的值。

1 2

t

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二、核心内容整合 (一)根式 (1)平方根: x ? a (a ? 0) ;立方根: x 3 ? a 。
2

(2)n 次方根:如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的次方根。 练习 1、填空: (1)25 的平方根等于_________; (2)27 的立方根等于__________;

(3)– 32 的五次方根等于_____________; (4)16 的四次方根等于___________; (5)a 的三次方根等于_____________; 性质: (1)当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,记为:
n
6

(6)0 的七次方根等于____________。

a。
(2)当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,记为 ? n a 。 (3)负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0。 (4) ( n a ) n ? a 。 练习 2:求下列各式的值: (1) 5 ?32 ;
n n

(2) 4 81 ;

(3) 210 ;

(4) 3 。

3

12

探究: a ? a 一定成立吗?

n

?a n为奇数 ? a ?? ?a a ? 0 | a | ? n为偶数 ? ? ? a a ? 0 ? ?
n

例 1、求下列各式的值: (1) 3 (?8) 3 ; (2) (?10) 2 ; (3) 4 (3 ? ? ) 4 ; 练习 3: (1)计算 3 (?8) ? 4 ( 3 ? 2) ? 3 (2 ? 3) ;
3 4 3

(4) (a ? b) 2 (a ? b) 。

(2)若 a ? 2a ? 1 ? a ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(3)已知 ( x ? a ) 2 ? ( b ? x ) 2 ? b ? a ,则 b (4)已知 x ? a 3 ? b 2 ,求 x ? 2a x ? a 的值。
4 2 3 6

a(填大于、小于或等于) ;

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(二)分数指数幂

?? a? ?? ? a ? a (简化运算,连加为乘,连乘为乘方) (1)整数指数幂: a ? ? ?
n n个

运算性质: a ? a ? a
m n

m?n

, (a m ) n ? a mn , (ab) n ? a n b n

(2)正分数指数幂 引入: a
5 10

? (a ) ? a ? a , a
5 2 5 2 4

10 5

12

? (a ) ? a ? a
4 3 4 3

12 4

小结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式) 思考: 根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式? 如: 3 a , b , 4 c 如何表示? 规定: a
m n

2

5

? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(3)负分数指数幂 规定: a
? 4 3

?

m n

?
? 2

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

如: 5

, a 3 (a ? 0)

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1) a r ? a s ? a r ? s ; (2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) 。
r s rs r r r

例题剖析
2

例 2、求值: 8 3 ,

25

?

1 2

1 16 ? , ( ) ?5 , ( ) 4 2 81

3

例 3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中 a > 0)

a3 ? a;

a2 ? 3 a2 ;

a?3 a.

例 4、计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ;
1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m 4 n

?

3 8 8

) 。
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例 5、计算下列各式: (1) (3 25 ? 125 ) ? 4 25 ; (2)

a2 a ? 3 a2

(a ? 0) 。

(三)无理指数幂 问题:当指数是无理数时,如 5 ,我们又应当如何理解它呢?
2

一般地,无理数指数幂 a? (a > 0,是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运 算性质同样适用于无理数指数幂。 四、知识反馈:P54,练习,1,2,3。 补充练习: 1、已知 x ?3 ? 1 ? a ,求 a 2 ? 2ax ?3 ? x ?6 的值。

2、计算下列各式: (1)

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

1

1

?

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

1

1



(2) (a ? 2 ? a ) ? ( a ? a ) 。
2 2

?2

?2

3、已知,求下列各式的值: (1) x 2 ? x
1 ? 1 2

; (2) x 2 ? x

1

?

1 2



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4、化简 ( (A) a16 5、 2

3 6

a 9 ) 4 ? ( 6 3 a 9 ) 4 的结果是(
(B) a 8 (C) a 4 )

) (D) a 2

? (2 k ?1)

? 2? (2 k ?1) ? 2?2 k 等于(
(B) 2
? 1 2
? (2 k ?1)

(A) 2

?2 k

(C) ?2

? (2 k ?1)

(D)2 。 。

6、 (| x | ?1)
x

有意义,则的取值范围是
y
3x? y 2

7、若 10 ? 2,10 ? 3 ,则 10

?


8、 a, b ? R ,下列各式总能成立的是( (A) ( 6 a ? 6 b ) 6 ? a ? b (C) a ? b ? a ? b
4 4 4 4
1 32 1 16 1 8

(B) n (a 2 ? b 2 ) n ? a 2 ? b 2 (D) 10 (a ? b)10 ? a ? b
1 4 1 2

9、化简 (1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 的结果是(
1 1 32 ?1 (A) (1 ? 2 ) 2



(B) (1 ? 2 )

1 32 ?1

(C) 1 ? 2

1 32

1 1 32 (D) 1 (1 ? 2 ) 2

五、三维体系构建 1、根式与分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质: (1) a r ? a s ? a r ? s ; (2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) 。
r s rs r r r

六、课后作业:P59,习题 2.1,A 组:1,2,3,4;B 组:2。 教学反思:

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